1.导学案 10 第8章 8.5.1 直线与直线平行(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 8.5　空间直线、平面的平行 8.5.1　直线与直线平行 内容概览 【学习目标】 1.理解并掌握基本事实4,会用其解决相关直线与直线平行问题.(数学抽象、直观想象) 2.理解等角定理,会用其解决角相等或互补问题.(直观想象、逻辑推理) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、基本事实4 　平行于同一条直线的两条直线_____. 【点拨】 　基本事实4揭示了直线的平行关系具有传递性. 平行 返回 二、等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角 ___________ 符号语言 OA∥O'A',OB∥O'B'⇒∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 相等或互补 返回 【思考】 　若两个角的两边分别对应平行,且两个角的开口方向相同,那么这两个角的关系是什么? 提示:相等. 【点拨】 　如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.   返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)分别与异面直线平行的两条直线也是异面直线.( ) 提示:也可能是相交直线. (2)相等或互补的角的两边分别平行.( ) 提示:无法判断两条边的位置关系. (3)对于空间直线a,b,c,d,如果a∥b,b∥c,c∥d,那么a∥d.( ) (4)如果两条相交直线与另外两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.( ) × × √ √ 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1空间中直线与直线平行(直观想象) 【典例1】(易错·对对碰) (1) 如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点. ①若AC⊥BD,则四边形EFGH的形状是　　　　;  ②若AC=BD,则四边形EFGH的形状是　　　　;  返回 (2)如图,空间四边形ABCD中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点.==,则四边形EFGH的形状是　　　　　.  返回 【解析】(1)因为E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,所以EH∥BD,且EH=, FG∥BD且FG=, 所以EH∥FG且EH=FG, 故四边形EFGH为平行四边形. ①因为AC⊥BD,HG∥AC,EH∥BD, 所以EH⊥HG,所以四边形EFGH为矩形. ②因为EF=HG=,EH=,AC=BD, 所以EH=EF,所以四边形EFGH为菱形. (2)在△ABD中,可得EH∥BD,EH=BD,在△CBD中,可得FG∥BD,FG=BD,所以EH,FG平行且不相等,所以四边形EFGH是梯形. 答案:(1)①矩形　②菱形　(2)梯形 返回 【总结升华】 证明空间两条直线平行的方法 (1)平面几何法:三角形中位线、平行四边形的性质等. (2)定义法:用定义证明两条直线平行,一是两条直线在同一平面内;二是两条直线没有公共点. (3)基本事实4:用基本事实4证明a,c两条直线平行,只需找到直线b,使得a∥b,同时b∥c,由基本事实4即可得到a∥c. 返回 【即学即练】 　如图所示为一长方体木料,木料的面A1C1内有一点P,现经过点P作棱BC的平行线,应该怎样画?并说明理由. 返回 【解析】如图所示,在面A1C1内过P作直线EF∥B1C1,交A1B1于点E,交C1D1于点F,则直线EF即为所求. 理由:因为EF∥B1C1,BC∥B1C1,所以EF∥BC. 返回 类型2 等角定理的应用(直观想象、逻辑推理) 【典例2】如图,已知线段AA1,BB1,CC1交于点O,且==,求证:△ABC∽△A1B1C1. 返回 【证明】因为AA1与BB1交于点O,且=,所以A1B1∥AB. 同理A1C1∥AC,B1C1∥BC. 又因为A1B1和AB,A1C1和AC方向相反, 所以∠BAC=∠B1A1C1,同理∠ABC=∠A1B1C1. 所以△ABC∽△A1B1C1. 返回 【总结升华】 关于等角定理的应用 (1)根据空间中相应的定理证明角的两边分别平行,即先证明线线平行. (2)根据角的两边的方向判定角相等. 返回 【即学即练】 　在长方体ABCD-A1B1C1D1中,求证: (1)∠ABC=∠A1B1C1; (2)∠A1D1A=∠B1C1B. 