精品解析：福建华安县第一中学2025-2026学年下学期期中考试高一数学试卷

华安一中2025-2026学年下学期期中考 高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则在复平面内，复数对应的点所在象限是（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以， 所以复数对应的点为， 所以复数对应的点所在象限是第四象限. 2. 已知，且，则实数（    ） A. B. 6 C. 或 D. 1或2 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得，解得. 3. 已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ）． A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】根据向量模长公式，，展开得. 由已知，，与夹角， 向量点积， 代入模长公式得. 4. 若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得该三棱锥的表面积由四个全等的等边三角形构成，求其面积之和即可. 【详解】因为正三棱锥的所有棱长均为，所以每个面均为等边三角形，其面积为， 所以三棱锥的表面积为. 5. 在中，点是上靠近的三等分点，是上靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理即可得解. 【详解】由点是上靠近的三等分点，是上靠近的三等分点， 得 . 故选：C. 6. 如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（     ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，，， 则直观图的面积为 故原图形的面积为. 7. 如图是索菲亚教堂建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂塔尖的仰角分别是和，在楼顶处测得教堂塔尖的仰角为，则该同学计算索菲亚教堂的高度为（    ）m A. B. 20 C. D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，然后利用正弦定理求得，从而求得. 【详解】如图，在中，，， 故，， 在中，，， ， 由正弦定理得，， 所以. 8. 已知圆锥的底面圆周在球O的球面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的体积为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出圆锥的底面半径，结合圆锥底面半径、母线及高的关系与侧面面积计算即可得其母线长，再结合球的体积计算公式计算即可得解. 【详解】设圆锥的底面半径为，则球的半径为圆锥的母线长， 由圆锥的侧面展开图是一个半圆，则有，即， 即有，解得，则， 故球的体积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（  ） A. 若向量满足，则 B. 若，则和的夹角为 C. 已知平面内的一组基底，，则向量，也能作为一组基底 D. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则是等腰或直角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用反例可判断A，利用向量夹角公式可判断B，根据基底概念可判断C，利用正弦定理可判断D. 【详解】对于A：当时，零向量与任意向量都平行，此时和可以不平行，A不正确； 对于B：因为，所以，解得， ，所以和的夹角为，B正确； 对于C:假设向量，共线，则存在唯一实数，使， 因为，不共线，，方程组无解，所以，也不共线， 所以向量，也能作为一组基底，C正确； 对于D：因为，由正弦定理可得，即, 所以或，即或，所以是等腰或直角三角形，D正确. 10. 若z为复数，则（    ） A. 若，则为实数 B. C. 若复数满足，则的最大值和最小值的和为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，根据复数相等的定义求解判断A，举特例判断B，根据复数模的几何意义，结合圆上的点到定点距离的最值求解判断C，化简复数，然后计算乘积后判断D. 【详解】选项A，设，即为，所以，，是实数，A正确； 选项B，如，则，，，B错； 选项C，，即，所以对应的点在以为圆心，半径为１的圆上，表示对应的点到原点的距离， 因为，所以的最大值是，最小值是，两者和为，C正确； 选项D，，所以，D正确. 11. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（     ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，且有两解，则b的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D. 若，且，O为的内心，则的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，利用正弦定理求解外接圆的半径可判断A，根据解的情况可得限制条件，进而判断B，根据角之间的关系，可求c的表达式，进而判断C，结合边角关系可得三角形为直角三角形，求解内切圆半径，可得面积，进而判断D. 【详解】因为，所以，解得； 因为，，所以， 设的外接圆的半径为，则，所以， 所以的外接圆的面积为，A不正确； 由正弦定理可得，有两解等价于有两个不同值， 所以，解得，B正确； 因为，所以，整理得， 因为为锐角三角形，所以，解得，所以， 所以c的取值范围为，C正确； 因为，，所以， ，解得， 由于为锐角，所以，即； 因为，由直角三角形知识可得，由等面积法可求内切圆的半径为， 所以，D不正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则 _________ 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以. 13. 若圆台的上下底面半径分别为1和4，体积为，则侧面积为_____ 【答案】 【解析】 【分析】由圆台的体积可求高，进而求出母线，得到侧面积. 【详解】设圆台的高为，因为圆台的上下底面半径分别为1和4，体积为， 所以，解得，由轴截面为等腰梯形可求母线长为， 所以侧面积为. 14. 在中，所对应的边分别为，已知，，点D在线段上，且．则_______，若时，则的面积为______ 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】将利用正弦定理边化角求得求解第一空，由题可得，平方结合数量积运算求得，利用三角形面积公式得解第二空即可. 【详解】第一空：因为， 所以由正弦定理可得， 又， 所以，因为为三角形内角，， 所以，可得， 因为，所以， 第二空：因为，所以， 所以，两边平方得， 即，解得， 又，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量与的夹角为，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）设向量与的夹角为，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的定义直接求解； （2）利用向量数量积的运算律求解； （3）利用向量数量积的运算律及向量夹角公式求解. 【小问1详解】 因向量与的夹角为，且， 则. 【小问2详解】 由（1）得. 【小问3详解】 由（1）得， ， 则. 16. （1）已知复数（）是纯虚数，求m的值： （2）已知复数，在复平面上对应的点在第四象限，且满足.若复数z是关于x的方程且的一个复数根，求的值. 【答案】（1）；（2）4 【解析】 【详解】（1）因为复数是纯虚数， 所以且， 由，解得或. 当时，    ，符合要求； 当时，，不符合要求，舍去， 所以m的值为； （2）依题意，点在第四象限，则， 由，得，即，所以，， 由复数z是关于x的方程的根， 得，整理得， 而，因此， 解得，所以. 17. 如图，长方体中，，点P为的中点. （1）求三棱锥的体积. （2）求证：直线平面； （3）求异面直线与所成角的余弦值； 【答案】（1） （2） 设，连接， 因，且为长方体， 则四边形为正方形，故为线段中点， 因点P为的中点，则为的中位线，则， 又平面，平面，则平面. （3） 【解析】 【分析】（1）根据棱锥的体积公式即可求解； （2）由中位线性质可证，然后再根据线面平行的判断定理即可证明； （3）首先证明直线与所成角是或其补角，然后通过勾股定理计算， 最后根据余弦定理即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接，由（1）可知，则直线与所成角是或其补角， 因，点P为的中点， 则，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中由余弦定理得，， 故直线与所成角的余弦值为. 18. 如图，在四边形中，． （1）求的值； （2）若，且的面积是面积的2倍，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可求答案； （2）利用正弦定理结合三角形的面积公式可求答案. 【小问1详解】 设，则， 由正弦定理可知，，即， 整理得，又因为，， 可解得，即. 【小问2详解】 由（1）可知，，. 由正弦定理可知，，解得， 又，. ，. ， ，， ，解得. 19. 记的内角、、的对边分别为、、，已知. （1）求； （2）设为边上一点， （ⅰ）若为中点，，的面积为，求的长度； （ⅱ）若为锐角的角平分线，，求长度的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式、辅助角公式得出，结合角的取值范围可得出角的值； （2）（i）利用三角形的面积公式可得出，结合余弦定理可得出，由已知得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得线段的长； （ii）由正弦定理结合两角差的正弦公式得出，根据为锐角三角形求出角的取值范围，可得出的取值范围，设，可得出，可得出关于的不等式，即可解得的取值范围，即为所求. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 因为， 化简得， 因为，则，故，即， 所以，而，则， 故，解得. 【小问2详解】 （i）由余弦定理可得，即， 又因为，可得，则， 因为为边的中点，所以，即， 所以 ，故； （ii）由正弦定理得， 因为为锐角三角形，且，由得， 所以，则，故， 设，则，所以，解得， 因此长度的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华安一中2025-2026学年下学期期中考 高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则在复平面内，复数对应的点所在象限是（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知，且，则实数（    ） A. B. 6 C. 或 D. 1或2 3. 已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ）． A. 1 B. C. D. 3 4. 若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，点是上靠近的三等分点，是上靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（     ） A. 2 B. C. D. 7. 如图是索菲亚教堂建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂塔尖的仰角分别是和，在楼顶处测得教堂塔尖的仰角为，则该同学计算索菲亚教堂的高度为（    ）m A. B. 20 C. D. 30 8. 已知圆锥的底面圆周在球O的球面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的体积为（   ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（  ） A. 若向量满足，则 B. 若，则和的夹角为 C. 已知平面内的一组基底，，则向量，也能作为一组基底 D. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则是等腰或直角三角形 10. 若z为复数，则（    ） A. 若，则为实数 B. C. 若复数满足，则的最大值和最小值的和为 D. 若，则 11. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（     ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，且有两解，则b的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D. 若，且，O为的内心，则的面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则 _________ 13. 若圆台的上下底面半径分别为1和4，体积为，则侧面积为_____ 14. 在中，所对应的边分别为，已知，，点D在线段上，且．则_______，若时，则的面积为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量与的夹角为，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）设向量与的夹角为，求的值. 16. （1）已知复数（）是纯虚数，求m的值： （2）已知复数，在复平面上对应的点在第四象限，且满足.若复数z是关于x的方程且的一个复数根，求的值. 17. 如图，长方体中，，点P为的中点. （1）求三棱锥的体积. （2）求证：直线平面； （3）求异面直线与所成角的余弦值； 18. 如图，在四边形中，． （1）求的值； （2）若，且的面积是面积的2倍，求的长． 19. 记的内角、、的对边分别为、、，已知. （1）求； （2）设为边上一点， （ⅰ）若为中点，，的面积为，求的长度； （ⅱ）若为锐角的角平分线，，求长度的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $