1.导学案 06 第6章 6.2.4 第1课时 向量的数量积(1)(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.2.4　向量的数量积 第1课时　向量的数量积(1) 【学习目标】 1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量数量积.(数学抽象) 2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的含义.(直观想象) 必备知识·自主导学 一、向量的夹角 1.定义:已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角. 2.范围:θ∈[0,π]. 3.记作:<a,b>. 4.特例:(1)当θ=0时,向量a与b同向. (2)当θ=π时,向量a与b反向. (3)当θ=时,向量a与b垂直,记作a⊥b. 二、向量的数量积 1.向量的数量积 (1)条件:两个非零向量a,b,<a,b>=θ; (2)定义:|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积; (3)记法:a·b,即a·b=|a||b|cos θ;  (4)规定:零向量与任一向量的数量积为0. 2.投影向量 (1)条件:两个非零向量a,b,=a,=b; (2)投影:过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别是A1,B1,得到,称这种变换为向量a向向量b投影; (3)定义:叫做向量a在向量b上的投影向量. (4)公式:a在b方向上的投影向量是|a|cos θ e,其中<a,b>=θ,e=. 【点拨】 (1)数量积运算中间是“·”,不能写成“×”,也不能省略不写. (2)向量的数量积是一个实数,不是向量,它的值可正、可负、可为0. (3)|a|=是求向量的长度的工具. (4)区分0·a=0与0·a=0. (5)a·b>0是a与b的夹角为锐角的必要不充分条件;a·b<0是a与b的夹角为钝角的必要不充分条件. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)向量的数量积是一个实数,而向量的数乘是一个向量.(√) 提示:由向量数量积和数乘的定义知,上述说法正确. (2)若非零向量a,b互相垂直,则它们的夹角为90°.(√) 提示:由向量夹角的定义可知,此说法正确. (3)若a≠0,a·b=0,则b=0.(×) 提示:当a,b为非零向量,且a⊥b时,有a·b=0,但b≠0,故说法错误. (4)向量a在向量b上的投影向量与向量b共线.(√) 提示:由投影向量的定义知,向量a在向量b上的投影向量与向量b共线,正确. 关键能力·师生共研 类型1向量的夹角(数学运算) 【典例1】在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=∠ABC=60°,则下列各组向量夹角为60°的是(　　) A.与　 B.与 C.与　 D.与 【解析】选B.由题意可得与的夹角为180°-∠ABC=180°-60°=120°,A错误; 如图,作DE∥CB,交AB于E,则∠ADE=60°, 故与的夹角<,>=∠ADE=60°,B正确; 由于DC∥AB,故与的夹角等于与的夹角,由A知<,>=120°,C错误; 与的夹角∠ADC=180°-60°=120°,D错误. 【总结升华】 向量夹角的求法 求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合,作两个向量的夹角,按照“一作二证三算”的步骤求出. 【即学即练】 (2025·辽阳高一检测)在正六边形ABCDEF中,向量与的夹角为(　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选B.如图,设AD与BE交于点O,由正六边形的性质可知△AOB为等边三角形, 所以∠OAB=,则向量与的夹角为. 类型2向量的数量积(数学运算) 【典例2】(1)(教材提升·例9)已知|a|=8,|b|=6,<a,b>=150°,则a·b= (　　) A.-24　 B.-24　 C.24　 D.16 【解析】选A.因为|a|=8,|b|=6,<a,b>=150°, 所以a·b=|a||b|cos<a,b>=8×6×(-)=-24. (2)在边长为2的正三角形ABC中,点M满足=2,则·=(　　) A.-　 B. C.-　 D. 【解析】选A.如图所示, 因为=2,所以=,所以·=·(+)=·(+) =·+·=2×2×-×22=-. 【即学即练】 1.(2025·石家庄高一检测)在△ABC中,AB=5,BC=2,∠B=60°,则·的值为(　　) A.5　 B.5 C.-5　 D.-5 【解析】选D.因为AB=5,BC=2,∠B=60°,所以·=5×2×cos(180°-60°)=10×(-)=-5. 2.(2025·成都高一检测)在△ABC中,AB=3,BC=4,AC=5,则·=(　　) A.-16　 B.16　 C.32　 D.-32 【解析】选B.由题意得AB2+BC2=AC2, 所以B=,cos C=, 所以·=||||cos C=4×5×=16. 类型3投影向量(数学运算) 【典例3】(1)(2025·菏泽高一检测)已知向量|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为45°,则b在a方向上的投影向量为(　　) A.a　 B.a C.b　 D.b 【解析】选B.由题意知,a·b=|a||b|cos 45°=,所以b在a上的投影向量为a=a. (2)(2025·阜阳高一检测)已知△ABC的外接圆圆心为O,且2=+,||=||,则向量在向量上的投影向量为(　　) A.　 B. C.-　 D.- 【解析】选A.设BC的中点为D,则2=+=2,即=,故BC边为圆O的直径,则||=||,又||=||,则△ABO为等边三角形, 则||=||,向量在向量上的投影向量||cos 60°×=. 【总结升华】 投影向量的求法 (1)依据投影的定义,结合平面几何知识作出恰当的垂线,直接得到投影向量; (2)直接利用公式:a在b方向上的投影向量是|a|cos θ e,其中<a,b>=θ,e=. 【即学即练】 1.(2025·漯河高一检测)已知|a|=2|b|,且满足<a,b>=,则a在b上的投影向量为(　　) A.b　 B.-b　 C.3b　 D.-3b 【解析】选D.因为|a|=2|b|,<a,b>=, 所以a在b上的投影向量为|a|cos<a,b>·=cos<a,b>·b=2cos ·b=-3b. 2.(2025·芜湖高一检测)在△ABC中,AB=AC=1,BC=,则向量在向量上的投影向量为(　　) A.　 B.- C.　 D.- 【解析】选C.由AB2+AC2=BC2,AB=AC知,△ABC为等腰直角三角形, 所以向量在向量上的投影向量为·=·=. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 6.2.4　 向量的数量积 第1课时　 向量的数量积(1) 内容概览 【学习目标】 1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量数量积.(数学抽象) 2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的含义.(直观想象) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、向量的夹角 1.定义:已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作 =a, =b, 则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角. 2.范围:θ∈[0,π]. 3.记作:<a,b>. 4.特例:(1)当θ=0时,向量a与b_____. (2)当θ=π时,向量a与b_____. (3)当θ=时,向量a与b_____,记作a⊥b. 同向 反向 垂直 返回 二、向量的数量积 1.向量的数量积 (1)条件:两个非零向量a,b,<a,b>=θ; (2)定义:|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积; (3)记法:a·b,即_____________;  (4)规定:零向量与任一向量的数量积为0. a·b=|a||b|cos θ 返回 返回 【点拨】 (1)数量积运算中间是“·”,不能写成“×”,也不能省略不写. (2)向量的数量积是一个实数,不是向量,它的值可正、可负、可为0. (3)|a|=是求向量的长度的工具. (4)区分0·a=0与0·a=0. (5)a·b>0是a与b的夹角为锐角的必要不充分条件;a·b<0是a与b的夹角为钝角的必要不充分条件. 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)向量的数量积是一个实数,而向量的数乘是一个向量.( ) 提示:由向量数量积和数乘的定义知,上述说法正确. (2)若非零向量a,b互相垂直,则它们的夹角为90°.( ) 提示:由向量夹角的定义可知,此说法正确. (3)若a≠0,a·b=0,则b=0.( ) 提示:当a,b为非零向量,且a⊥b时,有a·b=0,但b≠0,故说法错误. (4)向量a在向量b上的投影向量与向量b共线.( ) 提示:由投影向量的定义知,向量a在向量b上的投影向量与向量b共线,正确. √ √ × √ 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1向量的夹角(数学运算) √ 返回 返回 【总结升华】 向量夹角的求法 求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合,作两个向量的夹角,按照“一作二证三算”的步骤求出. 返回 【即学即练】 √ 返回 类型2向量的数量积(数学运算) 【典例2】(1)(教材提升·例9)已知|a|=8,|b|=6,<a,b>=150°,则a·b= (　　) A.-24　 B.-24　 C.24　 D.16 【解析】选A.因为|a|=8,|b|=6,<a,b>=150°, 所以a·b=|a||b|cos<a,b>=8×6×(-)=-24. √ 返回 √ 返回 【即学即练】 √ 返回 √ 返回 类型3投影向量(数学运算) 【典例3】(1)(2025·菏泽高一检测)已知向量|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为45°,则b在a方向上的投影向量为(　　) A.a　 B.a C.b　 D.b 【解析】选B.由题意知,a·b=|a||b|cos 45°=,所以b在a上的投影向量为a=a. √ 返回 √ 返回 【总结升华】 投影向量的求法 (1)依据投影的定义,结合平面几何知识作出恰当的垂线,直接得到投影向量; (2)直接利用公式:a在b方向上的投影向量是|a|cos θ e,其中<a,b>=θ,e=. 返回 【即学即练】 1.(2025·漯河高一检测)已知|a|=2|b|,且满足<a,b>=,则a在b上的投影向量为(　　) A.b　 B.-b　 C.3b　 D.-3b 【解析】选D.因为|a|=2|b|,<a,b>=, 所以a在b上的投影向量为|a|cos<a,b>·=cos<a,b>·b=2cos ·b=-3b. √ 返回 √ 返回 2.投影向量 (1)条件:两个非零向量a,b,=a,=b; (2)投影:过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线, 垂足分别是A1,B1,得到,称这种变换为向量a向向量b投影; (3)定义:叫做向量a在向量b上的投影向量. (4)公式:a在b方向上的投影向量是|a|cos θ e,其中<a,b>=θ,e=. 【典例1】在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=∠ABC=60°,则下列各组向量夹角为60°的是(　　) A.与　 B.与 C.与　 D.与 【解析】选B.由题意可得与的夹角为180°-∠ABC=180°-60°=120°,A错误; 如图,作DE∥CB,交AB于E,则∠ADE=60°, 故与的夹角<,>=∠ADE=60°,B正确; 由于DC∥AB,故与的夹角等于与的夹角,由A知<,>=120°,C错误; 与的夹角∠ADC=180°-60°=120°,D错误. (2025·辽阳高一检测)在正六边形ABCDEF中,向量与的夹角为(　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选B.如图,设AD与BE交于点O,由正六边形的性质可知△AOB为等边三角形, 所以∠OAB=,则向量与的夹角为. (2)在边长为2的正三角形ABC中,点M满足=2,则·=(　　) A.-　 B. C.-　 D. 【解析】选A.如图所示, 因为=2,所以=,所以·=·(+)=·(+) =·+·=2×2×-×22=-. 1.(2025·石家庄高一检测)在△ABC中,AB=5,BC=2,∠B=60°,则·的值为(　　) A.5　 B.5 C.-5　 D.-5 【解析】选D.因为AB=5,BC=2,∠B=60°,所以·=5×2×cos(180°-60°)=10×(-)=-5. 2.(2025·成都高一检测)在△ABC中,AB=3,BC=4,AC=5,则·=(　　) A.-16　 B.16　 C.32　 D.-32 【解析】选B.由题意得AB2+BC2=AC2, 所以B=,cos C=, 所以·=||||cos C=4×5×=16. (2)(2025·阜阳高一检测)已知△ABC的外接圆圆心为O,且2=+,||=||,则向量在向量上的投影向量为(　　) A.　 B. C.-　 D.- 【解析】选A.设BC的中点为D,则2=+=2,即=,故BC边为圆O的直径,则||=||,又||=||,则△ABO为等边三角形, 则||=||,向量在向量上的投影向量||cos 60°×=. 2.(2025·芜湖高一检测)在△ABC中,AB=AC=1,BC=,则向量在向量上的 投影向量为(　　) A.　 B.- C.　 D.- 【解析】选C.由AB2+AC2=BC2,AB=AC知,△ABC为等腰直角三角形, 所以向量在向量上的投影向量为·=·=. $