圆：切线长定理、切线的证明复习讲义-2026年中考数学二轮复习高频考点复习讲义

该初中数学中考复习讲义聚焦“圆的切线”专题，覆盖切线长定理（切线长相等、圆心连线性质）和切线证明（有切点连半径证垂直、无切点作垂直证等径）两大核心考点，通过“知识点解析-真题速递-例题分析-变式训练”四阶教学环节，帮助学生系统梳理解题原理与思路，突破线段转化、垂直证明等难点。 亮点在于“原理-思路-应用”的递进式教学策略，如切线证明中通过“连半径→证垂直”“作垂直→证等径”的步骤化训练，培养学生的推理能力与几何直观。真题与模拟题分层设置，配合方法归纳（如切线长定理的线段代换技巧），确保学生高效掌握考点，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生中考实战能力。

圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 考点目录 切线长定理 切线的证明 知识点解析 考点一切线长定理 解题原理 1.从圆外一点向圆引两条切线，两条切线长相等： 2. 圆心与该外点的连线，平分两条切线的夹角，且垂直平分切点连线： 3.本质：利用圆的对称性、半径垂直切线、三角形全等，实现线段相等、角度等量转化。 解题思路 1.识别图形：找准圆外一点、两条切线、切点、圆心： 2.直接套用定理：写出两组切线长相等，完成线段代换； 3.角度转化：利用连心线平分切角，推导角相等； 4.综合计算：结合周长、线段和差、直角三角形、勾股定理求解边长； 5.复杂图形：多次使用切线长定理，多组等线段叠加化简。 考点二切线的证明 解题原理 切线判定两大核心依据： 1.有切点，连半径，证垂直：直线与圆有公共点，证明半径与直线垂直； 2.无切点，作垂直，证等径：直线与圆无明确交点，过圆心作直线垂线，证明垂线段长度等于半径； 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 核心本质：满足「垂直+半径」任一判定条件，即可判定为切线 解题思路 1.有公共点（己知切点) ①连接圆心与切点，构造半径； ②利用内角和、互余、全等、平行、直角推导垂直； ③由“半径⊥直线”，证得直线是圆的切线。 2.无公共点（未知切点） ①过圆心向待证直线作垂线段： ②证明该垂线段长度等于圆的半径； ③由“圆心到直线距离等于半径”，证得切线。 真题速递 1.(2025·青海西宁中考真题)如图，四边形ABCD是00的外切四边形，AB=9,CD=15.则四边形ABCD的 周长为 【答案】48 【分析】本题考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键. 根据切线长定理得到AE=AH,BE=BF,CF=CG,DH=DG,得到AD+BC=AB+CD=24,根据四边形的周长公 式计算，得到答案。 【详解】解：如图，令⊙O与边AB,BC,CD,AD的切点分别为E,F,G,H, 2 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 :四边形ABCD是⊙O的外切四边形， :AE=AH,BE BF,CF=CG,DH=DG, .AH +DH+BF+CF=AE+DG+BE+CG .AD+BC=AB+CD=9+15=24, :四边形ABCD的周长为 AD+BC+AB+CD=24+24=48. 故答案为：48. 2.(2025·四川泸州中考真题)如图，梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD=10,⊙0与梯形ABCD的各边都相切， 且⊙0的面积为16π，则点B到CD的距离为 A D 【答案】64 【分析】本题考查了圆的切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，难 度较大，正确添加辅助线是解题的关键 设AD,CD,BC分别与⊙O的切点记为点E,F,G,连接OE,OG,OF,过点D作DH⊥BC于点H,过点B作 BK⊥CD于点K,过点A作AM⊥BC于点M,由圆的切线的性质证明四边形EGHD为矩形，则 EG=DH,DE=HG,可求圆的半径为OE=4,设DE=DF=HG=x,在Rt△DHC中有勾股定理建立方程 82+(10-2x)2=102,解得：x=2或x=8(舍)，同理可得：AE=MG=2,BM=6,最后由△BKC∽△DHC即可 求解， 【详解】解：设AD,CD,BC分别与OO的切点记为点E,F,G,连接OE,OG,OF,过点D作DH⊥BC于点H,过点 B作BK⊥CD于点K,过点A作AM⊥BC于点M, 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 AE D 、K B MGH C .OE⊥AD,OF⊥CD,OG⊥BC,DE=DF,CD=CG, .∠OGC=LOED=LDHG=LDHC=LBKC=90°， :梯形ABCD,AD∥BC, 点E,O,G共线， :.四边形EGHD为矩形， :EG=DH,DE=HG, :⊙0的面积为16π， .πOE2=16m, .0E=4, .EG=20E=8=DH, 设DE=DF=HG=x, :CD=10, .CF=CG=10-x, ..CH=CG-HG=10-2x :在Rt△DHC中，DH+HC2=DC, .82+(10-2x)2=102, 解得：x=2或x=8(舍)， CH=10-2×2=6, 同理可得：AE=MG=2,BM=6, .BC=BM+MG+GH+CH=6+2+2+6=16, :∠C=∠C,∠BKC=∠DHC=90°， .