精品解析：江苏徐州市2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试题

2025~2026学年度第二学期期中考试 高二数学试题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，若，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得. 故选：D. 2. 设，且．则（ ） A. 0.1 B. 0.3 C. 0.5 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， 所以 3. 如图，在空间四边形中，，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在空间四边形中，， 则. 4. 设为实数，若随机变量的分布列为，则（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】A 【解析】 【详解】， 所以 5. 随着互联网的发展，AI的出现为人们提供了很大的便利.某企业员工小唐撰写报告选择文心一言、豆包、DeepSeek的概率均为，而使用文心一言、豆包、DeepSeek出错的概率分别为、、，结果今天他的报告有误，在此条件下，他选择文心一言写报告的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件设出事件，并根据全概率公式，贝叶斯概率公式，即可求解. 【详解】设事件为选择文心一言，事件为选择豆包，事件为选择DeepSeek，事件为报告有误， ，，，， 所有， . 故选：C 6. 且的展开式中的系数为（ ） A. 165 B. 210 C. 252 D. 330 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列求和，再利用二项式定理求出项的系数即可. 【详解】由，得， 所以展开式中的系数即为展开式中的系数. 7. 把编号为的4个小球放入编号为的4个盒子中，每个盒子内放一个球，盒子的编号与所放入球的编号不相同，共有多少种不同的放法（ ） A. 24 B. 12 C. 9 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用组合计数问题，结合分步乘法计数原理列式计算. 【详解】第一步：放编号为1的盒子，有种放法，记1号盒子放的是号球， 第二步：放编号为的盒子，有种放法， 第三步：放余下的两个盒子，只有1种放法， 由分步乘法计数原理得不同放法种数为. 8. 现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为．从袋中随机摸出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过1次摸换，袋中的红球个数记为．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式求解. 【详解】依题意，事件发生是的事件发生或的事件发生， ，， 所以 . 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（ ） A. 共有120种不同的排法 B. 当2名教师相邻时，共有24种不同的排法 C. 当2名教师不相邻时，共有72种不同的排法 D. 当2名教师不排在两端时，共有36种不同的排法 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用全排列问题列式计算判断A；利用相邻问题捆绑法列式计算判断B；利用不相邻问题插空法列式计算判断C；利用特殊元素法列式计算判断D. 【详解】对于A，共有种不同的排法，A正确； 对于B，当2名教师相邻时，共有种不同的排法，B错误； 对于C，当2名教师不相邻时，共有种不同的排法，C正确； 对于D，当2名教师不排在两端时，共有种不同的排法，D正确. 10. 在三棱锥中，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 向量与夹角的余弦值为 C. 向量是平面的一个法向量 D. 与平面所成角的余弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用两点间距离公式计算判断A；利用向量夹角公式计算判断B；利用法向量的意义，结合数量积的坐标表示判断C；利用线面角的向量法计算判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，向量，则，B错误； 对于C，由，得向量是平面的一个法向量，C正确； 对于D，，则与平面所成角的正弦值为， 所以与平面所成角的余弦值为，D错误. 11. 将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为和，故，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项利用独立事件的概率乘法公式求得；B选项通过列出的分布列计算期望得；C选项通过枚举发现，说明不能简单分解为独立事件；D选项利用（正面次数）及期望的单调性证得. 【详解】对于A，对应于连续次扔出正面，于是，A正确； 对于B，，，，， 则，B正确； 对于C，观察前次扔出连续的次正面并不等价于前次的以及接下来的. 严格计算：，，，C错误； 对于D，不妨设表示前次投掷中出现正面的次数， 于是，则，则，于是，D正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，那么________； 【答案】 【解析】 【分析】根据组合数的性质及组合数的计算公式计算可得； 【详解】解：因为，所以，即，即，解得或（舍去） 故答案为： 13. 袋中装有除颜色外大小相同的4个红球和3个白球．现从袋中无放回地随机取球，每次取1个球，直到取出的球是白球为止．设随机变量为取球的次数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，确定的事件，再结合排列计数问题求出古典概率. 【详解】依题意，的事件是前两次都取红球，第三次取出白球， 所以. 14. 已知：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定信息求出平面的法向量，再求出直线的方向向量，然后利用线面角的向量法求解. 【详解】依题意，平面与平面的法向量分别为， 设直线的方向向量，由直线是平面与平面的交线， 则，取，得，而平面的法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行六面体中，，分别在棱上，且． （1）求证：四点共面； （2）求的长度． 【答案】（1）证明见解析； （2）6. 【解析】 【分析】（1）取空间的一个基底，利用空间向量的线性运算及向量共线推理得证. （2）由（1）中基底表示，再利用空间向量数量积及运算律求解. 【小问1详解】 在平行六面体中，令，则是空间的一个基底， 由，得，， 因此，而点直线，则，所以四点共面. 【小问2详解】 依题意，， 而， 则， 因此， 所以的长度为6. 16. 已知在的展开式中，第项的二项式系数依次成等差数列． （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）从展开式中选出3项，含有理项的选法有多少种？ 【答案】（1）， （2）36 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出求出，再求出二项式展开式的通项公式，进而求出二项式系数最大的项. （2）由（1）的信息，求出展开式的有理项的项数，再利用排除法列式求解. 【小问1详解】 依题意，，则， 整理得，而，解得， 的展开式的通项为， 因此二项式系数最大的项为第4项和第5项， 所以展开式中二项式系数最大的项为，. 【小问2详解】 当且仅当，是有理项，则，展开式中有2个有理项， 而展开式共8项，所以选出3项，含有理项的选法有种. 17. 为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． （1）若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； （2）若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可求出数学期望. 【小问1详解】 设“该同学投篮命中”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件， 因为该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮，所以， 已知在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是， 所以，，， 所以， 所以该同学投篮命中的概率为； 【小问2详解】 由题意可知，得分的可能取值为，，，， 所以， ， ， ， 所以， 所以，该同学得分的数学期望为. 18. 甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．记次传球后球在甲手中的概率为． （1）求； （2）求； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记次传球后，球传回甲手中的总次数为，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解，利用全概率公式求解； （2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”， 设次传球后球在甲手中的概率为，分析可得，，由此可得，变形可得，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可； （3）结合第（2）问结论和题设条件，运用等比数列求和公式分组求和即可求解. 【小问1详解】 第1次由甲将球传出，第次传球后球在甲手中的概率为． 所以第次传球后，球在甲手中有两种情况： 第1次甲将球传给乙，第2次乙将球传给甲，其概率为； 第1次甲将球传给丙，第2次丙将球传给甲，其概率为； 所以； 第次传球后，球在甲手中，则第次传球后，球不在甲手中， 所以. 【小问2详解】 记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”， 设次传球后球在甲手中的概率为，， 若发生，即经过次传球后，球再次回到甲手中， 那么第次传球后，球一定不在甲手中，即事件一定不发生， 则有，，必有，即， 即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. 【小问3详解】 设随机变量， 所以，，， 由（2）得， 则. 19. 如图，在梯形中，，于．现将沿翻折到的位置， （1）当平面平面时． ①求异面直线与所成角的余弦值； ②求三棱锥的外接球的半径； （2）求点到平面的最大距离． 【答案】（1）①证明见解析；②3； （2）1. 【解析】 【分析】（1）①利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质证得即可；②确定球心位置，进而求出球半径. （2）设，利用余弦定理、三角形面积公式及等体积法求得点到平面的距离关于的函数，再换元并利用导数求出最大值. 【小问1详解】 ①由，得，而平面平面，平面平面，平面， 则平面，连接，在Rt中，， 在Rt中，，于是， 由，得，则， 由平面平面，得， 又平面，因此平面，又平面，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为0. ②在平面内作的垂直平分线，交于，连接， 由，得，由，得 ， 而，则，因此三棱锥的外接球球心为，半径为3. 【小问2详解】 依题意，，是二面角的平面角，令， 则点到平面的距离，， 在中，由余弦定理得， ， 在中，由余弦定理得， 则， ， 令点到平面的距离为，由，得， 即，解得， ，设，由，得， 则，令函数， 求导得，当时，； 当时，，函数在上递增，在上递减， 因此，即的最大值为1，， 所以点到平面的最大距离为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期中考试 高二数学试题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，若，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 7 2. 设，且．则（ ） A. 0.1 B. 0.3 C. 0.5 D. 1 3. 如图，在空间四边形中，，连接，则（ ） A. B. C. D. 4. 设为实数，若随机变量的分布列为，则（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 15 5. 随着互联网的发展，AI的出现为人们提供了很大的便利.某企业员工小唐撰写报告选择文心一言、豆包、DeepSeek的概率均为，而使用文心一言、豆包、DeepSeek出错的概率分别为、、，结果今天他的报告有误，在此条件下，他选择文心一言写报告的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 且的展开式中的系数为（ ） A. 165 B. 210 C. 252 D. 330 7. 把编号为的4个小球放入编号为的4个盒子中，每个盒子内放一个球，盒子的编号与所放入球的编号不相同，共有多少种不同的放法（ ） A. 24 B. 12 C. 9 D. 8 8. 现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为．从袋中随机摸出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过1次摸换，袋中的红球个数记为．则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（ ） A. 共有120种不同的排法 B. 当2名教师相邻时，共有24种不同的排法 C. 当2名教师不相邻时，共有72种不同的排法 D. 当2名教师不排在两端时，共有36种不同的排法 10. 在三棱锥中，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 向量与夹角的余弦值为 C. 向量是平面的一个法向量 D. 与平面所成角的余弦值为 11. 将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为和，故，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，那么________； 13. 袋中装有除颜色外大小相同的4个红球和3个白球．现从袋中无放回地随机取球，每次取1个球，直到取出的球是白球为止．设随机变量为取球的次数，则__________． 14. 已知：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行六面体中，，分别在棱上，且． （1）求证：四点共面； （2）求的长度． 16. 已知在的展开式中，第项的二项式系数依次成等差数列． （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）从展开式中选出3项，含有理项的选法有多少种？ 17. 为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． （1）若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； （2）若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． 18. 甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．记次传球后球在甲手中的概率为． （1）求； （2）求； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记次传球后，球传回甲手中的总次数为，求． 19. 如图，在梯形中，，于．现将沿翻折到的位置， （1）当平面平面时． ①求异面直线与所成角的余弦值； ②求三棱锥的外接球的半径； （2）求点到平面的最大距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $