精品解析：福建宁德市福安市第六中学等校2025-2026学年第二学期阶段性训练高二数学

2025-2026学年第二学期阶段性训练 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷总分：150分） 第I卷选择题（共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 2. 下列函数求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助基本初等函数的导数公式计算即可得. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D正确. 3. 已知则（ ） A. (0，34，10) B. (-3，19，7) C. 44 D. 23 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量的坐标运算及数量积的坐标运算即可. 【详解】， 所以. 故选：C 4. 已知直线所在方向向量为，平面的一个法向量为，则直线和平面的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 在面内或平行 【答案】D 【解析】 【详解】设直线所在方向向量，平面的一个法向量为， ，所以 ，由此可得直线在平面内或与平面平行. 5. 函数（其中为自然对数的底数）的导函数的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求两次导判断单调性即可 【详解】， ， 令，， 令，得，故在上单调递增， 令，得或，故在上单调递减， 由此可排除AD， 又因为，所以过原点，故排除C，选B. 6. 已知曲线在点处的切线斜率为，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】，，所以 7. 下列命题正确的是（ ） A. 若向量满足，则向量的夹角是钝角 B. 若向量是非零向量，则向量组是空间的一个基底 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为 D. 已知向量，则向量在向量上的投影向量是 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，若，反向，满足，但向量，的夹角不是钝角，故A错误； 对于B，假设，则共面，此时不能作为空间的基底，故B错误； 对于C，设与所成角为，则，即与所成角的正弦值为，故C错误； 对于D，向量在向量上的投影向量为，故D正确. 8. 已知的定义域是，是的导数，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题设，可以考虑构造则所以在上单调递减，这意味着：只要 ，就有再把各选项中的点代入比较即可. 【详解】令 则 因为所以 故在上单调递减，于是当 时， 选项 A，因为所以两边同乘，得 这与选项A中的相反，所以选项A错误. 选项B，因为所以即 两边同乘，得即因此选项B错误. 选项C，因为所以 即两边同乘，得故选项C正确. 选项D，由知即 两边同乘，得即 这并不能推出故选项D错误. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，则下列选项中正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】利用空间向量平行的性质判断A；利用空间向量垂直的性质判断B；根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算判断C；利用空间向量夹角余弦的坐标表示判断D. 【详解】对于A，当时，；故A 正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，， 所以，，故C正确； 对于D，当时，， 则， ， 所以，故D错误. 10. 如图，在三棱柱中，底面为等边三角形，为的重心，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据重心性质得到，求出；B选项，，利用向量数量积公式得到，得到垂直关系；C选项，，故两者不平行；D选项，利用向量数量积公式得到，得到. 【详解】A选项，底面为等边三角形，为的重心， 故， 又，故 ，A正确； B选项，，故 ， 故，B正确； C选项，， 又， 设，即，无解，故与不平行，C错误； D选项， ， 故，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，则下列结论正确的是（） A. 在定义域上单调递增 B. 有且仅有一个极小值点 C. 恒成立 D. 的图像关于点中心对称 【答案】BC 【解析】 【分析】先确定函数定义域，和导函数，再分析的单调性和零点情况，结合导数与单调性的关系判断A，结合导数与极值的关系判断B，结合函数单调性求函数的最值判断C，结合定义域判断D. 【详解】函数的定义域为，导函数， 设，则， 因此在上单调递增， 对于选项A，因为，， 所以存在唯一零点， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此不在整个定义域上单调递增，A错误； 对于选项B，由选项A知，单调递增，仅有一个零点​，且左侧递减、右侧递增， 因此仅有一个极小值点，B正确； 对于选项C，的最小值为，由​，两边取对数得， 所以， 因此，故恒成立，C正确， 对于选项D，因为函数的定义域为， 所以的图像不可能关于点中心对称，因此D错误. 第II卷非选择题（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的中点关于平面的对称点的坐标是___ 【答案】 【解析】 【分析】先求出中点坐标，然后根据关于平面的对称点的特征即可得解. 【详解】由，得的中点坐标为， 所以的中点关于平面的对称点的坐标是. 故答案为：. 13. 函数的极小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先求得，得到的单调区间，结合极小值的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得 令，即，解得或； 令，即，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，极小值为. 14. 如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据已知条件求出的坐标，根据平面得出，根据空间向量求模公式代入求最值. 【详解】以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， ，，，， 设，， 由，，得， 由，，， ， ，，， 所以平面， 平面，所以， ，， ，即， ， ， ，， . 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）求函数在上的最值. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）最大值为0，最小值为 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求得函数单调性，找出极值点，进一步求出极值． （2）根据（1）可得函数的最小值，然后求出端点值进行比较，即得最大值． 【小问1详解】 函数的定义域是 又， 令，得，令，得 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为 所以函数的极小值为，无极大值； 【小问2详解】 由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增， 所以 又因为 所以函数在上的最大值为0，即 综上所述，函数在上的最大值为0，最小值为. 16. 如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. （1）证明：； （2）证明：平面. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）空间向量法求解，求出，得到，从而得到结论； （2）方法一：求出平面DEB的一个法向量，求出，从而得到证明；方法二：求出，利用向量垂直的公式及线面垂直的判定定理得解. 【小问1详解】 如图，以D为原点，AD所在直线为轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以. 【小问2详解】 方法一： 由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 由且， 得， 令得， 所以， 可得：， 所以：平面. 方法二： 由（1）可知：， 有， 所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 17. 已知函数的极值点分别为和. （1）求函数的解析式，以及在处的切线方程； （2）求的单调区间. 【答案】（1）， （2）增区间为，减区间为 【解析】 【分析】（1）利用极值点定义可求出、，即可得的解析式，再利用导数研究函数单调性进行检验；利用导数的几何意义计算可得切线方程； （2）由（1）中所求即可得. 【小问1详解】 ， 由题意，有， 解得：， 检验：当时，，， 令得或，令得， 所以的增区间为，减区间为， 故和是函数的极值点，符合题意； 所以，则，， 即切点为，切线斜率为， 所以处的切线方程为， 整理得：； 【小问2详解】 由（1）可得增区间为，减区间为. 18. 在四棱锥中，底面是矩形且，侧面是正三角形且垂直于底面在边内，且为的中点，求： （1）点到平面的距离； （2）二面角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后根据向量的数量积求出点到平面的距离. （2）求出平面的法向量坐标，然后根据向量夹角的余弦公式计算即可. 【小问1详解】 因为是正三角形，为的中点， 所以，又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为原点，为轴正方向，如图建立空间直角坐标系， 则 所以 设平面的法向量为. 则 令，则，所以 因为，所以点到平面的距离 【小问2详解】 因为平面，所以是平面的一个法向量， 由于平面的法向量为， 设二面角的平面角为， 所以， 所以二面角的余弦值为. 19. 已知（为自然对数底数，）. （1）若在上单调递减，求的取值范围； （2）若，当时，求证：在上恒成立； （3）若存在两个极值点，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数单调递减得出恒成立，方法一：，求导，根据导数求得函数的最小值后可解；方法二：令，根据导数求解即可； （2）令，求导，根据导数证明即可； （3）根据题意得出，为的两根，有，令，得即可求出. 【小问1详解】 由在上单调递减，则恒成立 方法一： 令，则 令得 0 极小值 所以函数在区间上单调递减，在区间单调递增， 方法二：令，则 令，得；令，得. 故在单调递增，在单调递减. 则 则. 【小问2详解】 当时，，令，则 令得或（负值舍去） 0 极小值 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，即 【小问3详解】 由存在两个极值点， 结合（1）知时时 则且为的两根，. 有，则. 则 记，则. 因为，即，所以，所以，所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期阶段性训练 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷总分：150分） 第I卷选择题（共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知则（ ） A. (0，34，10) B. (-3，19，7) C. 44 D. 23 4. 已知直线所在方向向量为，平面的一个法向量为，则直线和平面的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 在面内或平行 5. 函数（其中为自然对数的底数）的导函数的大致图像是（ ） A. B. C. D. 6. 已知曲线在点处的切线斜率为，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 下列命题正确的是（ ） A. 若向量满足，则向量的夹角是钝角 B. 若向量是非零向量，则向量组是空间的一个基底 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为 D. 已知向量，则向量在向量上的投影向量是 8. 已知的定义域是，是的导数，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，则下列选项中正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 如图，在三棱柱中，底面为等边三角形，为的重心，，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（） A. 在定义域上单调递增 B. 有且仅有一个极小值点 C. 恒成立 D. 的图像关于点中心对称 第II卷非选择题（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的中点关于平面的对称点的坐标是___ 13. 函数的极小值为__________. 14. 如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）求函数在上的最值. 16. 如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. （1）证明：； （2）证明：平面. 17. 已知函数的极值点分别为和. （1）求函数的解析式，以及在处的切线方程； （2）求的单调区间. 18. 在四棱锥中，底面是矩形且，侧面是正三角形且垂直于底面在边内，且为的中点，求： （1）点到平面的距离； （2）二面角的余弦值. 19. 已知（为自然对数底数，）. （1）若在上单调递减，求的取值范围； （2）若，当时，求证：在上恒成立； （3）若存在两个极值点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $