精品解析：江苏徐州市2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷

2025~2026学年度第二学期期中考试 高一数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. -1 B. 1 C. D. 0 2. （ ） A. B. C. D. 3. 在中，，则（ ） A. B. C. 2 D. 4. 在中,,则角等于 A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 7. 设点的坐标为，是坐标原点，向量绕着点顺时针旋转后得到，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的内角的对边分别为，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则是钝角三角形 C. 在中，若，则是等腰三角形 D. 11. 已知函数，若，且，则下列说法正确的是（ ） A. 函数为偶函数 B. 函数为偶函数 C. 函数在处取得最小值 D. 函数在区间上单调递增 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复数范围内分解因式：__________. 13. 已知，则__________. 14. 记的内角的对边分别为，已知，当角最大时，的面积是__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数（为虚数单位）. （1）若是纯虚数，求； （2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. 16. 已知为锐角，，且. （1）求和值； （2）求的值. 17. 如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.已知两点间的水平距离为，在处测得的俯角为的俯角为，在处测得的俯角为的俯角为. （1）计算的长度； （2）计算两山顶之间的距离. 18. 在中，角对应边分别为，满足. （1）求角的大小； （2）若在直线上，且，求的最大值； （3）延长至点，使得，连接，使得，求的大小. 19. 在平面直角坐标系中，设点是以为圆心，为半径的圆上一动点，是以为圆心，为半径的圆上的动点，记 （1）若，求与的解析式； （2）若，设，且对任意的恒成立，求的最小值； （3）若，且三点不共线，求面积的最大值（用表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期中考试 高一数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. -1 B. 1 C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】解题的关键在于先根据i的幂次规律化简，最后根据虚部的定义确定的虚部. 【详解】，故，故，虚部为0. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 3. 在中，，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助正弦定理计算即可得. 【详解】由正弦定理可得， 故. 4. 在中,,则角等于 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由两角和公式可得 以及诱导公式可知 ，可得，据此即可求出结果. 【详解】由两角和公式可得 由诱导公式可知 ，所以，可知，又，所以，又，所以.故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角函数的两角和的正切公式以及诱导公式的应用，属于基础题. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦和角公式及切化弦解得，再利用正弦差角公式计算． 【详解】解：， ， 由解得， ． 6. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 由于，故. 7. 设点的坐标为，是坐标原点，向量绕着点顺时针旋转后得到，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义、两角和差的三角公式，求得的坐标． 【详解】根据题意，设，向量与轴正方向的夹角为， 又由点的坐标为，则，， 向量绕着点顺时针旋转后得到，则，． 而， ， 故的坐标为， 故选：B 【点睛】关键点点点睛：注意旋转前与旋转后角的变化，利用模不变，两角差的正余弦公式求解即可，属于中档题. 8. 已知的内角的对边分别为，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由余弦定理的边角互化可得，，即可得到的关系式，再利用余弦定理求出的值，即可求得. 【详解】因为，所以，所以，整理可得①， 又，可得， 所以，解得②， 由①②可得， 所以， 则. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A选项， 令，则有，，故A选项错误； 对于B选项，由于，故可设，则， 则，，故B选项正确； 对于C选项，取，，，二者不相等，C选项错误； 对于D选项，设，则 ，，所以，即，故D选项正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则是钝角三角形 C. 在中，若，则是等腰三角形 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助同角三角函数基本关系及二倍角公式计算可得A；借助正弦定理将角化为边后，利用余弦定理即可得B；借助正弦定理将边化为角后，利用二倍角公式计算即可得C；借助三角恒等变换公式计算即可得D. 【详解】对A：由， 故，故A正确； 对B：若，由正弦定理可得， 则，故为钝角，故是钝角三角形，故B正确； 对C：若，可得，即， 即，则或，即或， 若，则是等腰三角形； 若，则，则是直角三角形， 故是等腰或直角三角形，故C错误； 对D： ，故D正确. 11. 已知函数，若，且，则下列说法正确的是（ ） A. 函数为偶函数 B. 函数为偶函数 C. 函数在处取得最小值 D. 函数在区间上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】借助辅助角公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数性质计算可得；计算出可得A；计算出可得B；计算出可得C；求出时的范围，再利用正弦函数单调性判断即可得D. 【详解】， 由，则， 解得，又，故； 对A：， 故函数不为偶函数，故A错误； 对B：， 故函数为偶函数，故B正确； 对C：， 故函数在处取得最小值，故C正确； 对D：当，即时，， 由函数在上单调递增， 故函数在区间上单调递增，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复数范围内分解因式：__________. 【答案】 【解析】 【分析】配方后利用复数性质及平方差公式计算即可得. 【详解】. 13. 已知，则__________. 【答案】##. 【解析】 【分析】先求出的值，再用二倍角公式，求出的值. 【详解】， 所以， 故. 14. 记的内角的对边分别为，已知，当角最大时，的面积是__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助正弦定理及余弦定理可得，再利用余弦定理表示出，利用基本不等式可求出角最大值及此时的值，再利用面积公式计算即可得. 【详解】由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，故， 化简得，又，则， ， 当且仅当，即时，等号成立，故， 当角最大时，取最小，即角最大值为，此时， 则. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数（为虚数单位）. （1）若是纯虚数，求； （2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助复数乘法运算及纯虚数定义计算即可得； （2）借助复数运算法则及其几何意义计算即可得. 【小问1详解】 ， 由是纯虚数，则，解得，故； 【小问2详解】 ， 由复数在复平面内对应的点位于第四象限， 则，解得. 16. 已知为锐角，，且. （1）求和值； （2）求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）借助二倍角公式与同角三角函数基本关系计算即可得； （2）借助两角和的正切公式结合（1）中所得可求出，再结合范围即可得解. 【小问1详解】 ； 由，， 故， 则； 【小问2详解】 ， 由，为锐角，故，则. 17. 如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.已知两点间的水平距离为，在处测得的俯角为的俯角为，在处测得的俯角为的俯角为. （1）计算的长度； （2）计算两山顶之间的距离. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可求出各角度，在中，利用正弦定理可求出，在中，利用正弦定理可求出； （2）求出后，利用余弦定理计算即可得. 【小问1详解】 由题意可得、、、 、， 则，， 则在中，由正弦定理可得， 即， 在中，由正弦定理可得， 即， 即，； 【小问2详解】 ， 在中，由余弦定理可得， 即. 18. 在中，角对应边分别为，满足. （1）求角的大小； （2）若在直线上，且，求的最大值； （3）延长至点，使得，连接，使得，求的大小. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）借助两角和与差的正弦公式计算即可得； （2）借助等面积法可表示出，再利用余弦定理与基本不等式计算即可得； （3）设，然后在与中利用正弦定理计算可得，结合范围即可得解. 【小问1详解】 由， 则， 即，又，故， 则，又，故； 【小问2详解】 由题意得，故， 由余弦定理可得， 故，则， 即， 当且仅当时，等号成立，故， 即的最大值为； 【小问3详解】 设，则， 则，， 则有，即， 在中，由正弦定理可得， 即， 在中，由正弦定理可得， 即， 故，即，即， 由，故或，即或， 即可能为或. 19. 在平面直角坐标系中，设点是以为圆心，为半径的圆上一动点，是以为圆心，为半径的圆上的动点，记 （1）若，求与的解析式； （2）若，设，且对任意的恒成立，求的最小值； （3）若，且三点不共线，求面积的最大值（用表示）. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助向量坐标运算可得，，代入计算即可得； （2）结合（1）中所得，可表示出，再利用三角恒等变换公式可将该函数变化为正弦型函数，从而可求出的最大值，即可得的最小值； （3）借助三角形面积公式及平面向量数量积公式计算可得，再利用辅助角公式可求出最大值，即可得面积的最大值. 【小问1详解】 由， 故，， 若，则， ； 【小问2详解】 若， 则， ， 故 ，其中，且， 由，故， 故，即的最小值为； 【小问3详解】 由，则，由， 则 ， 故， 又 ， 其中， 故 ， 即面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $