精品解析：浙江温州十校联合体2025-2026学年高二第二学期期中联考数学学科练习

高二数学学科练习 注意事项： 1．本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3．所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效. 4．结束后，只需上交答题卡. 选择题部分（共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在一个文艺比赛中，12位观众评委给同一名选手的打分依次为：36，42，46，47，49，55，58，62，66，68，70，75，这组数据的第80百分位数为（ ） A. 66 B. 67 C. 68 D. 69 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线是曲线的一条切线，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 用数字0，1，2，3，4，5组成一个无重复数字的六位数，该数能被5整除且万位上的数字小于千位上的数字，则这样的六位数共有（ ）个 A. 72 B. 96 C. 108 D. 120 8. 在菱形中，，点为线段上一点，且，点为线段上的一个动点（包括端点），若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则以下说法正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. 的模为 C. 的共轭复数 D. 是方程的一个根 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，且，则 B. 若样本数据的方差为2，则数据的方差为5 C. 一组样本数据，，，，，其经验回归方程为，则 D. 利用进行独立性检验时，的值越大，判断两个分类变量不独立的把握越大 11. 已知函数满足，，，，当时，，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 存在，使得恒成立 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上. 12. 在的展开式中，含项的系数是________． 13. 已知函数在上的值域为，则的取值范围是________． 14. 已知四面体满足，其余五条棱长均为2，该四面体的外接球球心为点，内切球球心为点，过直线的平面截四面体所得的截面的周长为，则的最小值为_______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中，角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求角的值． （2）若，求的最大值． 16. 如图，在正三棱台中，，，点为的重心． （1）求证：． （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数是偶函数， （1）求的值． （2）令，， （ⅰ）求的值域． （ⅱ）若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 18. 甲、乙两条生产线生产同一种电子产品，甲生产线的产品合格率为，乙生产线的产品合格率为．现将两条生产线的产品混合在一起，则合格品率为． （1）求甲、乙两条生产线的产量之比． （2）从混合产品中随机抽取3件，记其中甲生产线生产的件数为，以频率估计概率，求的分布列及数学期望． （3）从混合产品中随机抽取件，若发现恰有2件甲生产线生产的不合格品，记这一事件发生的概率为，求取得最大值时的值． 19. 已知函数，， （1）当时，求函数的单调区间． （2）求证：． （3）令，若对任意不同的，，都有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学学科练习 注意事项： 1．本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3．所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效. 4．结束后，只需上交答题卡. 选择题部分（共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用集合的交集及补集定义计算求解. 【详解】集合，，，则， 则. 2. 在一个文艺比赛中，12位观众评委给同一名选手的打分依次为：36，42，46，47，49，55，58，62，66，68，70，75，这组数据的第80百分位数为（ ） A. 66 B. 67 C. 68 D. 69 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，则第80百分位数是第10个数字， 可得这组数据的第80百分位数为68，故C正确. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】首先解分式不等式，根据集合间的关系判断推出关系，进而得解. 【详解】，即，解得. 因为真包含于，小范围推出大范围， 所以，推不出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据自变量的范围，代入相应的解析式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 5. 已知直线是曲线的一条切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】，令，即， 解得或（负值舍去），则， 则，故. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察已知式与待求式的关系，将已知式展开后根据两角和差的正弦公式可得到的正弦值，最后根据余弦的倍角公式即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 7. 用数字0，1，2，3，4，5组成一个无重复数字的六位数，该数能被5整除且万位上的数字小于千位上的数字，则这样的六位数共有（ ）个 A. 72 B. 96 C. 108 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】分个位为0或5两类，然后利用分步计数原理和分类计数原理即可求解. 【详解】能被5整除的数，个位只能是0或5，分两类讨论： 情况1：个位为0 个位固定为0，剩余十万位到十位五个位置，由全排列，总排列数为， 由于无重复数字，万位数字和千位数字大小关系只有（万<千）（万>千）两种，且数目相等， 因此满足条件的个数为： ， 情况2：个位为5 个位固定为5，十万位不能为0，先选十万位：有4种选择（从中选）， 剩余四个位置由剩下的4个数字全排列，总排列数为 ， 同理，满足（万位<千位）的个数为： . 总计两类相加：. 8. 在菱形中，，点为线段上一点，且，点为线段上的一个动点（包括端点），若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出关键点的坐标和关键向量，结合数量积和向量加法的坐标运算得到，最后利用基本不等式求解最值即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，记菱形的中点为， 以为原点，建立平面直角坐标系，而，设， 由题意得，，，， 可得，，而点为线段上一点， 则，则，设， 可得，得到，解得， 即，得到， 因为，所以，解得， 此时，，， 而点为线段上的一个动点（包括端点）， 设，则，由题意得， 则，即，设，，， 设， 对照系数可得，解得，得到， 即，可得， 又 ， 由基本不等式得，当且仅当，即时取等号， 则，故A正确. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则以下说法正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. 的模为 C. 的共轭复数 D. 是方程的一个根 【答案】BCD 【解析】 【分析】化简复数，利用虚部定义可判断A，利用复数模长公式可判断B，利用共轭复数的定义可判断C，将代入方程计算可判断D。 【详解】复数， 所以复数的虚部为，故A错误； ，故B正确， 的共轭复数，故C正确； 由于， 所以是方程的一个根，故D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，且，则 B. 若样本数据的方差为2，则数据的方差为5 C. 一组样本数据，，，，，其经验回归方程为，则 D. 利用进行独立性检验时，的值越大，判断两个分类变量不独立的把握越大 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正态分布的性质判断A；由方差的性质判断B；求出样本中心，代入回归方程，求出的值判断C；根据的意义判断D. 【详解】对于A，因为随机变量，且， 所以， 所以， 所以，故A正确； 对于B，设样本数据的平均数为， 则数据的平均数为， 由题意可得， 所以数据的方差： ，故B错误； 对于C，由题意可得， 又因为回归方程为， 所以， 解得，故C正确； 对于D，在独立性检验中，统计量越大，观测值与期望值的差异越显著，犯错的概率越小，两个分类变量不独立的把握越大，故D正确. 11. 已知函数满足，，，，当时，，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 在上单调递增 D. 存在，使得恒成立 【答案】AC 【解析】 【分析】法1：利用赋值可判断A；赋值举反例可判断BD；利用定义法证明函数单调性可判断C；法2：令，则，取逐一判断即可. 【详解】法1：赋值法 对于A：令可得， A正确； 对于B：令，得，且，为非奇非偶函数， B错误； 对于C：，，且，则，． ， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 即，所以在上单调递增，C正确； 对于D：令，得． 当时，，，故，即， D错误． 法2：原型函数法 ，， 令，则，即． 令，则． 满足条件的函数的原型函数为，则． 由得，所以， 对于A：，A正确； 对于B：，不是偶函数，B错误； 对于C：且在上单调递增，且在上单调递增， 所以在上单调递增，C正确； 对于D：当时，，不存在，使得恒成立，D错误. 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上. 12. 在的展开式中，含项的系数是________． 【答案】40 【解析】 【分析】先写出的展开式的通项，令的幂指数等于2，求出对应的值，再将值代入通项的系数部分，即可得解. 【详解】因为的展开式的通项为， 令，解得，所以含项的系数为. 13. 已知函数在上的值域为，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】整体法求得的取值范围，根据值域可得到右侧端点的范围，解不等式即可求解. 【详解】因为， 所以当时，， 又函数在上的值域为，， 结合正弦曲线可知，解得. 14. 已知四面体满足，其余五条棱长均为2，该四面体的外接球球心为点，内切球球心为点，过直线的平面截四面体所得的截面的周长为，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得点是的中点，点在线段上(点是的中点)，作出截面，利用向量的线性运算可得，，由三角形全等可得，，从而得截面关于直线对称，即可得答案. 【详解】由题意可得，为等腰直角三角形，为等边三角形， 所以点是的中点， 取的中点，点在线段上． 设截面与交于点，则截面与相交于点． 设，， 则 ， ，， 又，，， 可证，， ，，即截面关于直线对称， 翻折可得， 所以的最小值为． （若截面与相交，则截面与相交，情况与上面一样） 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中，角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求角的值． （2）若，求的最大值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）法一：借助余弦定理将角化为边后计算即可得；法二：借助正弦定理将边化为角后计算即可得； （2）法一：借助余弦定理结合基本不等式计算即可得；法二：借助正弦定理将边化为角后，利用三角恒等变换公式计算即可得. 【小问1详解】 法一：借助余弦定理可得， ，，，； 法二：借助正弦定理可得， ，， ，，，，； 【小问2详解】 法一：，， ， ，即，当且仅当时取等． 的最大值为2. 法二：由，得，． ， 当时，取到最大值2． 16. 如图，在正三棱台中，，，点为的重心． （1）求证：． （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 如图，延长交于点，取的中点，连接和， ∵点为的重心，为正三角形， ∴点为的中点，， 又点为的中点，侧面是等腰梯形， ， ，平面，平面， 平面，. （2） 【解析】 【分析】（1）构造条件，先证明线面垂直，进而可证线线垂直. （2）可以通过空间直角坐标系证明；也可以找到直线与平面所成的平面角，解三角形即可；也可以补形为正三棱锥，通过等体积法求得点到平面的距离，进而求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法1： 如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系． 则，，． 在梯形中，作交于点，作交于点， 由正三角形的性质可得，，由勾股定理得， 由， 即可得，由勾股定理得． ，， ，，. 设平面的法向量为． 由得，令，则，． ． ， ∴直线与平面所成角的正弦值为． 法2： 如图，过点作交于点，连接． 平面平面， ∴平面平面. 又平面平面，平面，， 平面， 是直线与平面所成角． 在梯形中，作交于点，作交于点， 由正三角形的性质可得，，由勾股定理得， 由， 即可得， 所以，所以． ． 在中，，即直线与平面所成角的正弦值为． 法3： 如图，补形为正三棱锥． 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为． ，， 由，，知，， 由勾股定理得，即， ，即直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知函数是偶函数， （1）求的值． （2）令，， （ⅰ）求的值域． （ⅱ）若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）1 （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】(1)利用偶函数的定义即可求解； (2) （ⅰ）由题可得，令，即，结合对勾函数的单调性即可求解； （ⅱ）令，将问题转化为对任意恒成立． 令，的对称轴为，转化为，结合二次函数的图像与性质即可求解. 【小问1详解】 是偶函数， 即 ，， ，． 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）可得． ， 令，则． ，． 在上单调递增， 的值域为． （ⅱ）令，则，． 不等式，可化为，即对任意恒成立． 令，的对称轴为，只需． 当时，恒成立． 当时，在单调递增，，解得． 当时，在单调递减，，解得． 综上所述，的取值范围是． 18. 甲、乙两条生产线生产同一种电子产品，甲生产线的产品合格率为，乙生产线的产品合格率为．现将两条生产线的产品混合在一起，则合格品率为． （1）求甲、乙两条生产线的产量之比． （2）从混合产品中随机抽取3件，记其中甲生产线生产的件数为，以频率估计概率，求的分布列及数学期望． （3）从混合产品中随机抽取件，若发现恰有2件甲生产线生产的不合格品，记这一事件发生的概率为，求取得最大值时的值． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 （3）或100 【解析】 【分析】(1)利用全概率公式计算即可求解； (2) 由（1）可知，甲生产线产品占总量的，可得，利用二项分布的分布列以及期望公式求解即可； (3)由题可得，利用，解不等式即可求解. 【小问1详解】 设甲生产线生产的这批电子产品有件，乙生产线生产的这批电子产品有件， 事件“混合在一起的电子产品来自甲生产线”， 事件“混合在一起的电子产品来自乙生产线”， 事件“混合在一起的某一零件是合格品”， 则，． 由， 得． 所以甲、乙两条生产线的产量之比为． 【小问2详解】 由（1）可知，甲生产线产品占总量的，所以． ，， ，， 所以的分布列： 0 1 2 3 ． 【小问3详解】 从混合产品中抽取1件是甲生产线生产的不合格品的概率为， 则， 由，解得． 所以当或100时，取得最大值． 19. 已知函数，， （1）当时，求函数的单调区间． （2）求证：． （3）令，若对任意不同的，，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为 （2）函数的定义域为，求导得， ，， 使得，即，， 又在上单调递增， ∴当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ， 在上单调递减， ，即． （3） 【解析】 【分析】（1）对函数直接求导，由导数符号判断单调区间. （2）先对求导，利用导函数的单调性确定的最小值点，再将最小值与所给常数比较即可. （3）由可转化为函数在上单调递减、在上单调递增，从而得到再代入的表达式，并令，把问题转化为参数在区间上的不等式恒成立问题，分别求出下界与上界，进而得到的取值范围. 【小问1详解】 当时，，． 令得，令得． 所以函数的单调增区间为，单调减区间为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， ，且都有，即． 在上单调递减，在上单调递增． 在上恒成立，在上恒成立． ， 令，在上单调递增，，． 在上恒成立，在上恒成立， 由得，令，则． ，在上单调递减，， 所以． 由得，令，则． ，当时，单调递增；当时，单调递减． ，所以． 综上所述，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $