河北保定市第一中学2025-2026学年高二下学期4月期中数学试题

**基本信息** 高二数学期中试卷聚焦导数、概率统计、排列组合核心知识，通过校本课程排课、新高考多选题得分模型等真实情境，考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|导数计算、二项式定理、条件概率|基础概念与图像分析结合（如第4题导函数图像判断极值点）| |选择题（多选）|3/18|随机变量均值方差、概率应用|多选项辨析考查逻辑严谨性（如第9题均值方差性质判断）| |填空题|3/15|概率分值计算、排列组合|实际问题抽象（如第13题爱国主义教育基地参观方案）| |解答题|5/77|函数最值、二项式定理、概率期望|真实情境综合应用（如第17题校本课程排课、18题新高考多选题得分模型）|

高 二 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.函数 f(x)= ln(3x+2),则 f'(0)= D. B. C. A. ln 2 2.已知二项式(2x-1)"的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n的值为 A.9 B.10 C.11 D.12 3.假设A，B是两个事件，且 P(A)>0，P(B)>0，则下列结论一定正确的是 A. P(A|B)P(B)=P(AB) B. P(A|B)=P(B|A) C. P(A|B)=P(A)P(B) D. P(A|B)≤P(A) 4.若函数y=f(x)的导函数y=g(x)=的图象如图所示，则下列说法正确的是 A.-3是函数 f(x)的零点 B.-1是函数 f(x)的极小值点 C.函数 f(x)的单调递增区间为(-3,+∞) D. 的解集为(-∞,-3) 5.甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有8个黑球、2个白球，乙箱中有5个黑球、5个白球.掷一枚质地均匀的骰子一次，若点数为1或2，则从甲箱子随机摸出1个球；若点数为3，4，5，6，则从乙箱子随机摸出1个球，那么摸出黑球的概率为 A. B. C. D. 6.已知在R上可导的函数 f(x)满足-f(x)>0,则下列不等式一定成立的是 C. D. 7.某学校准备把3个高中数学联赛和3个高中物理联赛的名额分配到高二年级的甲、乙、丙三个班，每班恰好2个名额，则不同的分配方案共有 A.6种 B.7种 C.8种 D.15种 8.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为2cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O. E，F，G，H为圆O上的点,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA分别是以AB,BC,CD,DA为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以 AB,BC,CD,DA为折痕折起△EAB,△FBC,△GCD,△HDA,使得E,F,G,H重合,得到四棱锥.当正方形ABCD的边长变化时，所得四棱锥体积(单位：cm³)的最大值为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.关于离散型随机变量的均值和方差，下列说法正确的是 A. E(aX+b)=aE(X)+b B. D(aX+b)=aD(X) C.若随机变量X满足P(X=c)=1,其中c为常数,则D(X)=0 D.若 则 10.猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金分别是：猜对歌曲A的概率为0.8，可获公益基金1千元；猜对歌曲B的概率为0.6，可获公益基金2千元；猜对歌曲C的概率为0.4，可获公益基金3千元.规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，记嘉宾获得的公益基金总额为X千元，则下列说法正确的是 A. P(X=0)=0.2 B. P(X=3)=0.48 C. E(X+1)=2.336 D.按照C，B，A的顺序猜比按照A，B，C的顺序猜获得公益基金总额的期望值更小 11.已知函数 则下列结论中错误的是 A. f(x)存在两个不同的零点 B. f(x)既没有最大值，也没有最小值 C.当 时，f(x)=k有且只有三个实根 D.当x∈[m,+∞)时,f(x)的最大值为，则m的最小值为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在单项选择题中，每道题有四个选项，其中仅有一个选项正确.如果从四个选项中随机选一个，选对的概率为 0.25.若当选对的赋予分值为9，且随机选择时得分的均值为0，则选错的赋予分值为 . 13.爱国主义是我们民族精神的核心，是我们每个人心中永不磨灭的信念.某中学甲、乙、丙、丁四位同学通过参观爱国主义教育基地，革命纪念馆，历史博物馆三种场所了解英雄事迹，感受革命精神.若每人只去一种场所，每个场所都有人去，且甲不去历史博物馆，则不同的参观方案有 种. 14.已知函数 与 的图象上存在关于原点对称的点，则实数a的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知函数 满足 (1)求 的解析式; (2)求 在区间[-1,2]的最大值与最小值. 16.(本小题满分15分) 已知( 且 求:(1)n和a₀; 17.(本小题满分15分) 我校以大课程观为理论基础，以关键能力和核心素养的课程化为突破口，深入探索普通高中创新人才培养的校本化课程体系.本学期共开设了七大类校本课程，具体为学科拓展(A)、大学先修(B)、生涯规划(C)、社会实践(D)、劳动实践(E)、科学探索(F)、文化艺术(G)七大类，假期里决定继续开设这七大类课程，每天开设一类且不重复，连续开设七天. (1)某学生从中选3类课程，已知他已经选择课程D，不会选择课程B，求他的不同选课方法共有多少种； (2)课程C和课程F 中间间隔一天开课，共有多少种不同排法? (3)课程结束后，我校将评出七类课程中学生最喜欢的前四名课程.已知课程G不是第一名，则前四名的不同排法有多少种? 18.(本小题满分17分) 新高考数学试卷中的多项选择题，给出的4个选项中有2个及以上选项是正确的，每一道题考生全部选对得6分.若正确选项有2个，则每个正确选项3分；若正确选项有3个，则每个正确选项2分，对而不全得相应分数，选项中有错误得0分.设一套数学试卷的多选题中有2个选项正确的概率为p(0<p<1)，有3个选项正确的概率为1-p，没有4个选项都正确的.在一次模拟考试中： (1)小明可以确认一道多选题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择1个作为答案，求小明该题得分的数学期望； (2)小明可以确认另一道多选题的选项 A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若 以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案? 19.(本小题满分17分) 已知函数 (1)当m=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； (2)若对任意的 都有 成立，求实数m的取值范围；(注：ln 2≈0.6931) (3)当m=0时,求证: 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学答案 1-8 CBACADBD 9.ACD 10.AD 11.BCD 12. ； 13.24; 14. 15.解：（1） ……4分 （2）由（1）可知,令得……6分 当,单调递减; 当,单调递增; 当,单调递减,……8分 而……11分 即最大值为1，最小值为-2.……13分 16解：（1），， ，，……3分.……5分 （2）令得，……10分 （3）令得，， 令得，， ……15分 17.解：（1）种……5分 （2）种……10分 （3）直接法:间接法：种……15分 18.解：（1）根据题意可知， 小明该题得分为，则的可能取值为0，2，3，对应概率为：，故……4分 （2）若小明选择方案①，则小明的得分为，则的可能取值为2，3，对应概率为： 故，……7分 不妨记一道多选题“有2个选项正确”为事件，“有3个选项正确”为事件， 若小明选择方案②，记小明该题得分为， 则的可能取值为0，4，6，对应概率为： ， ， ， 故，……11分 若小明选择方案③，记小明该题得分为， 则的可能取值为0，6，对应概率为： ， ， 故，……14分 ，……15分 故以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择方案①．……17分 19.解：（1）当时， ,切线方程为,……3分 （2） ,令得.当,单调递减，当,单调递增，最小值为.……5分 对任意的,恒成立，即恒成立， 令，,……6分 在单调递减， 当,在单调递增; 当,单调递减， ,……9分 故……10分 （3） 当时，， 求证：.即证 ……12分 令，,得 当,单调递增; 当,单调递减 ……14分 令，,得 当,单调递减; 当,单调递增 . 当且仅当时等号成立，显然取不到 即……17分 学科网（北京）股份有限公司 $