精品解析：安徽滁州中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

滁州中学2025级高一下学期期中考试 数 学 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题上． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列命题正确的是 A. 若都是单位向量，则 B. 两个向量相等的充要条件是它们的起点和终点都相同 C. 向量与是两个平行向量 D. 若，则四点是平行四边形的四个顶点 【答案】C 【解析】 【分析】利用单位向量的定义可判断A；利用向量相等的定义可判断B；利用平行向量的定义可判断C；利用向量相等的定义可判断D. 【详解】对于A，单位长度为的向量为单位向量， 都是单位向量，但方向可能不同，故A不正确； 对于B，模相等，方向相同的向量为相等向量，故B不正确； 对于C，向量与为相反向量，所以两个为平行向量，故C正确； 对于D，，若四点在同一条直线上， 不能构成平行四边形，故D不正确； 故选：C 【点睛】本题考查了向量的基本概念，需理解单位向量、相等向量、共线向量的概念，属于基础题. 2. 若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：因为, 由题意可得,解得.故B正确. 考点：复数的运算. 【易错点晴】本题主要考查的是复数的乘法运算和的性质，属于容易题．解题时一定要注意和运算的准确性.当复数为纯虚数时一定要注意其实部等于0,虚部不等于0,否则极易出错. 3. 已知两个单位向量满足，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，，结合数量积的运算律求模长. 【详解】由题意可知：，， 所以. 故选：A． 4. 设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】根据基底的定义，结合共线向量的性质判断即可. 【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成， C选项中，，即和为共线向量， 所以它们不能作为基底． 其他选项中的两个向量都不共线，所以可以作为基底． 故选：C 5. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知直观图为等腰梯形，，，， 则； 将直观图复原为原图，如图所示： 则，，， 作于F，则， 所以， 故四边形的周长为. 6. 的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，设向量.若使，则角C的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线向量定理可知，再根据向量共线的坐标表示即可列出方程，然后利用正弦定理以及余弦定理即可解出． 【详解】因为，所以，即，边角转化得，所以，而，所以． 故选：C. 7. 某远洋运输船在海面上航行至海上处，测得小岛上灯塔顶端位于其正西方向且仰角为45°，该运输船继续沿南偏西30°的方向航行100米至处，测得灯塔顶端的仰角为30°，则该灯塔顶端高于海面（ ） A. 50米 B. 100米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】设灯塔顶端高于海面的距离为米，利用锐角三角函数的定义算出米，米，然后在中利用余弦定理建立关于的等式，解之即可得到本题的答案． 【详解】根据题意作出示意图，如图所示， 设灯塔顶端高于海面的距离为米，由题意得，， 所以米，米， 在中，，， 由余弦定理得， 即，整理，解得不符合题意，舍去）． 综上所述，灯塔顶端高于海面的距离为50米． 故选：． 8. 已知梯形中，，点为边上的动点，若，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，应用向量的夹角公式计算最后结合值域求解. 【详解】如图所示建立平面直角坐标系，则 ，， 设，则，， ， 令，则， ， 可得， 故选:D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，下列结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则是直角三角形 C. 若，则是钝角三角形 D. 若，则是等边三角形 【答案】CD 【解析】 【分析】由三角函数的性质结合诱导公式判断选项AB；正弦定理角化边余弦定理得角的范围判断选项C；正弦定理结合倍角公式化简判断选项D. 【详解】对于A，中，若，则有或， 当时，，为等腰三角形； 当时，，为直角三角形， 故A选项不正确， 对于B，中，若，则或， 即或，因此不一定是直角三角形，故B选项不正确； 对于C，中，若，则根据正弦定理得， 余弦定理得，则为钝角，是钝角三角形，故C选项正确； 对于D，中，若，则，即， 由，得， 所以，，是等边三角形，故D选项正确． 故选：CD． 10. i是虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则的最小值为1 D. 若是关于的方程的根，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的乘方即可判断A；根据复数的乘法运算及共轭复数的定义即可判断B；设，再根据，求出的关系，再结合复数的模的公式即可判断C；根据方程的复数根互为共轭复数即可判断D. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，若， 则，故B正确； 对于C，设， 由，得，即，所以， 则， 所以的最小值为1，故C正确； 对于D，若是关于的方程的根， 则也是关于的方程的根， 所以，故D错误. 故选：BC. 11. 在中，角的对边分别为，外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 面积的最大值为 D. 若，角的平分线交于点，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】由正弦定理及两角和正弦公式化简判断A；由正弦定理计算判定B；由余弦定理结合基本不等式可得，再利用三角形面积公式计算判定C；由，利用三角形面积公式计算判断D. 【详解】对于A，因为， 所以， 所以，又，即， 则，又，所以， 解得，又，故，故A正确； 对于B，因为，外接圆的半径为2， 所以，故B正确； 对于C，因为，即， 又，所以，得，当且仅当时，取等号， 所以，即面积的最大值为，故C正确； 对于D，由，结合，解得， 由，即， 解得，故D不正确． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为______ 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知圆锥的母线长为2，根据圆锥侧面展开图的弧长为圆锥的底面圆的周长，可求得底面圆的半径，进而求得圆锥的高. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 有题意知，，解得， 所以. 故答案为：. 13. 设非零向量、的夹角为，，在方向上的投影向量为，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由投影向量的定义可求得的值. 【详解】由题意可知，在方向上的投影向量为， 故. 故答案为：. 14. 已知三棱锥的四个顶点均在球O上，平面为等腰直角三角形，A为直角顶点．若，且，则球O的表面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】把三棱锥补成长方体，利用三棱锥的外接球就是长方体的外接球，且长方体的体对角线就是长方体外接球直径，可求球的表面积. 【详解】因为平面平面，所以． 所以在中，由，可求得．在等腰中，． 易知三棱锥是球O内接长方体的一部分（如图），是该长方体的体对角线，故球心O在的中点处． 因为，所以球O的半径为，故球O的表面积为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题主要考查三棱锥的外接球表面积，将三棱锥的外接球转化为长方体的外接球为解题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别是，若， （1）求边， （2）求． 【答案】（1） （2），. 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求边. （2）利用勾股定理的逆定理判断的形状，再求角. 【小问1详解】 由余弦定理，， 所以. 【小问2详解】 因为，所以为直角三角形，，. 16. 如图，在正四棱锥中，是这个四棱锥的高，是斜高，且 . （1）求这个四棱锥的侧棱长; （2）求这个四棱锥的全面积和体积. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理计算出，可得出，然后利用勾股定理可计算出，即为该四棱锥的侧棱长； （2）计算出该正四棱锥的侧面积和底面积，相加即可得出该正四棱锥的全面积.再由体积公式求得体积. 【小问1详解】 在中，. 在中，，， 侧棱长； 【小问2详解】 ， ， ， . , 17. 在锐角三角形中，角所对的边分别为，且， （1）求角的取值范围； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简等式，根据角的关系，再根据锐角三角形列式求解； （2）根据正弦定理由边的关系转化为角的关系，再根据三角恒等变换转化为的二次函数求解. 【小问1详解】 ，∴由正弦定理得， 即，为锐角三角形，,则 所以，即，， . 【小问2详解】 由正弦定理得 ， . 18. 如图，长方体由，，，，过作长方体的截面使它成为正方形. （1）求三棱柱的表面积； （2）求三棱锥的体积； （3）求 . 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据截面为正方形，可得，利用三棱柱的表面积公式即可求解； (2)利用结合三棱锥的体积即可求解； (3)根据即可求解. 【小问1详解】 因为截面为正方形， 所以， 在中，， 即，解得， 所以三棱柱的表面积 【小问2详解】 由题可得： 【小问3详解】 因为， 在长方体中平面， 所以三棱锥的高为， 所以 . 19. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（）于年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点．在锐角中，角的对边分别为，且．若是锐角的“费马点”，． （1）求角； （2）若；求的面积； （3）若，且． ①求的周长； ②求的值． 【答案】（1） （2） （3）①；③ 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合已知条件求解； （2）利用正三角形的性质，结合费马点定义、余弦定理构造方程求出，进而利用三角形面积公式求解； （3）利用费马点性质结合余弦定理及三角形面积公式构造方程求出，进而求出三角形周长；再结合余弦定理求出． 【小问1详解】 由结合正弦定理可得， ， ， 为锐角三角形， ． 【小问2详解】 中，且， 为正三角形，边长， 费马点满足，且等边三角形费马点与重心、垂心重合， 设，由余弦定理，， 即，故，解得， 的面积． 【小问3详解】 ①设，由费马点性质，，故 ． ， 由得： ，即， 由余弦定理得，， 即，即， 又，联立，解得， 的周长为； ②由在中，由余弦定理得， 联立可得， 则， 即， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滁州中学2025级高一下学期期中考试 数 学 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题上． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列命题正确的是 A. 若都是单位向量，则 B. 两个向量相等的充要条件是它们的起点和终点都相同 C. 向量与是两个平行向量 D. 若，则四点是平行四边形的四个顶点 2. 若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数 A. B. C. D. 3. 已知两个单位向量满足，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4. 设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 5. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，设向量.若使，则角C的大小为（　　） A. B. C. D. 7. 某远洋运输船在海面上航行至海上处，测得小岛上灯塔顶端位于其正西方向且仰角为45°，该运输船继续沿南偏西30°的方向航行100米至处，测得灯塔顶端的仰角为30°，则该灯塔顶端高于海面（ ） A. 50米 B. 100米 C. 米 D. 米 8. 已知梯形中，，点为边上的动点，若，则的范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，下列结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则是直角三角形 C. 若，则是钝角三角形 D. 若，则是等边三角形 10. i是虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则的最小值为1 D. 若是关于的方程的根，则 11. 在中，角的对边分别为，外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 面积的最大值为 D. 若，角的平分线交于点，则 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为______ 13. 设非零向量、的夹角为，，在方向上的投影向量为，则______． 14. 已知三棱锥的四个顶点均在球O上，平面为等腰直角三角形，A为直角顶点．若，且，则球O的表面积为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别是，若， （1）求边， （2）求． 16. 如图，在正四棱锥中，是这个四棱锥的高，是斜高，且 . （1）求这个四棱锥的侧棱长; （2）求这个四棱锥的全面积和体积. 17. 在锐角三角形中，角所对的边分别为，且， （1）求角的取值范围； （2）求的取值范围. 18. 如图，长方体由，，，，过作长方体的截面使它成为正方形. （1）求三棱柱的表面积； （2）求三棱锥的体积； （3）求 . 19. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（）于年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点．在锐角中，角的对边分别为，且．若是锐角的“费马点”，． （1）求角； （2）若；求的面积； （3）若，且． ①求的周长； ②求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $