精品解析：江西赣州市信丰县工业园学校等校2025—2026学年第二学期阶段性质量检测 九年级数学试卷

2025--2026学年第二学期阶段性质量检测 九年级数学试卷 说明： 1．本卷共有六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟 2．答案一律写在答题卷上，在试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项，请将正确选项的代号填在题后的括号内） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知直线，三角板的直角顶点C放在直线b上，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 现在人们的生活越来越好，很多人在休闲时间外出旅游，为携带方便，人们通常会利用真空压缩机压缩衣物以减小体积，同一件羽绒服质量m（g）不变，其体积v（）与密度（）有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度大于时，其体积可以是（ ） A. B. C. D. 6. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具（如图1），小明用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“企鹅”的图形，已知正方形的边长为4，则图2中的长为则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 8. 分解因式：______． 9. 半径为，圆心角的扇形面积为________． 10. 一元二次方程的两根为，，则的值是__________． 11. 如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，，与交于点，______． 12. 如图，在四边形中，，在四边形的内部有一点，使得与均为直角三角形，则的长为___________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）计算：． （2）如图，在四边形中，，点为对角线上一点，且，．求证：． 14. 解不等式组： 15. 按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹 我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图： （1）如图2，在□ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F； （2）图3，在由小正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH 16. 校园数学文化艺术节，某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A、B、C、D，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事． （1）请写出小明第一次抽，抽到卡片恰好为数学家祖冲之的事件是（ ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 （2）求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．（用树状图或列表的方式说明） 17. 如图，为的直径，点C为圆上一点，过点C作的切线，交延长线于点D，过点B作，交于点E，连接． （1）求证：； （2）若，的半径为2，求的长． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． （1）求反比例函数、一次函数的表达式； （2）求的面积． 19. 桑梯——登以采桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，设，为保证安全，的调整范围是．（参考数据：，，，，，结果精确到米） （1）当时，若人站在的中点处，求此人离地面（）的高度；（结果保留根号） （2）当时，求桑梯顶端到地面距离的范围． 20. 2025年春晚舞台上，宇树人形机器人表演扭秧歌，吸引了大量的关注，并带动整个人形机器人行业的畅销，某公司推出了、两款人形机器人在网上进行预约销售，每件款人形机器人的售价比每件款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为900万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出5件． （1）求该公司每件款、款人形机器人在网上的售价分别是多少万元？ （2）若该公司在网上进行预约销售了、两款人形机器人共25件，且总销售额不低于470万元，则最少预约销售了款人形机器人多少件？ 五、（本大题共2小题．每小题9分，共18分） 21. 某校与科技协会共同组织“校园科技知识竞赛”，从九（1）班和九（2）班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据进行了整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，共分成A，B，C，D四个等级：A：；B：；C：；D：）．如图是九年级学生竞赛成绩扇形统计图． 【收集数据】 九（1）班10名学生竞赛成绩：82，84，65，70，85，75，73，91，85，90 九（2）班10名学生中B等级学生的竞赛成绩：80，82，83，80 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 九（1） 80 83 b 69 九（2） 80 a 80 92 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ________， ________， ________． （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班级成绩比较好，简要说明理由． （3）九（1）班共有学生45人，九（2）班共有学生50人，按竞赛规定，90分及90分以上的学生可以获奖，估计这两个班级可以获奖的总人数是多少？ 22. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点为“相反点”，如点，都是“相反点”． （1）探究1 下列结论中，正确的是______（填写正确结论的序号）． ①一次函数的图象上存在“相反点”，且只有一个“相反点”； ②一次函数的图象上存在“相反点”； ③所有的“相反点”都在直线上． （2）若一次函数（）的图像上存在相反点，请直接写出，应满足的条件． （3）探究2 小亮在研究抛物线（）时，发现抛物线上有且只有一个“相反点”．求抛物线的解析式． （4）探究3 如图，将一拱桥抽象成平面直角坐标系上抛物线的一部分，且抛物线关于轴对称，水位警戒线刚好经过抛物线的“相反点”．已知平时水位线在位置（点，在轴上），水面的宽为，由于最近降雨频繁，水位上升到达处，这时水面的宽为，试判断此时水位是否到达警戒线，并说明理由． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025--2026学年第二学期阶段性质量检测 九年级数学试卷 说明： 1．本卷共有六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟 2．答案一律写在答题卷上，在试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项，请将正确选项的代号填在题后的括号内） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 2. 我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握主视图是从正面看到的图形成为解题的关键． 根据主视图是从正面看到的图形即可解答． 【详解】解：根据三视图的概念，可知该正六棱柱的主视图为 ． 故选：C． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式运算中的合并同类项和幂的运算法则，根据对应法则逐一判断选项即可得到正确结果； 【详解】解：∵ 与不是同类项，不能合并，∴ A错误； ∵，∴ B错误； ∵，∴ C错误； ∵，∴ D正确； 4. 如图，已知直线，三角板的直角顶点C放在直线b上，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，利用对顶角的性质和三角形内角和定理可求出，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 5. 现在人们的生活越来越好，很多人在休闲时间外出旅游，为携带方便，人们通常会利用真空压缩机压缩衣物以减小体积，同一件羽绒服质量m（g）不变，其体积v（）与密度（）有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度大于时，其体积可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设体积v（）与密度（）的反比例函数关系式为，运用待定系数法求出m，得到该反比例函数关系式，进而根据图象即可求解． 【详解】解：设体积v（）与密度（）的反比例函数关系式为， 从图上可以看出图象过点， 将其代入得，解得， ∴， 当时，， 综合各个选项，只有符合． 6. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具（如图1），小明用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“企鹅”的图形，已知正方形的边长为4，则图2中的长为则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题主要考查了七巧板，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是看懂图形．根据题意对应上图1和图2中七巧板，过点E作交的延长线于点H，只要算出，，再根据勾股定理即可求解； 【详解】解：如图，图1和图2中七巧板对应如下， ∵正方形的边长为4， ∴，，，，， ∴，则， 过点E作交的延长线于点H， 则， ， ， ， ， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件． 直接根据二次根式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， 即， 故答案为：． 8. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 9. 半径为，圆心角的扇形面积为________． 【答案】375π 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式解答，即． 【详解】解：， 所以扇形的面积是． 10. 一元二次方程的两根为，，则的值是__________． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据韦达定理进行求解即可． 【详解】解：由韦达定理可知． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 11. 如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，，与交于点，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角问题，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据正多边形内角计算公式求出，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵八边形是正八边形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在四边形中，，在四边形的内部有一点，使得与均为直角三角形，则的长为___________． 【答案】1或或 【解析】 【分析】如图1所示，过点A和点D分别作的垂线，垂足分别为E、F，连接，可证明四边形是矩形，得到；解直角三角形求出的长，进而求出的长，则可证明，进而推出；再分图2，图3，图4三种情况，讨论求解即可． 【详解】解：如图1所示，过点A和点D分别作的垂线，垂足分别为E、F，连接， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，，， ∴，， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 如图2所示，当点P在上，且时，则与均为直角三角形， ∵， ∴； 如图3所示，当点P在上，且时，则与均为直角三角形， 在中，， ∴； 如图4所示，当时，则与均为直角三角形， 同理可得， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，的长为1或或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）计算：． （2）如图，在四边形中，，点为对角线上一点，且，．求证：． 【答案】（1）7； （2） 证明：， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂，二次根式的乘法运算、绝对值的运算法则进行计算即可； （2）根据得到，根据进行证明即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 略． 14. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 15. 按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹 我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图： （1）如图2，在□ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F； （2）图3，在由小正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH 【答案】（1） 如图所示，点F即为所求； （2） 如图所示，AH即为所求． 【解析】 【分析】（1）连接AC，BD，BE，BE交AC于点G，连接DJ，延长DG交BC于点F，点F即为所求； （2）作CN⊥AB，BM⊥AC，BM交CN于点E，连接AE，延长AE交BC于点H，线段AH即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了尺规作图，无刻度直尺作图，熟练掌握尺规作图的方法以及无刻度直尺作图的方法是解题的关键． 16. 校园数学文化艺术节，某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A、B、C、D，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事． （1）请写出小明第一次抽，抽到卡片恰好为数学家祖冲之的事件是（ ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 （2）求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．（用树状图或列表的方式说明） 【答案】（1）B （2） 【解析】 【分析】（1）根据事件的分类即可解答；． （2）根据题意列表格，由表格可得所有等可能的结果数以及小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：小明第一次抽，抽到卡片恰好为数学家祖冲之的事件是随机事件； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的结果有：（A，C），（B，C），（C，A），（C，B），（C，D），（D，C），共6种， ∴小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为． 17. 如图，为的直径，点C为圆上一点，过点C作的切线，交延长线于点D，过点B作，交于点E，连接． （1）求证：； （2）若，的半径为2，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，，，则：， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接，，，等边对等角，得到，切线推出，直径得到，进而得到，推出，平行线的性质，结合圆周角定理得到，等角对等弧，即可得证； （2）延长交于点，连接，由（1）可推出是含30度角的直角三角形，利用三角函数进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长交于点，连接，则：为的直径， ∴， ∵的半径为2， ∴ ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． （1）求反比例函数、一次函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 （2）8 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法和反比例函数的应用是解题关键． （1）将点代入可得反比例函数的解析式，再求出点的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式即可得； （2）设一次函数的图象与轴的交点为点，先求出点的坐标，再根据的面积等于与的面积之和即可得． 【小问1详解】 解：由题意得：将点代入得：， 所以反比例函数的表达式为； 将点代入可得：， ∴， 将点，代入得：，解得， 所以一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：如图，设一次函数的图象与轴的交点为点， 将代入一次函数得：，解得， ∴， ∴， 由（1）已得：，， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∴的面积为． 19. 桑梯——登以采桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，设，为保证安全，的调整范围是．（参考数据：，，，，，结果精确到米） （1）当时，若人站在的中点处，求此人离地面（）的高度；（结果保留根号） （2）当时，求桑梯顶端到地面距离的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形应用，熟练掌握三角函数是解题的关键． （1）过作于点，由题意易得，然后问题可求解； （2）过点作于点，，然后分当时和当时，进而分类求解即可． 【小问1详解】 解：过作于点， ∵，， ∴， ∵点为的中点，米， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴； 【小问2详解】 解：过点作于点， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 即； 当时，； ∴， 即； ∴D与地面的距离范围为． 20. 2025年春晚舞台上，宇树人形机器人表演扭秧歌，吸引了大量的关注，并带动整个人形机器人行业的畅销，某公司推出了、两款人形机器人在网上进行预约销售，每件款人形机器人的售价比每件款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为900万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出5件． （1）求该公司每件款、款人形机器人在网上的售价分别是多少万元？ （2）若该公司在网上进行预约销售了、两款人形机器人共25件，且总销售额不低于470万元，则最少预约销售了款人形机器人多少件？ 【答案】（1）每件A款人形机器人售价为20万元.每件B款人形机器人售价为18万元 （2）最少预约销售了A款人形机器人10件 【解析】 【分析】（1）设每件A款人形机器人的售价为x万元，则每件B款人形机器人的售价为万元，再根据相同销售额下销量差为5件列分式方程求解即可； （2）设预约销售A款人形机器人m件，则预约销售B款人形机器人件，根据总销售额的要求列一元一次不等式，求解得到最小销售数量． 【小问1详解】 解：设每件A款人形机器人的售价为x万元，则每件B款人形机器人的售价为万元，根据题意得 ， 解得 ， 检验：当时，，所以是原分式方程的解， 则， 答：每件A款人形机器人售价为20万元，每件B款人形机器人售价为18万元； 【小问2详解】 解：设预约销售A款人形机器人m件，则预约销售B款人形机器人件，根据题意得 ， 解得， 答：最少预约销售了A款人形机器人10件． 五、（本大题共2小题．每小题9分，共18分） 21. 某校与科技协会共同组织“校园科技知识竞赛”，从九（1）班和九（2）班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据进行了整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，共分成A，B，C，D四个等级：A：；B：；C：；D：）．如图是九年级学生竞赛成绩扇形统计图． 【收集数据】 九（1）班10名学生竞赛成绩：82，84，65，70，85，75，73，91，85，90 九（2）班10名学生中B等级学生的竞赛成绩：80，82，83，80 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 九（1） 80 83 b 69 九（2） 80 a 80 92 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ________， ________， ________． （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班级成绩比较好，简要说明理由． （3）九（1）班共有学生45人，九（2）班共有学生50人，按竞赛规定，90分及90分以上的学生可以获奖，估计这两个班级可以获奖的总人数是多少？ 【答案】（1）81；85；30 （2）1班与2班的平均数相同，1班中位数、众数高于2班，方差低于2班，总体1班成绩比较好 （3）24人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得到结论； （2）1班与2班的平均数相同，1班中位数、众数高于2班，方差低于2班，总体1班成绩比较好； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【小问1详解】 解：由题意可知，九（1）班10名学生成绩出现次数最多的是85，共出现2次，因此众数是85，即， 九年级（2）班成绩在“B组”的有4人，占， ∴， 九年级（2）班10名同学成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是在“B组”，分别为80，82，中位数是，即； 【小问2详解】 解：九（1）班成绩较好，理由：1班与2班的平均数相同，1班中位数、众数高于2班，方差低于2班，总体1班成绩比较好； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计这两个班级可以获奖的总人数共有24名． 22. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点为“相反点”，如点，都是“相反点”． （1）探究1 下列结论中，正确的是______（填写正确结论的序号）． ①一次函数的图象上存在“相反点”，且只有一个“相反点”； ②一次函数的图象上存在“相反点”； ③所有的“相反点”都在直线上． （2）若一次函数（）的图像上存在相反点，请直接写出，应满足的条件． （3）探究2 小亮在研究抛物线（）时，发现抛物线上有且只有一个“相反点”．求抛物线的解析式． （4）探究3 如图，将一拱桥抽象成平面直角坐标系上抛物线的一部分，且抛物线关于轴对称，水位警戒线刚好经过抛物线的“相反点”．已知平时水位线在位置（点，在轴上），水面的宽为，由于最近降雨频繁，水位上升到达处，这时水面的宽为，试判断此时水位是否到达警戒线，并说明理由． 【答案】（1）③ （2）或且 （3） （4） 解：水位超过了警戒线． 理由如下：由题意得：，， 设抛物线解析式为：， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． 当，得，（舍去）， ∴． ∵， ∴水位已超过警戒线． 【解析】 【分析】（1）先设出直线上的参数坐标，再根据“相反点”的定义得到方程求解判断即可； （2）根据题意，令，得到，即可解答； （3）把代入得：①．再根据“相反点”的定义关于x的方程有两个相等的实数根，则②，再联立①②解方程组即可； （4）先确定，，设抛物线解析式为，再代入求出函数解析式，然后根据“相反点”的定义得到方程当，再解方程即可判断． 【小问1详解】 解：①设直线上任意一点为， 由题意得，，方程无解，故①错误； ②设直线上任意一点为， 由题意得，，该方程无解 ∴一次函数的图象上不存在“相反点”，故②错误； ③直线上任意一点可设为，满足“相反点”定义， ∴所有的“相反点”都在直线上，故③正确； 【小问2详解】 解：根据题意，令，得到， 当时，即，此时，，方程有解，符合题意； 当时，即，此时，，方程有无数解，符合题意； 综上，当一次函数（）的图像上存在相反点，或且； 【小问3详解】 解：把代入得：①． ∵抛物线有且只有一个“相反点”， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴②． 由①②可得，． ∴抛物线的解析式为； 【小问4详解】 略 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 【答案】（1）相等，垂直 （2）过点作于，过点作分别交、于、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形，四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据图形进行猜想即可； （2）过点作于，过点作分别交、于、， 证明四边形为矩形，四边形为正方形，结合正方形性质证明，则可得，证明，得出，，再利用，得出，即可证明； （3）证明，得出，，再证明，在中，利用勾股定理求出，由等面积法得求出，在中，利用勾股定理求出，再证明为等腰直角三角形，得出，利用线段和差即可求解； （4）构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于，证明是等腰直角三角形，得出，求得，则当最小时，的面积最小，则最小时，的面积最小，由，可知当最小时，的面积最小，由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小，此时，点与重合，再进行计算即可． 【详解】解：（1）相等，垂直； （2）略 （3）在正方形中，由，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 得， 由等面积法得， 即， ∴， 在中，， 由（2）可知，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （4）如图，构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵正方形中，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴当最小时，的面积最小， ∴最小时，的面积最小， ∵， ∴当最小时，的面积最小， 由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小， 此时如图，点与重合， 则， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，外接圆，二次根式，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $