1.导学案 09 第6章 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 【学习目标】 1.借助平面直角坐标系,理解平面向量的正交分解及坐标表示.(直观想象、数学抽象) 2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示.(数学运算) 必备知识·自主导学 一、平面向量的正交分解及坐标表示 1.正交分解:把一个向量分解为两个互相垂直的向量. 2.基底:设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底. 3.向量的坐标:向量a=xi+yj,有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y). 4.特殊向量:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). 【思考】 在平面直角坐标系中,以原点O为起点作=a,则向量a的坐标与点A的坐标有什么关系? 提示:向量a的坐标与点A的坐标相同. 【点拨】 (1)每个向量都有唯一的坐标,相等的向量坐标相同. (2)点的坐标表示与向量的坐标表示不同,如A(x,y),a=(x,y). 二、平面向量加、减运算的坐标表示 1.两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则有 项目 符号表示 加法 a+b=(x1+x2,y1+y2) 减法 a-b=(x1-x2,y1-y2) 2.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.例如,已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1). 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)如果a=xi+yj,那么向量a的坐标为(x,y),即a=(x,y).(×) 提示:i,j不一定是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量. (2)向量的坐标只与表示向量的有向线段的起点和终点的位置有关.(√) 提示:由向量坐标的几何意义知,说法正确. (3)若a=(1,2),b=(2,3),则a+b=(3,5).(√) 提示:由向量加法的坐标运算知,计算正确. (4)若点A的坐标为(1,2),则以点A为终点的向量的坐标为(1,2).(×) 提示:因为起点不一定是原点O,所以以点A(1,2)为终点的向量坐标不一定是(1,2). 关键能力·师生共研 类型1平面向量的坐标表示(数学运算) 【典例1】(1)(教材提升·例3)如图所示,为单位正交基底,则向量a,b的坐标分别是 (　　) A.(3,4),(2,-2)　 B.(2,3),(-2,-3) C.(2,3),(2,-2)　 D.(3,4),(-2,-3) 【解析】选C.根据平面直角坐标系,可知a=2e1+3e2,b=2e1-2e2, 所以a=(2,3),b=(2,-2). (2)在平面直角坐标系xOy中,向量a,b的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,则a=　　　　　,b=　　　　　.  【解析】设点A(x,y),B(x0,y0),因为|a|=2,且∠AOx=45°, 所以x=2cos 45°=,y=2sin 45°=. 因为|b|=3,∠xOB=90°+30°=120°,所以x0=3cos 120°=-,y0=3sin 120°=. 故a==(,),b==(-,). 答案:(,)　(-,) 【总结升华】 求向量坐标的方法 (1)定义法:根据平面向量坐标的定义得a=xi+yj=(x,y),其中i,j分别为与x轴、y轴方向相同的两个单位向量. (2)平移法:把向量的起点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标. (3)求差法:先求出这个向量的起点、终点坐标,再用终点坐标减去起点坐标即得该向量的坐标. 提醒:向量a=(x,y)中间用等号连接,而点的坐标A(x,y)中间没有等号. 类型2平面向量坐标的加、减运算(数学运算) 【典例2】(1)在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线.若=(2,4),=(1,3),则= (　　) A.(-2,4)　 B.(-3,-5) C.(3,5)　 D.(-3,-7) 【解析】选C.在平行四边形ABCD中,=(2,4),=(1,3),所以=-=(-1,-1), 所以=-=(2,4)-(-1,-1)=(3,5). (2)已知点M(4,0),向量=(0,4),=(-2,2),则点P的坐标为(　　) A.(-6,6) B.(2,-2) C.(-2,-6) D.(2,6) 【解析】选D.由于=(0,4),=(-2,2),则=+=(-2,6), 又M(4,0),则P(-2+4,6+0),即点P的坐标为(2,6). (3)设i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=-i+j,则a+b与a-b的坐标分别为　　　　,　　　　.  【解析】因为i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=-i+j,所以a=3i+4j=(3,4),b=-i+j=(-1,1), 所以a+b=(2,5),a-b=(4,3). 答案:(2,5)　(4,3) 【总结升华】 平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差的运算法则进行运算. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算. 【即学即练】 (一题多解)已知点A(0,1),B(1,2),向量=(2,3),则向量=(　　) A.(1,2) B.(-1,-2) C.(3,6) D.(-3,-5) 【解析】选A.方法一:设点C(x,y),则=(x,y-1)=(2,3),即,解得, 所以点C(2,4),所以向量=(1,2). 方法二:易知=(1,1),所以=-=(1,2). 类型3平面向量坐标运算的应用(数学运算) 【典例3】已知点A(λ,3),B(5,2λ)(λ∈R),C(4,5).若=+,试求λ为何值时, (1)点P在第一、三象限角平分线上; (2)点P在第一象限内. 【解析】(1)设点P的坐标为(x,y), 则=(x,y)-(λ,3)=(x-λ,y-3), 又因为=(5,2λ)-(λ,3)=(5-λ,2λ-3), =(4,5)-(λ,3)=(4-λ,2),所以=+=(5-λ,2λ-3)+(4-λ,2)=(9-2λ,2λ-1), 所以则 若P在第一、三象限角平分线上, 则9-λ=2λ+2,解得λ=. (2)由(1)知,若P在第一象限内,则所以-1<λ<9. 【总结升华】 向量坐标运算中求参数值(范围)的步骤 (1)表示出向量或者点的坐标; (2)利用点或者坐标的性质构造方程或者不等式. 【即学即练】 已知O(0,0),A(1,2),B(4,5)及=+t(t∈R). (1)t为何值时,P在x轴上?t为何值时,P在y轴上? (2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由. 【解析】(1)由题意得=(1,2),=(3,3), 则=+t=(1+3t,2+3t). 若P在x轴上,则2+3t=0,所以t=-; 若P在y轴上,则1+3t=0,所以t=-. (2)不能.理由如下: 由题意知=(1,2),=-=(3-3t,3-3t). 若四边形OABP为平行四边形,则=, 因为无解, 所以四边形OABP不能成为平行四边形. - 6 - 学科网（北京）股份有限公司 $01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 内容概览 【学习目标】 1.借助平面直角坐标系,理解平面向量的正交分解及坐标表示.(直观想象、数学抽象) 2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示.(数学运算) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、平面向量的正交分解及坐标表示 1.正交分解:把一个向量分解为两个_________的向量. 2.基底:设与x轴、y轴方向相同的两个_________分别为i,j,取{i,j}作为基底. 3.向量的坐标:向量a=xi+yj,有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y). 4.特殊向量:i=_____,j=_____,0=(0,0) 【思考】 在平面直角坐标系中,以原点O为起点作 =a,则向量a的坐标与点A的 坐标有什么关系? 提示:向量a的坐标与点A的坐标相同. 互相垂直 单位向量 (1,0) (0,1) 返回 【点拨】 (1)每个向量都有唯一的坐标,相等的向量坐标相同. (2)点的坐标表示与向量的坐标表示不同,如A(x,y),a=(x,y). 二、平面向量加、减运算的坐标表示 1.两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的______. 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则有 项目 符号表示 加法 a+b=(______,_____) 减法 a-b=(_____,_____) 和(差) x1+x2 y1+y2 x1-x2 y1-y2 返回 2.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.例如,已知A(x1,y1),B(x2,y2),则 =___________. (x2-x1,y2-y1) 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)如果a=xi+yj,那么向量a的坐标为(x,y),即a=(x,y).( ) 提示:i,j不一定是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量. (2)向量的坐标只与表示向量的有向线段的起点和终点的位置有关.( ) 提示:由向量坐标的几何意义知,说法正确. (3)若a=(1,2),b=(2,3),则a+b=(3,5).( ) 提示:由向量加法的坐标运算知,计算正确. (4)若点A的坐标为(1,2),则以点A为终点的向量的坐标为(1,2).( ) 提示:因为起点不一定是原点O,所以以点A(1,2)为终点的向量坐标不一定是(1,2). × √ √ × 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1平面向量的坐标表示(数学运算) 【典例1】(1)(教材提升·例3)如图所示,为单位正交基底,则向量a,b的坐标分别是(　　) A.(3,4),(2,-2)　 B.(2,3),(-2,-3) C.(2,3),(2,-2)　 D.(3,4),(-2,-3) 【解析】选C.根据平面直角坐标系,可知a=2e1+3e2,b=2e1-2e2, 所以a=(2,3),b=(2,-2). √ 返回 (2)在平面直角坐标系xOy中,向量a,b的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3, 则a=　　　　　,b=　　　　　.  【解析】设点A(x,y),B(x0,y0),因为|a|=2, 且∠AOx=45°, 所以x=2cos 45°=,y=2sin 45°=. 因为|b|=3,∠xOB=90°+30°=120°, 所以x0=3cos 120°=-,y0=3sin 120°=. 故a= =(,),b= =(-,). 答案:(,)　(-,) 返回 【总结升华】 求向量坐标的方法 (1)定义法:根据平面向量坐标的定义得a=xi+yj=(x,y),其中i,j分别为与x轴、y轴方向相同的两个单位向量. (2)平移法:把向量的起点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标. (3)求差法:先求出这个向量的起点、终点坐标,再用终点坐标减去起点坐标即得该向量的坐标. 提醒:向量a=(x,y)中间用等号连接,而点的坐标A(x,y)中间没有等号. 返回 类型2平面向量坐标的加、减运算(数学运算) √ 返回 √ 返回 (3)设i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=-i+j,则a+b与a-b的坐标分别为　　　　,　　　　.  【解析】因为i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=-i+j,所以a=3i+4j=(3,4), b=-i+j=(-1,1), 所以a+b=(2,5),a-b=(4,3). 答案:(2,5)　(4,3) 返回 【总结升华】 平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差的运算法则进行运算. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算. 返回 【即学即练】 √ 返回 类型3平面向量坐标运算的应用(数学运算) 返回 返回 【总结升华】 向量坐标运算中求参数值(范围)的步骤 (1)表示出向量或者点的坐标; (2)利用点或者坐标的性质构造方程或者不等式. 返回 【即学即练】 返回 返回 【典例2】(1)在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线.若=(2,4),=(1,3),则= (　　) A.(-2,4)　 B.(-3,-5) C.(3,5)　 D.(-3,-7) 【解析】选C.在平行四边形ABCD中,=(2,4),=(1,3),所以=-=(-1,-1), 所以=-=(2,4)-(-1,-1)=(3,5). (2)已知点M(4,0),向量=(0,4),=(-2,2),则点P的坐标为(　　) A.(-6,6) B.(2,-2) C.(-2,-6) D.(2,6) 【解析】选D.由于=(0,4),=(-2,2),则=+=(-2,6), 又M(4,0),则P(-2+4,6+0),即点P的坐标为(2,6). (一题多解)已知点A(0,1),B(1,2),向量=(2,3),则向量=(　　) A.(1,2) B.(-1,-2) C.(3,6) D.(-3,-5) 【解析】选A.方法一:设点C(x,y),则=(x,y-1)=(2,3),即,解得, 所以点C(2,4),所以向量=(1,2). 方法二:易知=(1,1),所以=-=(1,2). 【典例3】已知点A(λ,3),B(5,2λ)(λ∈R),C(4,5).若=+,试求λ为何值时, (1)点P在第一、三象限角平分线上; (2)点P在第一象限内. 【解析】(1)设点P的坐标为(x,y), 则=(x,y)-(λ,3)=(x-λ,y-3), 又因为=(5,2λ)-(λ,3)=(5-λ,2λ-3), =(4,5)-(λ,3)=(4-λ,2),所以=+=(5-λ,2λ-3)+(4-λ,2)=(9-2λ,2λ-1), 所以则 若P在第一、三象限角平分线上,则9-λ=2λ+2,解得λ=. (2)由(1)知,若P在第一象限内,则所以-1<λ<9. 已知O(0,0),A(1,2),B(4,5)及=+t(t∈R). (1)t为何值时,P在x轴上?t为何值时,P在y轴上? (2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由. 【解析】(1)由题意得=(1,2),=(3,3), 则=+t=(1+3t,2+3t). 若P在x轴上,则2+3t=0,所以t=-; 若P在y轴上,则1+3t=0,所以t=-. (2)不能.理由如下: 由题意知=(1,2),=-=(3-3t,3-3t). 若四边形OABP为平行四边形,则=, 因为无解, 所以四边形OABP不能成为平行四边形. $