△BKC∽△DHC, BK BC DH DC BK 16 8=10 :BK=4 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 ·点B到CD的距离为64 5 64 故答案为： 5 3.(2025山东东营中考真题)如图，AB是O0的直径，C、D是O0上的两点，AD=DC=CB,DF⊥BC于 点F,延长FD交BA的延长线于点E,连接BD. E (1)求证：DF是⊙0的切线： (2)若00的半径为1，求图中阴影部分的面积. 【答案】(1)证明见解析 26 26 【分析】本题考查了圆的切线判定定理、扇形面积与三角形面积的计算，利用弧相等推导圆心角相等，结合直角三 角形性质分析线段与角度关系是解题的关键。 (1)连接0C,OD,由AD=DC=CB得圆心角LA0D=∠COD=LB0C=60°，进而得LABD=LCBD=30°， 由OB=OD得∠ODB=∠ABD=30°，由DF⊥BC得∠BDF=60°，可得∠ODF=∠BDF+∠ODB=90°，即可得 0D⊥DF,又因OD是OO的半径即可证明； (2)由OD⊥DF，结合LAOD=60°得OE=2,由勾股定理可得DE=V3,由Sm影=SoDE-S窟彩op4即可得出. 【详解】(1)证明：如图，连接0C,0D, :AB是O0的直径，AD=DC=CB, LA0D=LC0D=∠B0C=60°， .∠ABD=∠CBD=30°， :0B=0D, ∴LODB=LABD=30°， DF⊥BC, .∠F=90°， 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 .LBDF=90°-LCBD=60°， .∠ODF=∠BDF+∠ODB=90°， .OD⊥DF, 又：0D是00的半径， DF是OO的切线： (2)解：：0D1DF, .∠0DE=90°， .∠E=90°-∠A0D=30°， .0E=20D=2, .DE=V0E2-0D2=√5， ÷S阴影=Sa0DE-S角形0DA= f)x1xB60×π×2N3元 360 26 4.(2025·江苏淮安中考真题)如图，AB是半圆O的直径，点C是弦AD延长线上一点，连接CB、BD, ∠CBD=∠CAB. D (1)求证：BC是O0的切线； (2)连接OD,若∠CAB=30°，AB=4,求扇形0BD的面积. 【答案】(1)见解析 3 【分析】(1)先根据圆周角定理得到LADB=90°，则∠A+∠ABD=90°，再由LCBD=∠CAB即可证明BC⊥OB,即 可证明BC是O0的切线： (2)先根据圆周角定理得到∠B0D=2∠A=60°，再由扇形面积公式求解即可. 【详解】(1)证明：：AB是半圆O的直径， .∠ADB=90°， ∠A+∠ABD=90°， .∠CBD=∠CAB, .∠CBD+∠ABD=90°， .∠ABC=90°，即BC1OB, 6 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 OB为半径， .BC是⊙O的切线： (2)解：如图， D B O A ∠A=30°， LB0D=2LA=60°， .AB=4, .0B=2, ·扇形0BD的面积=60π×22， 360=π 5.(2025·江苏徐州中考真题)如图，O0为正三角形ABC的外接圆，直线CD经过点C,CD∥AB. A 0。 B D (1)判断直线CD与⊙0的位置关系，并说明理由； (2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积. 【答案】()直线CD与⊙0相切，理由见解析 4 2-v5 【分析】1)由正三角形的性质可得∠0CB=4CB=30,由平行线的性质可得∠BCD-∠ABC=60,求出 ∠0CD=90°，可证直线CD与O0相切： (2)由圆周角定理得LB0C=2LA=120°，根据阴影部分的面积等于S第形oc-Soc,即可求解. 【详解】(1)解：直线CD与O0相切，理由如下： 如图，连接0C, > 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 0● ABC是正三角形， :∠A=∠ACB=LABC=60°， :O为正三角形ABC的外接圆的圆心， .O也是正三角形ABC的内接圆的圆心， :OC平分∠ACB, OCB-ZACB-3 :CD∥AB, :∠BCD=LABC=60°， .∠0CD=∠0CB+∠BCD=30°+60°=90°， :0C是半径， :直线CD与⊙0相切； (2)解：如图，连接OB,作OH⊥BC于点H, :∠A=60°， H :∠B0C=2∠A=120°， 120π.0C2120π×224 ·S扇形BOc= 360 3603π. :OH⊥BC,∠OCB=30°， OH=OC=1.BC=2CH :CH=VOC2-0H2=V22-1P=V5, BC=2CH=23, :S.owc =BC.OH=x2x1= 2 :图中阴影部分的面积为：Sc-Soc-专-5， 3 6 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 考点一 切线长定理 【例题分析】 例1.(2026安徽准南一模)如图，⊙0是Rt△ABC(LC=90)的内切圆，线段DE与00相切，与AB、AC分别 交于点D、点E,且DE⊥AB,若BC=2DE,则tan∠A的值为() D 3 A. B.2 1 3 D. 2 4 【答案】D 【分析】设OO与AB,AC,BC,DE分别相切于点G,H,D,F,证明四边形DFOG,OHCD是正方形，设 OO的半径是r,EF=EH=x,AD=y,推出OG=DG=DF=OF=OH=OD=r,DE=x+r,证明出 8,得到y=2,然后利用勾股定理表示出x,根据锐角三角函数 【详解】解：如图，设OO与AB,AC,BC,DE分别相切于点G,H,D,F B D EH ∴.OG⊥AB,OF⊥DE,OH⊥AC,OD⊥BC,DE⊥AB,OG=OF=OH=OD :四边形DFOG,OHCD是正方形 设OO的半径是r,EF=EH=x,AD=y, ..0G=DG=DF=OF=OH=0D=r,DE=x+r .AH=AG=AD+DG=r+y, .AC=AH+HC=r+y+r=2r+y DE⊥AB, .∠ADE=∠C=90° 又：A=LA .△ADE∽△ACB 0 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 是能方即衣 AC 2 .AC=2y :.2y=2r+y .y=2r :AH=r+y=3r :AE AH -EH 3r-x 在RtAADE中，由勾股定理得：AE2=AD2+DE2, (3r-x2=(2r)2+(x+r2 1 解得：x=。r, 2 1 3 .DE=x+r=。r+r= 2 3 tan∠A= DE=23 AD 2r 4 例2.(2026河南南阳·一模)不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体制作了一个戴帽子 的不倒翁（如图①），图②是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O).已知帽子的边缘PA,PB分别与 ⊙0相切于点A、B,若该圆半径是1，∠P=60°，则图中阴影部分的面积是() 7777777777 7777分7777 图① 图② A.3-π B.45-4n C.5 3 3 D.25-号 【答案】A 【分析】连接OP,根据切线的性质得∠PAO=∠PBO=90°，PA=PB,再说明△AP0≌△BP0,可得0P=20A=2 ,LA0P=LB0P=60°，接下来根据勾股定理求出PA=√3，然后根据S阴影=2S4P0-S磨形4B0得出答案。 【详解】解：连接OP, :PA,PB是O0的切线， .∠PAO=∠PBO=90,PA=PB. OA=OB, △AP0≌△BP0, 10 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 .∠AP0=∠BP0=30°， .0P=20A=2,∠A0P=∠B0P=60°， 根据勾股定理，得PA=PB=VOP2-OA2=√5. S=2Sp0二S商移40=2×)V3X-360=V3-2. 2 B 777777777777777 例3.(2026黑龙江哈尔滨·一模)如图，P为⊙0外一点，PA和PB为O0的两条切线，A和B为切点，BC为直径， 连接AC,P0.如果∠C=58°，那么∠AP0的度数是() A B A.20° B.22° C.32° D.36° 【答案】C 【分析】连接OA,证明△PAO≌△PBO(SSS)得∠AOP=∠B0P,根据圆周角定理求出LAOB=2LC=116°，可得 ∠AOP=∠BOP=∠AOB=58°，进而可求出LAP0的度数. 【详解】解：如图，连接OA, B :PA和PB为⊙O的两条切线， PA=PB,∠PAO=∠PBO=90°. OA=OB,PO=PO, △PAO≌△PBO(SSS), 11 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 ∠A0P=∠B0P. :AB=AB,∠C=58°， .∠A0B=2∠C=116°， :∠4OP=∠BOP=∠AOB=58, 2 .∠AP0=90°-58°=32°. 例4.(2026江西上饶一模)如图，EA,ED是⊙0的切线，切点为A,D,点B,C在O0上，若 ∠BAE+∠BCD=236°，则∠E= D 【答案】68 【分析】连接AD,由圆的内接四边形的性质可得∠BAD+∠BCD=180°，进而可得∠DAE=56°，再根据切线长定 理可得EA=ED,即得∠EDA=∠EAD=56°，最后根据三角形内角和定理即可求解. 【详解】解：连接AD, E 四边形ABCD是⊙O的内接四边形， U .∠BAD+∠BCD=180°， :∠BAE+∠BCD=236°， :∠BAE+∠BCD-∠BAD+∠BCD=236°-180°， ∠BAE-∠BAD=56°， 即∠DAE=56°， :EA,ED是OO的切线，切点为A,D, :EA=ED, LEDA=∠EAD=56°， ∠E=180°-56°×2=68°. 例5.(226江苏徐州一模)如图，四边形ABCD与⊙0分别相切于点E,F,G,H,其中，四边形ABCD的周 长为44，AD=12,则BC长度为· 12 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 E G 【答案】10 【分析】根据切线长定理DE=DH,AE=AF,BF=BG,CG=CH,根据AD=12即可得出 DE+AE+DH+AF=24,进而得出BG+CG+BF+CH=2BC=20,即可得答案 【详解】解：：四边形ABCD与OO分别相切于点E,F,G,H, .DE=DH,AE=AF,BF=BG,CG=CH, AD=12, .DE+AE+DH+AF=2(DE+AE)=2AD=24, :ABCD的周长为44， :.BG+CG+BF+CH=2(BG+CG)=2BC=44-24=20, .BC=10 【变式训练】 变式1.(2026山东淄博一模)如图，EA,ED是O0的切线，切点为A,D,点B,C在圆O0上，若 ∠ABC+∠CDE=235°，则∠E=() E B A.55° B.65 C.70° D.78 【答案】C 【分析】连接AD,则∠ABC+∠ADC=I80°，而LABC+∠CDE=235°，求得∠ADE=55°，由切线长定理得 EA=ED,则LEDA=∠EAD=55°，所以∠E=180°-LEDA-∠EAD=70°，于是得到问题的答案. 【详解】解：如图，连接AD, 13 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 B :四边形ABCD是⊙O的内接四边形， LABC+LADC=180°. :∠ABC+∠CDE=235°， LEDA=55°. :EA,ED是⊙O的切线， :EA=ED, LEDA=LEAD=55°， ∠E=180°-∠EDA-∠EAD=180°-55°-55°=70°. 故选：C. 变式2.(2025·湖南长沙模拟预测)如图，在ABC中，BC=3,AC=4,AB=5,⊙0是它的内切圆，用剪刀沿 ⊙O的切线DE剪一个ADE,则ADE的周长为() 、D B A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】B 【分析】设ABC的内切圆切三边于点F、H、G,连接OF、OH、OG,由切线长定理可知AF=AG,根据DE是 OO的切线，可得DM=DF,EM=EG,根据勾股定理可得∠ACB=90°，四边形OHCG是正方形，根据面积法求 出内切圆的半径，进而可得ADE的周长 本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质. 【详解】解：如图，设ABC的内切圆切三边于点F、H、G,连接OF、OH、OG, 14 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 D M E G H 由切线长定理可知AF=AG,BF=BH,CH=CG, :DE是O0的切线， ∴.DM=DF,EM=EG, :BC=3,AC=4,AB=5, :AB2=AC2+BC2, .LACB=90°， 则四边形OHCG是正方形， O0是ABC的内切圆， 设内切圆的半径为， 由S-B+AC+BCr-ac-iC, 得5+4+到小r=2×3×4, 解得r=1, .CH=CG=1, .BF =BH BC-CH =3-1=2, AF=AG=AC-CG=4-1=3, .ADE的周长=AD+DE+AE =AD+DF+AE+EG =AF+AG =3+3 =6. 故选：B. 变式3.(2025江苏泰州一模)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC,AD,CD分别与扇形BAF相切 于点A与点E.当AB=15,BC=17时，AD的长为· 15 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 B F 【答案】9 【分析】连接BE,作DH⊥BC于点H,根据题目所给条件可得：AB=FB=I5,AD⊥AB,CD⊥EB,AD=ED, 再由勾股定理求得CE的长，证明四边形ABHD是矩形；在Rt△DHC中，根据勾股定理列式求解即可. 【详解】解：如图，连接BE,作DH⊥BC于点H,则LBHD=∠CHD=90°， AD,CD分别与扇形BAF相切于点A,E,AB=15,BC=17, AB=FB=I5,AD⊥AB,CD⊥EB,AD=ED, ∴.∠BAD=∠BEC=90°， CE=VBC2-BE2=V172-152=8, :CD=CE+ED=8+AD, ADI BC, LADH=∠CHD=90°， :∠BAD=∠ADH=∠BHD=90°， :四边形ABHD是矩形， :BH AD,DH AB=15, :CH BC-BH =17-AD, 在Rt△DHC中，DH+CH2=CD2, 152+(17-AD)2=(8+AD)2, 解得：AD=9. 故答案为：9. 变式4.(2025·广东惠州模拟预测)如图，在口ABCD中，AB=AC,BC=10.⊙0与边AB、BC、AD分别相切 于点E、C、F,与边CD交于点G,则DG的长度是· 16 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 A F D E .0 B 【答案】 【分析】如图所示，连接OE,OF,OC,FG,首先推出点F,O,C三点共线，即CF是O0的直径，然后求出 AF=DF=】AD=5,然后由切线长定理得到AE=AF=5,BE=BC=10,勾股定理求出CF,然后利用三角形面 积公式求出FG-10W巨，然后利用勾股定理求解即可. 3 【详解】解：如图所示，连接OE,OF,OC,FG, A F D :OO与边AB、BC、AD分别相切于点E、C、F, .OF⊥AD,OC⊥BC,OE⊥AB :四边形ABCD是平行四边形 .AD /BC,AD BC=10,AB=CD, .点F,O,C三点共线，即CF是o0的直径 AB=AC .AC=CD .AF-DF-AD-5 :OO与边AB、BC、AD分别相切于点E、C、F, .AE=AF=5,BE=BC=10 ..CD=AC=AB=AE+BE=5+10=15 :CF⊥AD CF=CD2-DF2=102 :CF是O0的直径 .∠FGC=90° 11 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 .S.o-CF-DF-CD.FG x10w2x5-3x15rc 1 ÷FG=10V2 3 DG=FD-FG=5 放答案为：} 变式5.(25-26九年级上山东烟台·月考)如图，P是⊙0外一点，PA,PB分别和⊙0切于A、B,C是弧AB上任 意一点，过C作OO的切线分别交PA,PB于D、E,若△PDE的周长为20Cm,则PA长为 C E 【答案】10cm 【分析】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理和正确计算是解题的关键 先根据切线长定理，得到PA=PB,DA=DC,EB=EC,再根据线段之间的关系即可求解. 【详解】解：：PA,PB分别和OO切于A、B, :PA=PB, :过C作OO的切线分别交PA,PB于D、E, :.DA=DC,EB=EC :△PDE的周长为20cm, PD+DE+PE =20 cm, PD+DC+EC+PE=20 cm, ：PD+DA+EB+PE=20Cm, 则PA+PB=20Cm, ：2PA=20Cm,即PA=10Cm. 故答案为10cm. 18 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 考点二 切线的证明 【例题分析】 例1.(2026江苏宿迁·一模)如图，以ABC的BC边上的一点O为圆心的圆，经过A,B两点，且与BC边交于点 E,D为BE所对的下半圆中点，连接AD交BC于F,AC=FC. B (1)求证：AC是⊙0的切线： (2)已知⊙0的半径为10，BF=12,求0C的长. 【答案】(1)见解析 (2)26 【分析】(1)连接OA,OD,由题意可得D0⊥BC,即∠D0F=90°，从而可得∠0DF+∠DF0=90°，由等边对等 角并结合对顶角相等得出∠0AD+∠FAC=90°，即∠0AC=90°，即可得证； (2)由题意可得0A=0B=10,则OF=2,设AC=CF=x,则0C=x+2,再由勾股定理计算即可得出结果. 【详解】(1)证明：如图：连接OA,OD, B D :D为BE所对的下半圆中点， .D0⊥BC, .∠D0F=90°， .∠0DF+∠DF0=90°， 0A=0D, ∴L0DA=∠0AD, .∠0AD+∠DF0=90°， :AC=CF,∠AFC=∠DFO, :ZFAC ZAFC ZDFO 19 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 .L0AD+∠FAC=90°，即∠0AC=90°， :OA为00的半径， .AC是⊙0的切线： (2)解：：⊙0的半径为10， .0A=0B=10, .0F=BF-0B=2, 设AC=CF=x,则0C=0F+CF=x+2, 由勾股定理可得AC2+OA2=OC2, .x2+102=(x+22, 解得：x=24, .0C=x+2=26. 例2.(2026湖南张家界一模)如图，AB是⊙0的直径，AC,BC是⊙0的弦，过圆心O作BC的平行线0D与 过点C的切线交于点D,与AC交于点E. (I)求证：AD是⊙0的切线： (2)如果LB=2LCD0,OD=3,求CD的长； (3)在(2)的条件下，求图中阴影部分的面积. 【答案】()见解析 235 2 ③9v5-3r 8 【分析】(1)连接OC,可证得△C0D≌△A0D,从而∠DA0=∠DC0,进一步得出结果； )可推出∠CD0-2,结合LCD0+L2=90°得出LCD0=30°，进而得出结界 C3)可结合1)(2》得出∠5=∠2=24DC0=60,01=0C-0D=340=CD=35,从而求得△40D和 3 2 扇形AOF的面积，进而得出结果。 【详解】(1)证明：如图，连接0C 20 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 B 0B=0C, D 图1 ∠B=∠1， BC∥OD, .∠B=∠3，∠1=∠2， ∠2=∠3， 0C=0A,0D=0D, :△COD≌aA0D(SAS), .∠DA0=∠DC0, CD是OO的切线， .∠DC0=90°， .∠DA0=90°， 0A⊥AD, :点A在⊙0上， :AD是O0的切线； (2)解：如图1， 由(1)知：∠B=∠1=∠2， ∠B=2∠CD0, 600-2. :∠CD0+∠2=90° ∠CD0=30°， :∠DC0=90°， CD=0Dc0s∠CD0=3c0s30°=3V5 (3)解：如图1，设0D交00于F, 由12》知5=1-240c0=60,01=0c-00-号40=c0=35, 27 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 5m=0140=x3x3595 60°.π× 3)2 2228S扇形0F= 3, =一π 360° .S阴影=S4OD-S扇形40F= 9V3-3π 8 例3.(2026湖北荆州模拟预测)如图，点P为⊙0上一点，AB为直径，OP⊥AB,点C为OP上一点，连接AC 并延长交OO于点D,在D点作∠EDC=∠ECD,交OP的延长线于点E. B (1)求证：ED为O0的切线； (②)若点C为OP中点，EP=2,求sin∠E的值. 【答案】(1)见解析 o号 【分析】(1)连接0D,则0D=0A,证明∠ED0=90°，即可得证； (2)设PC=OC=x,则0P=OD=2x,E0=2+2x,在Rt△ODE,根据勾股定理建立方程求得OD,OE,进而根 据正弦的定义，即可求解。 【详解】(1)证明：连接0D,则0D=0A. D C ∠0AD=∠ODA, B :OP⊥AB, LCA0+∠AC0=90° 而∠ACO=∠ECD=∠EDC .LED0=LEDC+LAD0=∠CA0+∠AC0=90° 又点D为OO半径外端点 .ED为O0的切线. 22 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 (2)设PC=0C=x,则0P=0D=2x,E0=2+2x. :∠EDC=∠ECD, :EC=ED=2+x :∠ED0=90°， :在Rt△ODE中，OE2=ED2+OD2 即(2x+2)2=(x+2)2+(2x)2, 解得：x=4(x=0不合题意，舍去) 0D=0P=8,0E=10 OD 4 :在Rt△ODE中，sin∠E= OE-5 例4.(2026湖南长沙.一模)如图，AB是⊙0的一条弦，点C是00外一点，0C⊥0A,0C交AB于点P、交 ⊙0于点Q,且CP=CB. A B (1)求证：BC是O0的切线； (2)若∠A=22.5°，r=2,求图中阴影部分的面积. 【答案】()见解析； ②28 【分析】(1)根据等边对等角得LCPB=∠CBP,根据垂直的定义得∠OBC=90°，即OB⊥CB,则BC是OO的切 线 (2)根据三角形的内角和定理得到∠AP0=67.5°，推出∠PCB=45°，从而求得OB=BC=2,根据三角形和扇形 的面积公式即可得到结论. 【详解】(1)证明：连接OB, 23 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 :0A=0B, 分 :∠OAB=∠OBA, CP=CB, :ZCPB=ZCBP, ·∠CPB=∠APO, :∠CBP=∠APO, 在RtaA0P中，∠A+∠AP0=90°， :∠OBA+LCBP=90°， ∠0BC=90°， OB⊥CB, 又OB是半径， .CB与O0相切； (2)解：：∠A=22.5°，∠A0P=90°， .∠AP0=67.5°， ∠BPC=∠AP0=67.5°， PC=CB, LCBP=67.5°， .∠PCB=180°-2LCBP=45°， L0CB=∠C0B=45°， 0B=BC=2, “图中阴影部分的面积=)x×2×2-45×元x2 2 360 2、π 【变式训练】 变式1.(2026江西萍乡一模)如图，AB为⊙0的直径，C为O0上的一点，连接AC、BC,点E在AB的延长线 上，且满足LBCE=∠BAC,过点A作AD⊥CE交EC的延长线于点D,交OO于点F. 24 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 D B (I)求证：CE为⊙0的切线： (2)求证：BC2=AB.DF; 6若4B=10cos∠D4C=手求F的长. 【答案】()证明见解析 (2)证明见解析 (3)2.8 【分析】(1)连接OC,根据切线的判定证明即可； (2)连接OC,CF,证明△DAC∽△CAB,△DFC∽△CAB,证明即可； （3)由（②）可知∠D1C-∠E4C,得到co∠BAC=co∠BAC=子，利用勾最定理和(2)的结论求解即可； 【详解】(1)证明：连接0C,则0A=0C, D F .:∠BAC=∠ACO, B E :AB为⊙O的直径， :∠ACB=90°即∠AC0+∠0CB=90°， :ZBAC+20CB =90 又：∠BCE=∠BAC LBCE+L0CB=90° OC⊥CE CE为OO的切线； (2)证明：连接CF,则OC=OA, 25 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 D .∠BAC=∠OCA, :CD与O0相切于点C, CD⊥OC, :AD⊥CD, ∴.ADOC,∠D=90° :∠DAC=∠OCA,∠ACB=∠D=90° ·LDAC=∠EAC, .DAC∽CAB, DC AC DA CB AB AC DC CB AC AB' :四边形ABCF是⊙O的内接四边形， :∠ABC+∠AFC=180° :∠CFD+∠AFC=180°， .∠CFD=∠ABC, :∠ACB=∠D ∴△DFCn△CAB, DC DF AC CB' CB DF AB CB .BC2=AB.DF (3)解：(3)由(2)可知∠DAC=∠EAC, 4 ∴.cOS∠BAC=cOS∠BAC= 5 :AB为O0的直径：∠ACB=90° :AC=AB·cos∠BAC=8 :.BC=AB2-AC2=6 .BC2 AB.DF 26 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 DF=3.6 AC、DA AB AC' DA=6.4 AF=AD-DF=6.4-3.6=2.8; 变式2.(2026广西一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，A0是ABC的角平分线，以点0为圆心，0C为 半径作⊙0，A0交00于点E,延长A0交00于点D. D (1)求证：AB是OO的切线； ②若AB与00的切点为P,连接CF交4D于点M,已知an∠D-},设00的半径为5，求CF的长。 【答案】(1)证明见解析 e号 【分析】(1)过点O作OF⊥AB于点F,证明OF=OC即可. (2)先证明△ACO≌△AFO,可得AC=AF,连接CF交AD于点M,由AO平分∠BAC,可得CM=MF,连接 CE,在R1DCE中，由an∠D=子，可得CE=6,CD=8,在Rt DCE中，由等面积法可符CM的长，即可求行 CF的长 【详解】(1)证明：如图①，过点O作OF⊥AB于点F, :A0平分∠CAB, ∠ACB=90°，OF⊥AB, 0F=0C, :AB是OO的切线. 27 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 A B D 图① (2)解：由(1)可知，AB是O0的切线，则∠AF0=90°， 在RtAACO和Rt AFO中， AO=AO OC=OF' :RtAACO≌Rt△AFO(HL, :AC=AF, 如图②，连接CF交AD于点M, :A0平分∠BAC, AD⊥CF,垂足为M, :CM=MF, 连接CE, :ED是⊙0的直径，00的半径为5， .LECD=90°，DE=10 在Rt DCE中，tan∠D=3 .CE 3 CD4 设CE=3k,CD=4k, 在Rt DCE中，CE2+CD2=DE2,即(3k)2+(4k)2=102, ∴k=2或k=-2(不合题意，舍去) CE=6,CD=8, SABCD=DE.CM _1CE-CD, 2 ..CM=CE-CD_6x8 24 DE105 ∴.CF=2CM=2×3 .2448 55 28 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 A M B D 图② 变式3.(2026·辽宁本溪一模)如图，在ABC中，BC是⊙0的弦，CD是⊙0的直径，连接BD, ∠ABC=LBDC. (1)求证：AB是⊙0的切线： 4 1BC5P,4B=56,求BC的张.（参考数据：sn53es5 3 【答案】(1)见解析 ②BC的长为265r 18 【分析】(1)连接OB,利用直径所对圆周角为直角、等腰三角形性质及已知角的等量关系，推出AB⊥OB,从而 证明AB是圆0O的切线： Bc≈5'tan53o=CE4 （2)过点C作CE14B于点E,先证明CE=AE,sim53°=CE4, BE行，再设8E=30,则 CE=AE=4a,BC=5a,接着算得CD,得到半径长，最后用弧长公式算出弧BC的长度， 【详解】1)证明：如图1，连接OB. CD为00的直径， ∴.∠CBD=90°， ∴LBDC+∠BCD=90°. :0C=0B, .∠OBC=∠BCD, :∠ABC=LBDC, .LABC+∠0BC=90°， .∠0BA=90°， 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 .AB⊥OB, OB是⊙0的半径， .AB是OO的切线， (2)解：过点C作CE⊥AB于点E,则∠AEC=LBEC=90°. C D在RIAAEC中，LAEC=90°，∠A=45°， .∠A+ACE=90°， .LA=∠ACE=45°， .CE AE, 在Rt△BEC中，∠BEC=90°，∠ABC=53°， sin∠ABC=B2,tan∠BC=C BE Bc*5,tan53°=CE、4 :sim53°=CE≈4， BE 3 设BE=3a,则CE=AE=4a, :.BC=BE2+CE2=(3a)+(4a)2=5a, .AB=AE BE =4a+3a=7a=56, a=8, .BC=5a=40, :CD是⊙0的直径， LCBD=90°， :∠ABC=∠BDC=53°， 在RtACBD中，∠CBD=90°，∠BDC=53°， .sin ZBDC=CB D’ sin53°= 404 CD5' CD=50, .半径r=25 BC=BC .∠B0C=2∠BDC=106°， 30 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 ·BC的长为=106×元x25-265元 180 18 答：BC的长为265 8 变式4.(2026山东济南一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,以CD为直径的O0交BC 于点E,交AC于点F,M为线段DB上一点，连接OM,ME,OM∥BC. C DMB (1)求证：ME是O0的切线； 3 ②若CF=3,cosB=亏，求0M的长. 【答案】()见解析 20M=25 8 【分析】(1)连接半径OE,利用等腰三角形、平行线性质证明角相等，然后用SAS证明全等三角形，得到 OE⊥ME,进而证明切线； (2)利用同角的余角相等、圆周角定理、余弦定义求出CD,再结合平行线性质、勾股定理求OM· 【详解】(1)证明：连接OE,如图所示， F DMB :0C=0E, .∠OCE=∠OEC, :OM∥BC, .∠EOM=∠OEC,∠DOM=∠OCE, .∠EOM=∠D0M, 在OME和△OMD中， OE=OD ∠EOM=∠DOM, OM=OM 31 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 .△OME≌OMD(SAS), LOEM=∠ODM, CD⊥AB, ∠0DM=90°， .L0EM=90°， ME是O0的切线， (2)解：连接DF,如图所示. A DMB :∠ACB=90°，CD⊥AB, .∠A+∠B=90°，∠A+∠DCF=90°， .ZB ZD CF :cos∠DCF=cosB= 3 :CD为O0的直径， .∠DFC=90°， 在RtaDCF中，∠DFC=90°，cos∠DCF=CF-3, CD5' CF=3, ∴.CD=5, ·OD=CD=3 2 2 :OM∥BC, .∠OMD=∠B, 在RtaD0M中，L0DM=90°，cos∠OMD=DM=3 DM =3x,OM =5x,OD2+DM2=OM2, -5r, 5 8 32 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 OM=5r=25 8 33圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 圆：切线长定理、切线的证明复习讲义 考点目录 切线长定理 切线的证明 知识点解析 考点一 切线长定理 解题原理 1. 从圆外一点向圆引两条切线，两条切线长相等； 1. 圆心与该外点的连线，平分两条切线的夹角，且垂直平分切点连线； 1. 本质：利用圆的对称性、半径垂直切线、三角形全等，实现线段相等、角度等量转化。 解题思路 1. 识别图形：找准圆外一点、两条切线、切点、圆心； 1. 直接套用定理：写出两组切线长相等，完成线段代换； 1. 角度转化：利用连心线平分切角，推导角相等； 1. 综合计算：结合周长、线段和差、直角三角形、勾股定理求解边长； 1. 复杂图形：多次使用切线长定理，多组等线段叠加化简。 考点二 切线的证明 解题原理 切线判定两大核心依据： 1. 有切点，连半径，证垂直：直线与圆有公共点，证明半径与直线垂直； 1. 无切点，作垂直，证等径：直线与圆无明确交点，过圆心作直线垂线，证明垂线段长度等于半径； 核心本质：满足「垂直+半径」任一判定条件，即可判定为切线。 解题思路 1. 有公共点（已知切点） ① 连接圆心与切点，构造半径； ② 利用内角和、互余、全等、平行、直角推导垂直； ③ 由“半径⊥直线”，证得直线是圆的切线。 1. 无公共点（未知切点） ① 过圆心向待证直线作垂线段； ② 证明该垂线段长度等于圆的半径； ③ 由“圆心到直线距离等于半径”，证得切线。 真题速递 1．（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______． 2．（2025·四川泸州·中考真题）如图，梯形中，，与梯形的各边都相切，且的面积为，则点到的距离为____________． 3．（2025·山东东营·中考真题）如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积． 4．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 5．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，为正三角形的外接圆，直线经过点C，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积． 考点一 切线长定理 【例题分析】 例1．（2026·安徽淮南·一模）如图，是的内切圆，线段与相切，与、分别交于点D、点E，且，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·河南南阳·一模）不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体制作了一个戴帽子的不倒翁（如图①），图②是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的边缘分别与相切于点A、B，若该圆半径是1，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 例4．（2026·江西上饶·一模）如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则_______________． 例5．（2026·江苏徐州·一模）如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 【变式训练】 变式1．（2026·山东淄博·一模）如图，，是的切线，切点为，，点，在圆上，若，则（    ） A．55° B．65° C．70° D．78° 变式2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿的切线剪一个，则的周长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 变式3．（2025·江苏泰州·一模）如图，在四边形中，，，，分别与扇形相切于点A与点E．当时，的长为__． 变式4．（2025·广东惠州·模拟预测）如图，在中，，．与边、、分别相切于点、、，与边交于点，则的长度是______． 变式5．（25-26九年级上·山东烟台·月考）如图，P是外一点，，分别和切于A、B，C是弧上任意一点，过C作的切线分别交，于D、E，若的周长为，则长为_______． 考点二 切线的证明 【例题分析】 例1．（2026·江苏宿迁·一模）如图，以的边上的一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与边交于点E，D为所对的下半圆中点，连接交于F，． (1)求证：是的切线； (2)已知的半径为10，，求的长． 例2．（2026·湖南张家界·一模）如图，是的直径，，是的弦，过圆心O作的平行线与过点C的切线交于点D，与交于点E． (1)求证：是的切线； (2)如果，，求的长； (3)在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积． 例3．（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，点为上一点，为直径，，点为上一点，连接并延长交于点，在点作，交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若点为中点，，求的值． 例4．（2026·湖南长沙·一模）如图，是的一条弦，点是外一点，，交于点、交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【变式训练】 变式1．（2026·江西萍乡·一模）如图，为的直径，为上的一点，连接，点在的延长线上，且满足，过点作交的延长线于点，交于点． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，求的长． 变式2．（2026·广西·一模）如图，在中，，是的角平分线，以点为圆心，为半径作，交于点，延长交于点． (1)求证：是的切线； (2)若与的切点为，连接交于点，已知，设的半径为5，求的长． 变式3．（2026·辽宁本溪·一模）如图，在中，是的弦，是的直径，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的长．（参考数据：，，）． 变式4．（2026·山东济南·一模）如图，在中，，于点，以为直径的交于点，交于点，为线段上一点，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $