1.导学案 15 第6章 6.4.3 第1课时 余弦定理(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 6.4.3　余弦定理、正弦定理 第1课时　余弦定理 内容概览 【学习目标】 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.(逻辑推理、数学运算) 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.(逻辑推理、数学运算) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、余弦定理 文字语言 三角形中任何一边的_____,等于其他两边_________减去这两边与它们夹角的_______________ 符号语言 a2=_____________ b2=_____________ c2=______________ 变形推论 cos A=;cos B=;cos C= 平方 平方的和 余弦的积的两倍 b2+c2-2bccos A a2+c2-2accos B a2+b2-2abcos C 返回 【思考】 在c2=a2+b2-2abcos C中,若C=90°,公式会变成什么?你认为勾股定理和余弦定理有什么关系? 提示:c2=a2+b2,即勾股定理;勾股定理是余弦定理的一个特例. 返回 二、解三角形 (1)三角形的元素 三角形的____________和它们的_________叫做三角形的元素. (2)解三角形 已知三角形的_________求其他_____的过程叫做解三角形. 三个角A,B,C 对边a,b,c 几个元素 元素 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若b2+c2-a2=0,则A=90°.( ) 提示:由余弦定理知cos A=0,A=90°. (2)在△ABC中,已知两边及夹角时,△ABC不一定唯一.( ) 提示:在△ABC中,已知两边及夹角时,由余弦定理知第三边确定,三角形是确定的. (3)在△ABC中,若a2>b2+c2,则△ABC是钝角三角形.( ) 提示:因为cos A=<0,又0<A<π,所以角A为钝角,所以△ABC是钝角三角形. (4)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况.( ) 提示:余弦定理也可以解决两边及其一边的对角的情况. √ × √ × 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1 已知两边和一角解三角形(数学运算) 【典例1】(1)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若C=60°,a=5,b=8,则△ABC的周长为(　　) A.20　 B.30　 C.40　 D.25 【解析】选A.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=52+82-2×5×8×=49,所以c=7,则△ABC的周长为20. √ 返回 (2)(多选)在△ABC中,AB=3,AC=,B=,则角A的可能取值为(　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选AC.由余弦定理,得AC2=BC2+BA2-2BC·BA·cos B,即3=BC2+9-2BC×3×,解得BC=或BC=2. 当BC=时,此时△ABC为等腰三角形,BC=AC,所以A=B=;当BC=2时,AB2+AC2=BC2,此时△ABC为直角三角形,所以A=. √ √ 返回 【总结升华】 已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是两边的夹角,则直接运用余弦定理求出另外一边,再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角; (2)若已知角是其中一边的对角,可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解. 提醒:解方程求出第三边,此时需根据题意进行检验,需满足大角对大边,两边之和大于第三边. 返回 【即学即练】 1.(2025·桂林高一检测)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=6,a=2c,B=,则c=(　　) A.　 B.2　 C.3　 D. 【解析】选B.由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得62=4c2+c2-4c2cos .解得c=2(负值舍去). √ 返回 2.(2025·六安高一检测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,c=3,cos A=,则b=(　　) A.1　 B.　 C.3　 D.1或3 【解析】选D.由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,即6=b2+9-2b×3×, 整理可得b2-4b+3=0,解得b=1或b=3. √ 返回 类型2 已知三边解三角形(数学运算) 【典例2】(1)(2025·新高考Ⅱ卷)在△ABC中,BC=2,AC=1+,AB=,则A=(　　) A.45° B.60° C.120° D.135° 【解析】选A.由题意得cos A===, 又0°<A<180°,所以A=45°. √ 返回 (2)(2025·天津高一检测)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a2+b2-c2=ab,则角C= (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选B.由余弦定理得cos C===,因为C∈(0,π),所以C=. √ 返回 【总结升华】 由三边解三角形的方法 (1)已知三角形的三边解三角形,利用余弦定理的推论求出其中两角,再利用三角形内角和求第三个角; (2)已知三边的二次齐次式解三角形,要根据齐次式的结构特征构造余弦定理推论的形式,从而求得角的余弦值进而求得角. 返回 【即学即练】 1.(2025·绍兴高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a∶b∶c=2∶3∶,则△ABC中角C的大小是(　　) A.135°　 B.120°　 C.90°　 D.60° 【解析】选D.因为a∶b∶c=2∶3∶,所以不妨设a=2k,b=3k,c=k, 由余弦定理得cos C===, 又C∈(0,π),所以C=60°. √ 返回 2.在△ABC中,a2=b2+c2+bc,则A= (　　) A.60°　 B.45°　 C.120°　 D.30° 【解析】选C.由余弦定理得cos A===-, 因为0°<A<180°,所以A=120°. √ 返回 类型3利用余弦定理判定三角形的形状(逻辑推理、数学运算) 【典例3】(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a+ccos A=b+ccos B,则△ABC为(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 【解析】选D.由余弦定理可得:a+c×=b+c×, 即2a2b+ab2+ac2-a3=2ab2+a2b+c2b-b3, 整理得(a-b)(a2+b2-c2)=0, 得a=b或a2+b2=c2,所以△ABC为等腰或直角三角形. √ 返回 (2)(2025·淮安高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,C=,则△ABC的形状是(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 【解析】选B.因为=,所以A,B∈(0,),且acos B=bcos A, 所以由余弦定理得a·=b·,整理得a=b,又C=, 所以A=B===C,故△ABC是等边三角形. √ 返回 【总结升华】 利用余弦定理判断三角形形状 (1)化角为边,通过恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断; (2)化边为角,通过恒等变换,得到三个角之间的关系进行判断. 提醒:在上面两种方法的等式变形中,在等号两边同时约去公因式时,一定要考虑所约公因式是否为0. 返回 【即学即练】 1.(2025·哈尔滨高一检测)在△ABC中,若C=60°,c2=ab,则△ABC的形状是(　　) A.等腰直角三角形　 B.直角三角形 C.等腰三角形　 D.等边三角形 【解析】选D.由余弦定理知cos C=, 因为c2=ab,C=60°,所以cos 60°==,所以(a-b)2=0,所以b=a, 因此B=A,所以B=A=C=60°,即△ABC是等边三角形. √ 返回 2.(多选)(2025·河池高一检测)a,b,c为三角形三边,满足ac2-bc2=(a-b)(a2+b2),则三角形的形状可能为 (　　) A.直角三角形　 B.锐角三角形 C.钝角三角形　 D.等腰三角形 【解析】选AD.因为ac2-bc2=(a-b)(a2+b2),所以(a-b)c2=(a-b)(a2+b2), 则a-b=0或c2=a2+b2,所以三角形为等腰三角形或直角三角形. √ √ 返回 $ 6.4.3　余弦定理、正弦定理 第1课时　余弦定理 【学习目标】 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.(逻辑推理、数学运算) 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.(逻辑推理、数学运算) 必备知识·自主导学 一、余弦定理 文字语言 三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 符号语言 a2=b2+c2-2bccos A b2=a2+c2-2accos B c2=a2+b2-2abcos C 变形推论 cos A=;cos B=;cos C= 【思考】 在c2=a2+b2-2abcos C中,若C=90°,公式会变成什么?你认为勾股定理和余弦定理有什么关系? 提示:c2=a2+b2,即勾股定理;勾股定理是余弦定理的一个特例. 二、解三角形 (1)三角形的元素 三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素. (2)解三角形 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若b2+c2-a2=0,则A=90°. (√) 提示:由余弦定理知cos A=0,A=90°. (2)在△ABC中,已知两边及夹角时,△ABC不一定唯一. (×) 提示:在△ABC中,已知两边及夹角时,由余弦定理知第三边确定,三角形是确定的. (3)在△ABC中,若a2>b2+c2,则△ABC是钝角三角形. (√) 提示:因为cos A=<0,又0<A<π,所以角A为钝角,所以△ABC是钝角三角形. (4)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况. (×) 提示:余弦定理也可以解决两边及其一边的对角的情况. 关键能力·师生共研 类型1已知两边和一角解三角形(数学运算) 【典例1】(1)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若C=60°,a=5,b=8,则△ABC的周长为 (　　) A.20　 B.30　 C.40　 D.25 【解析】选A.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=52+82-2×5×8×=49,所以c=7,则△ABC的周长为20. (2)(多选)在△ABC中,AB=3,AC=,B=,则角A的可能取值为 (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选AC.由余弦定理,得AC2=BC2+BA2-2BC·BA·cos B,即3=BC2+9-2BC×3×,解得BC=或BC=2. 当BC=时,此时△ABC为等腰三角形,BC=AC,所以A=B=;当BC=2时,AB2+AC2=BC2,此时△ABC为直角三角形,所以A=. 【总结升华】 已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是两边的夹角,则直接运用余弦定理求出另外一边,再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角; (2)若已知角是其中一边的对角,可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解. 提醒:解方程求出第三边,此时需根据题意进行检验,需满足大角对大边,两边之和大于第三边. 【即学即练】 1.(2025·桂林高一检测)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=6,a=2c,B=,则c= (　　) A.　 B.2　 C.3　 D. 【解析】选B.由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得62=4c2+c2-4c2cos .解得c=2(负值舍去). 2.(2025·六安高一检测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,c=3,cos A=,则b= (　　) A.1　 B.　 C.3　 D.1或3 【解析】选D.由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,即6=b2+9-2b×3×, 整理可得b2-4b+3=0,解得b=1或b=3. 类型2已知三边解三角形(数学运算) 【典例2】(1)(2025·新高考Ⅱ卷)在△ABC中,BC=2,AC=1+,AB=,则A= (　　) A.45° B.60° C.120° D.135° 【解析】选A.由题意得cos A===, 又0°<A<180°,所以A=45°. (2)(2025·天津高一检测)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a2+b2-c2=ab,则角C= (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选B.由余弦定理得cos C===,因为C∈(0,π),所以C=. 【总结升华】 由三边解三角形的方法 (1)已知三角形的三边解三角形,利用余弦定理的推论求出其中两角,再利用三角形内角和求第三个角; (2)已知三边的二次齐次式解三角形,要根据齐次式的结构特征构造余弦定理推论的形式,从而求得角的余弦值进而求得角. 【即学即练】 1.(2025·绍兴高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a∶b∶c=2∶3∶,则△ABC中角C的大小是 (　　) A.135°　 B.120°　 C.90°　 D.60° 【解析】选D.因为a∶b∶c=2∶3∶,所以不妨设a=2k,b=3k,c=k, 由余弦定理得cos C===, 又C∈(0,π),所以C=60°. 2.在△ABC中,a2=b2+c2+bc,则A= (　　) A.60°　 B.45°　 C.120°　 D.30° 【解析】选C.由余弦定理得cos A===-, 因为0°<A<180°,所以A=120°. 类型3利用余弦定理判定三角形的形状(逻辑推理、数学运算) 【典例3】(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a+ccos A=b+ccos B,则△ABC为 (　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 【解析】选D.由余弦定理可得:a+c×=b+c×, 即2a2b+ab2+ac2-a3=2ab2+a2b+c2b-b3, 整理得(a-b)(a2+b2-c2)=0, 得a=b或a2+b2=c2,所以△ABC为等腰或直角三角形. (2)(2025·淮安高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,C=,则△ABC的形状是 (　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 【解析】选B.因为=,所以A,B∈(0,),且acos B=bcos A, 所以由余弦定理得a·=b·,整理得a=b,又C=, 所以A=B===C,故△ABC是等边三角形. 【总结升华】 利用余弦定理判断三角形形状 (1)化角为边,通过恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断; (2)化边为角,通过恒等变换,得到三个角之间的关系进行判断. 提醒:在上面两种方法的等式变形中,在等号两边同时约去公因式时,一定要考虑所约公因式是否为0. 【即学即练】 1.(2025·哈尔滨高一检测)在△ABC中,若C=60°,c2=ab,则△ABC的形状是 (　　) A.等腰直角三角形　 B.直角三角形 C.等腰三角形　 D.等边三角形 【解析】选D.由余弦定理知cos C=, 因为c2=ab,C=60°,所以cos 60°==,所以(a-b)2=0,所以b=a, 因此B=A,所以B=A=C=60°,即△ABC是等边三角形. 2.(多选)(2025·河池高一检测)a,b,c为三角形三边,满足ac2-bc2=(a-b)(a2+b2),则三角形的形状可能为 (　　) A.直角三角形　 B.锐角三角形 C.钝角三角形　 D.等腰三角形 【解析】选AD.因为ac2-bc2=(a-b)(a2+b2),所以(a-b)c2=(a-b)(a2+b2), 则a-b=0或c2=a2+b2,所以三角形为等腰三角形或直角三角形. - 6 - 学科网（北京）股份有限公司 $