返回 【解析】(1)由长方体的性质可得:A1B1∥AB,B1C1∥BC,且方向相同, 由等角定理可得:∠ABC=∠A1B1C1. (2)由长方体的性质可得:D1C1∥DC∥AB,D1C1=DC=AB, 所以四边形ABC1D1为平行四边形,所以AD1∥BC1,又A1D1∥B1C1,且方向相同, 由等角定理可得:∠A1D1A=∠B1C1B. 返回 $ 8.5　空间直线、平面的平行 8.5.1　直线与直线平行 　【学习目标】 1.理解并掌握基本事实4,会用其解决相关直线与直线平行问题.(数学抽象、直观想象) 2.理解等角定理,会用其解决角相等或互补问题.(直观想象、逻辑推理) 必备知识·自主导学 一、基本事实4 　平行于同一条直线的两条直线平行. 【点拨】 　基本事实4揭示了直线的平行关系具有传递性. 二、等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 符号语言 OA∥O'A',OB∥O'B'⇒∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 【思考】 　若两个角的两边分别对应平行,且两个角的开口方向相同,那么这两个角的关系是什么? 提示:相等. 【点拨】 　如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) 　(1)分别与异面直线平行的两条直线也是异面直线. (×) 提示:也可能是相交直线. 　(2)相等或互补的角的两边分别平行. (×) 提示:无法判断两条边的位置关系. 　(3)对于空间直线a,b,c,d,如果a∥b,b∥c,c∥d,那么a∥d. (√) 　(4)如果两条相交直线与另外两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. (√) 关键能力·师生共研 类型1空间中直线与直线平行(直观想象) 【典例1】(易错·对对碰) (1) 如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点. ①若AC⊥BD,则四边形EFGH的形状是　　　　;  ②若AC=BD,则四边形EFGH的形状是　　　　;  (2)如图,空间四边形ABCD中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点.==,则四边形EFGH的形状是　　　　　.  【解析】(1)因为E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,所以EH∥BD,且EH=, FG∥BD且FG=, 所以EH∥FG且EH=FG, 故四边形EFGH为平行四边形. ①因为AC⊥BD,HG∥AC,EH∥BD, 所以EH⊥HG,所以四边形EFGH为矩形. ②因为EF=HG=,EH=,AC=BD, 所以EH=EF,所以四边形EFGH为菱形. (2)在△ABD中,可得EH∥BD,EH=BD,在△CBD中,可得FG∥BD,FG=BD,所以EH,FG平行且不相等,所以四边形EFGH是梯形. 答案:(1)①矩形　②菱形　(2)梯形 【总结升华】 证明空间两条直线平行的方法 　(1)平面几何法:三角形中位线、平行四边形的性质等. (2)定义法:用定义证明两条直线平行,一是两条直线在同一平面内;二是两条直线没有公共点. (3)基本事实4:用基本事实4证明a,c两条直线平行,只需找到直线b,使得a∥b,同时b∥c,由基本事实4即可得到a∥c. 【即学即练】 　如图所示为一长方体木料,木料的面A1C1内有一点P,现经过点P作棱BC的平行线,应该怎样画?并说明理由. 【解析】如图所示,在面A1C1内过P作直线EF∥B1C1,交A1B1于点E,交C1D1于点F,则直线EF即为所求. 理由:因为EF∥B1C1,BC∥B1C1,所以EF∥BC. 类型2等角定理的应用(直观想象、逻辑推理) 【典例2】如图,已知线段AA1,BB1,CC1交于点O,且==,求证:△ABC∽△A1B1C1. 【证明】因为AA1与BB1交于点O,且=,所以A1B1∥AB. 同理A1C1∥AC,B1C1∥BC. 又因为A1B1和AB,A1C1和AC方向相反, 所以∠BAC=∠B1A1C1,同理∠ABC=∠A1B1C1. 所以△ABC∽△A1B1C1. 【总结升华】 关于等角定理的应用 　(1)根据空间中相应的定理证明角的两边分别平行,即先证明线线平行. (2)根据角的两边的方向判定角相等. 【即学即练】 　在长方体ABCD-A1B1C1D1中,求证: (1)∠ABC=∠A1B1C1; (2)∠A1D1A=∠B1C1B. 【解析】(1)由长方体的性质可得:A1B1∥AB,B1C1∥BC,且方向相同, 由等角定理可得:∠ABC=∠A1B1C1. (2)由长方体的性质可得:D1C1∥DC∥AB,D1C1=DC=AB, 所以四边形ABC1D1为平行四边形,所以AD1∥BC1,又A1D1∥B1C1,且方向相同, 由等角定理可得:∠A1D1A=∠B1C1B. - 5 - 学科网（北京）股份有限公司 $