精品解析：广西河池高级中学等学校2025-2026学年高二下学期第一次自主检测练习数学试卷

高二自主检测练习 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从甲、乙、丙、丁4名同学中任选两名参加一项活动，其中一名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动，不同的选法种数为（ ） A. 12 B. 8 C. 7 D. 6 2. 若，则（ ） A. 8 B. C. 4 D. 3. 展开式的第3项的二项式系数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 24 4. 的展开式中的系数为（ ） A. B. 80 C. D. 10 5. 某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”、“清明”五张知识展板放置在五个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，则不同的放置方式种数为（ ） A. 12 B. 24 C. 48 D. 120 6. 若函数，满足，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 已知函数，则的大致图像为（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 二项式系数和为1 B. 不存在常数项 C. 第3项和第4项二项式系数最大 D. 所有项的系数和为1 10. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且，则满足不等式的可以是（ ） A. B. 5 C. 3 D. 11. 已知点，在圆：上运动，点，且，为线段的中点，则（ ） A. 过点与圆相切的直线有两条 B. 点在直线上运动 C. D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的图象在点处的切线方程为______． 13. 等比数列的各项均为正数，其前n项和为，已知，，则＝_______． 14. 某校有5名志愿者参加5月1日社区志愿工作，每人参加一次值班，若该天分早、中、晚三班，每班至少安排1人，则当天不同的排班种数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知是函数的一个极值点． （1）求的值和函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值与最小值． 16. 甲、乙、丙、丁4名运动员参加米接力赛，在下列条件下，各共有多少种不同的排法？（写出计算过程，并用数字作答） （1）若甲不跑第一棒； （2）若甲、乙两人不跑相邻两棒； （3）若甲必须跑在乙的前面． 17. 如图，在四面体中，，，，，，分别是，，，的中点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知椭圆：（）的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）斜率为1的直线与椭圆交于，两点，以为底边作等腰三角形，顶点，求的面积． 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二自主检测练习 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从甲、乙、丙、丁4名同学中任选两名参加一项活动，其中一名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动，不同的选法种数为（ ） A. 12 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理，分上午、下午两步即可求解. 【详解】第一步选参加上午活动的同学：从4名同学中选1名，共4种选法； 第二步选参加下午活动的同学：已经选走1名同学，剩余3名同学可选，共3种选法； 根据分步乘法计数原理，总不同选法种数为：. 2. 若，则（ ） A. 8 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，. 3. 展开式的第3项的二项式系数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数的定义运算求解即可. 【详解】展开式的第3项的二项式系数为. 4. 的展开式中的系数为（ ） A. B. 80 C. D. 10 【答案】A 【解析】 【详解】二项式的展开式中，含的项为， 所以所求系数为. 5. 某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”、“清明”五张知识展板放置在五个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，则不同的放置方式种数为（ ） A. 12 B. 24 C. 48 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】由捆绑法即可求解. 【详解】由于立春和春分相邻，先将二者捆绑，二者内部有顺序，排列数为 种； 捆绑后得到1个整体，和剩余3块展板共4个元素，对4个元素全排列，排列数为 ， 分步计数求总数：根据分步乘法计数原理，总放置方式为 . 6. 若函数，满足，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再对两边同时求导，即可得解. 【详解】因为，且， 所以，所以， 对两边同时求导得， 所以， 所以. 7. 已知函数，则的大致图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过特殊点的函数值，用排除法选择正确选项. 【详解】，，， 排除选项ABD. 故选：C. 8. 设，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断单调性，得出的大小关系，构造函数，利用导数判断单调性，得出的大小关系，从而得到的大小关系，构造函数，利用导数判断单调性，得出的大小，即可得到答案. 【详解】记， 则，所以当时，， 所以在上单调递增， 所以当时，，即，所以. 记 则， 所以在上单调递减， 所以当时，，即，所以， 所以， 记， 则， 所以当时，，所以在上单调递增， 所以当时，，即， 所以. 所以， 综上所述：. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 二项式系数和为1 B. 不存在常数项 C. 第3项和第4项二项式系数最大 D. 所有项的系数和为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】由二项式系数和公式可判断A，由二项式通项公式可判断B，由二项式系数性质可判断C，通过赋值可判断D. 【详解】选项A：次二项式的二项式系数和为， 由，得二项式系数和为 ，A错误， 选项B：展开式的通项公式为：  ， 若为常数项，需，解得，超出的取值范围，因此不存在常数项，B正确， 选项C：为奇数，二项式系数对称分布，中间两项的二项式系数最大； 二项式系数最大，对应第项（）和第项（），C正确， 选项D：令代入原式得： ，因此所有项系数和为，D正确. 10. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且，则满足不等式的可以是（ ） A. B. 5 C. 3 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】构造函数，判断出函数的奇偶性，利用导数求出函数的单调区间，再根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】令，则， 所以函数为奇函数， ， 因为当时，，即， 所以函数在上单调递减， 又函数为奇函数，则在上单调递减， 又，所以，所以， 当时，令，则， 当时，令，则， 所以的解集为， 所以选项BD符合题意. 11. 已知点，在圆：上运动，点，且，为线段的中点，则（ ） A. 过点与圆相切的直线有两条 B. 点在直线上运动 C. D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将点代入圆的方程即可判断A；易得，再利用勾股定理即可判断C；根据求出两点横纵坐标的关系，再结合为线段的中点求出点的轨迹方程，即可判断C；由，当最小时，最大，结合B选项求出的最小值，即可判断D. 【详解】圆：的圆心，半径， 对于A，因为， 所以点在圆外， 所以过点与圆相切的直线有两条，故A正确； 对于C，因为为线段的中点，所以， 所以，故C正确； 对于B， ， 所以， 而， 所以， 所以点在直线上运动，故B错误； 对于D，由， 当最小时，最大， 而最小值为到的距离为， 此时Q在圆的内部， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的图象在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】由函数，求导得，则， 所以函数的图象在点处的切线方程为，即. 13. 等比数列的各项均为正数，其前n项和为，已知，，则＝_______． 【答案】8 【解析】 【分析】利用基本元的思想，将两个已知条件转化为的形式，解方程组求得的值，进而求得的值. 【详解】由于数列为等比数列，故，解得，故. 【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等比数列的基本量、通项公式和前项和.基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等比数列的通项公式和前项和公式，列出方程组，即可求得数列的通项公式.解题过程中主要利用除法进行消元，要注意解题题意公比为正数这一条件. 14. 某校有5名志愿者参加5月1日社区志愿工作，每人参加一次值班，若该天分早、中、晚三班，每班至少安排1人，则当天不同的排班种数为______． 【答案】150 【解析】 【详解】将5人分成3组，有两种分法：按1，1，3分组和2，2，1分组； 按1，1，3分组，从5人中选3个人为一组，其余2个人各为一组，有种； 按2，2，1分组，从5人中选2个人为一组，再从剩下的3人中选2个人为一组，其余1个人为一组，有种； 将5人分成3组共有种分法； 将分好的3组安排到早、中、晚三班，共有种排法； 当天不同的排班种数为种. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知是函数的一个极值点． （1）求的值和函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1），增区间为，减区间为 （2）最大值是18，最小值是 【解析】 【分析】（1）求导后根据极值点的定义求得，再通过导数的符号即可求解； （2）分析区间内的极大值点与左端点再判断大小即可 【小问1详解】 由， 求导得， 因为是函数的一个极值点， ， ， ， 令，解得或；令，解得. 所以函数的增区间为，减区间为. 【小问2详解】 由（1）知在单调递减，在单调递增， 由， 得，，， 所以函数在区间上的最大值是18，最小值是. 16. 甲、乙、丙、丁4名运动员参加米接力赛，在下列条件下，各共有多少种不同的排法？（写出计算过程，并用数字作答） （1）若甲不跑第一棒； （2）若甲、乙两人不跑相邻两棒； （3）若甲必须跑在乙的前面． 【答案】（1）18 （2）12 （3）12 【解析】 【分析】（1）先安排第一棒人选，剩下3人再全排列即可； （2）利用间接法，先确定甲乙相邻的排法，再利用4人全排列相减即可求解； （3）利用甲在乙前面和甲在乙后面的排列数是相等的，即可求解. 【小问1详解】 总共有4个棒次，甲不能跑第一棒，因此先排第一棒：从乙、丙、丁3人中选1人跑第一棒，共种选择； 剩余3个棒次对剩下3人全排列，共种排法, 总排法： ； 【小问2详解】 先算甲乙相邻的排法：把甲乙捆绑为1个整体，整体内部甲乙可互换，共种排列； 这个整体和丙丁共3个元素全排列，共种排法， 因此甲乙相邻总排法为 种， 4人全排列总排法为种， 因此不相邻的排法为：； 【小问3详解】 任意排列中，甲在乙前面、甲在乙后面的排列数是相等的，各占总排列数的一半， 因此排法为：. 17. 如图，在四面体中，，，，，，分别是，，，的中点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点D，连接，证得平面，，从而有；进而得到，结合，证得四边形EFGH是矩形． （2）以的中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，代入夹角公式即可求解； 【小问1详解】 取的中点D，连接， 因为，， 所以，， 又，平面， 故平面，又平面， 因此 又，，，分别是，，，的中点． 则，， 故，四边形是平行四边形 同理， 且，又， 所以，所以四边形是矩形. 【小问2详解】 因为，，，为的中点， 所以， 所以， 所以，又，， 故以中点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 由已知条件​，，​， 得各点坐标：  ， 直线的方向向量 ， 平面中， ， ， 设平面的法向量为， 则， 令，得， 故得 ， 设直线与平面所成角为， 由线面角公式：  18. 已知椭圆：（）的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）斜率为1的直线与椭圆交于，两点，以为底边作等腰三角形，顶点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率、椭圆所过的点列方程组求椭圆参数，即可得方程； （2）设AB为，，联立椭圆方程，应用韦达定理得，，由的中点且有求参数，进而求、到AB的距离，即可求三角形面积. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 设的方程为，， 联立，消去得：， 则，解得， 则， 所以， 则的中点的坐标为， 依题意知：， 则，所以，解得， 则，，直线的方程为， 所以， 到的距离， 所以. 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【详解】（1）的定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增. （2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点. （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点. 设正整数满足，则. 由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为. 点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $