第26章反比例函数 单元训练2025-2026学年沪教版五四制八年级数学下册

第26章反比例函数综合专练 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．下式中表示是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的概念：形如y=（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数进行分析即可． 【详解】解：A、是一次函数，错误； B、是二次函数，错误； C、中，y是x2的反比例函数，错误； D、表示y是x的反比例函数，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数定义，关键是掌握反比例函数的形式． 2．若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象在第二、四象限，得到求解，即可解题． 【详解】解： 反比例函数的图象在第二、四象限， ， 解得， 故选：D． 3．已知点是反比例函数上一点，则下列各点中在该图像上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把点（3，1）代入双曲线 ( k ≠0)，求出 k 的值，再对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵点（3，1）是双曲线 ( k ≠0）上一点， ∴ k =3×1=3， A 、1×3=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误； B 、1×=≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误； C 、×（-9）=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误； D 、6×=3，此点在反比例函数的图像上，故本选正确， 故选： D． 【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式． 4．当菱形的面积一定时，它的两条对角线的长分别为．选取组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，先利用菱形的面积公式求出与的函数解析式，再根据的取值范围及函数的性质判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：设菱形的面积为，则， ∴， ∴是的反比例函数， ∵，， ∴图象分布在第一象限，的值随的增大而减小， ∴描点正确的是， 故选：． 5．已知某电路中，电压为定值，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系．当电阻为时，电流为；当电流从增加到时，电阻减小了（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数在其他学科的应用．根据题意电流与电阻成反比例关系，先求出定值电压，再分别计算不同电流对应的电阻，最后计算电阻的减少量． 【详解】设电流与电阻的反比例函数关系为，其中为定值电压． 当时，， ，即反比例函数为， 当时，， 当时，， 电阻减小的值为． 故选． 6．已知，，是反比例函数的图象上的三个点，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】反比例函数 中 ，即 ，函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内 y 随 x 的增大而减小，根据 ，可知点位于不同象限，因此 ，而 ，，且由 可得 ，从而比较大小． 本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ 函数 在第一、三象限内 y 随 x 增大而减小； ∵ ， ∴ ； ∵ ，，且 ， ∴ ，，且 ； 又 ∵ ，， ∴ ． 故选：D． 7．在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，分类讨论思想是解题的关键． 化简绝对值，当或时，分别求出对应函数，确定函数图象所在象限即可． 【详解】解：由题意得，当时，，则此时图象分布在第四象限； 当时，，则此时图象分布在第三象限； 故选C． 8．运用你学习函数的经验，判断以下哪个函数的图像如图所示（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象可知x无论取任何数y始终大于0，且在时有最大值，再逐项判断即可． 【详解】A．当时，，故与题干中图象不符，该选项不合题意； B．当时，无意义，故与题干中图象不符，该选项不合题意； C．当自变量x取其相反数时，，且当时，为最大值，与题干中图象相符，该选项符合题意； D．当时，无意义，故与题干中图象不符，该选项不合题意． 故选C． 【点睛】本题考查识别函数图象，解题的关键是根据图象得出该函数的性质． 9．如图，在平面直角坐标系中，有一个5×2的矩形DEFG网格，每个小正方形的边长都是1个单位长度，反比例函数（k≠0，x＞0）的图像经过格点A（小正方形的顶点），同时还经过矩形DEFG的边FG上的C点，反比例函数（k≠0，x＜0）的图像经过格点B，且，则k的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的对称性，且AB距离3个单位长度，可得A点、B点的横坐标，进而得到C点的横坐标．根据，且AB=3，可得C点与直线AB的距离．将A点和C点的坐标代入函数表达式即可求出k． 【详解】令经过A点和C点的反比例函数为，经过B点的反比例函数为 ∵， ∴关于y轴对称 ∴A点、B点关于y轴对称 设，则 ∵，AB=3 ∴△ABC的高为 ∴ 将，代入得∶ 解得：k= 故选：D 【点睛】本题主要考查了反比例函数图像和性质，理解反比例函数的图像和性质是解题的关键． 10．在平面直角坐标系中，对于点和，若时，；时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了函数的新定义，反比例函数的图象上点的坐标特征，由反比例函数解析式可设，分和两种情况，根据“演绎点”的定义解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴可设， ∵点是反比例函数图象上点的“演绎点”， 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得； 经检验，是分式方程的解， 综上，值为或， 故选：． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则______． 【答案】0 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点和代入之中得，，由此可得的值． 【详解】 解：函数的图象经过点和，，， ，， ． 故答案为：0． 12．若关于的一元二次方程没有实数根，则反比例函数的图象位于第_____象限． 【答案】一、三 【分析】由方程没有实数根可得，从而得到的取值范围，根据的符号判断反比例函数的图象所在的象限即可． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ， 解得：， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限． 13．如图，和y＝x的图像，若一个数x大于它的倒数，可知x的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数图象与正比例函数的图象，数形结合是解题的关键． 求得函数和的图象的交点的横坐标，结合函数的图象即可求得的取值范围． 【详解】解：令，解得， 函数和的图象的交点的横坐标为和1， 由图象可知当或时，一次函数的图象在反比例函数的上方， 根据图象可知x的取值范围是或． 故答案为：或． 14．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为C，OA的垂直平分线交x轴于点B，当时，△ABC的周长是______． 【答案】/ 【分析】根据点A在反比例函数（）上，轴，求得OC的长度，再根据垂直平分线的性质得到，将△的周长转化为即可． 【详解】解：∵点A在反比例函数（）上，轴 ∴ ∵ ∴ ∵的垂直平分线交轴于点 ∴ ∴△的周长= 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点坐标的特征、线段垂直平分线的性质等知识点，掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 15．如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，与双曲线交于点，两点，若，则的值是__________ 【答案】/0.75 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数(为常数，)的图像是双曲线，图像上的点的横纵坐标的积是定值，即． 作轴，轴，与交于，先利用一次函数图像上点的坐标特征得到，得为等腰直角三角形，则，所以，且为等腰直角三角形，则，设点坐标为，则点坐标为，根据反比例函数图像上点的坐标特征得到，解得，这样可确定点坐标为，然后根据反比例函数图像上点的坐标特征得到． 【详解】解：如图：作轴，轴，与交于， 由直线可知点坐标为点坐标为， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设点横坐标为，代入，则纵坐标是，则的坐标是：，点坐标为， ∴， 解得， ∴点坐标为， ∵双曲线过点两点， ， 故答案为：． 16．如图，，，，，都是一边在轴上的等边三角形，点，，，，都在反比例函数的图象上，点，，，，都在轴上，则的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据题意过点作轴于，设，则，进而，代入反比例函数解析式，求出，进而可求出的坐标，同样方法依次求出，的坐标，找出规律，继而求出本题答案． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于， ，，，，都是一边在轴上的等边三角形， 设，则， ， 点在反比例函数的图象上， ，解得或（舍去）， ，， ， 同理设长度为，则长度为， ， 点在反比例函数的图象上， ，解得或（舍去）， ，， ， ， 同理设长度为，则长度为， ， 点在反比例函数的图象上， ，解得或（舍去）， ，， ， ， 以此类推可得：， ． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分,共计72分) 17．某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输天数之间的关系如下表： 每天运输的吨数 500 250 100 50 …… 运输的天数 1 2 5 …… (1)这批货物共有多少吨？ (2)用表示运输天数，用表示每天运输的吨数，用式子表示它们的关系． (3)与成反比例关系吗？如果成，请求出表格中的值． 【答案】(1) 500吨 (2) (3) 成反比例关系， 【分析】本题考查了反比例关系的实际应用，解题的关键是根据“货物总量每天运输吨数运输天数”确定总量，并分析变量间的关系． （1）用每天运输吨数乘对应天数计算货物总量； （2）根据总量公式变形得到与的关系式； （3）依据反比例关系的定义判断，再代入总量求的值． 【详解】（1）解：（吨）． 答：这批货物共有500吨． （2）解：由，得. （3）解：∵（定值）， ∴与成反比例关系． 当时，． 18．已知反比例函数（k为常数），当时，y随x的增大而增大，求k的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 先根据当时，y随x的增大而增大判断出的符号，求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象，当时，y随x的增大而增大， ∴， 解得：． 19．已知y关于x的反比例函数的表达式为． (1)若反比例函数的图象在第二、四象限内，求m的取值范围； (2)若，当点在反比例函数的图象上，求A点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的图象在第二、四象限内的比例系数为负数，列出不等式求解即可； （2）先写出反比例函数的解析式，再将点代入求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象在第二、四象限， ， 解得； （2）解：， 反比例函数的表达式为， 把点代入，得， A点的坐标为． 20．如图，在中，，轴，垂足为A．反比例函数的图象经过点C，交于点D．已知，． (1)若，求的值； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出，的长，再利用勾股定理得出的长，得出点坐标即可得出答案； （2）首先表示出，点坐标，进而利用反比例函数图象的性质求出点坐标，然后利用勾股定理即可求得的长 此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和反比例函数图象的性质，正确得出方程，解一元一次方程是解题关键． 【详解】（1）解：作，垂足为E， ∵， ∴． 在中，，， ∴, ∵， ∴C点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， 故答案为：12． （2）解：设A点的坐标为， ∵，， ∴， ∴D，C两点的坐标分别为：，． ∵点C，D都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴C点的坐标为：， ∴． 故答案为：． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求反比例函数的关系式； (2)结合图象直接写出时的取值范围． (3)将直线向上平移后与该反比例函数的图象在第一象限内交于点，且的面积为，求平移后直线的函数关系式． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把点代入求得点坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）先联立两个函数解析式，解方程组求出交点、的坐标，再将不等式变形为，转化为“反比例函数值大于一次函数值”的问题，最后结合图象分和两个分支，找出反比例函数图象在一次函数图象上方时对应的的取值范围即可； （3）根据一次函数上下平移不变，设平移后直线为，过点作轴的平行线交原直线于点，得出铅垂高的长度恒等于（与点横坐标无关），计算、两点的水平距离作为三角形的水平底长，代入三角形面积公式列方程，解出的值，即可得到平移后直线的函数关系式． 【详解】（1）解：把代入，得 ，解得， ∴， 把代入，得 ，解得， ∴反比例函数的关系式； （2）解：∵直线与反比例函数的图象相交于点和点，由（1）知，， ∴， 解得或， ∴， ∵即，由图可知：当或时，反比例函数图象在直线上方， ∴时的取值范围为或； （3）解：设平移后直线的解析式为（向上平移了个单位），如图，过点作轴，交直线于点， 设点的横坐标为，则，， ∴， ∵，， ∴、两点的水平距离为， ∵的面积为， ∴，解得， ∴平移后直线的函数关系式为． 22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)是直线上的一个动点，且点P在第二象限，的面积为21，求点的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入反比例函数解析式求出n的值，再利用待定系数法求一次函数解析式； （2）记直线与直线的交点为，求出点C的坐标，设点，根据即可求解． 【详解】（1）解：把代入中，得出， ， 则把和分别代入， 得出， 解得， ； （2）解：如图，记直线与直线的交点为， 当时，则 ， 是直线上的一个动点， 设点， 的面积为21， ， 即， ， 解得或， ∵点P在第二象限， ∴， 点坐标为． .23．某景区游客服务中心为游客休息室配备了智能饮水机，该饮水机放满水后，初始温度25℃．接通电源自动加热，水温每分钟上升15℃，加热至100℃时停止加热，此后水温（℃）与通电时间（min）成反比例关系，直至降至25℃后再次自动加热，其水温与时间的关系如图，回答以下问题： (1)分别求出和时，关于的函数表达式（需先推导的值）． (2)计算图中的数值． (3)景区开放时间为，且工作人员需在游客进入景区前完成水温调控（前可操作），如果工作人员在接通电源，第一批游客预计到达休息室，请问他们能否喝到之间的温水？ 【答案】(1) (2) (3)能喝到符合要求的温水，理由见解析 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握一次函数与反比例函数的解析式是解题关键． （1）使用待定系数法求函数的表达式； （2）根据（1）中的反比例函数表达式计算出b的值； （3）根据题意可得总通电时间为，再由，可得对应第4个周期的第，处于的降温阶段，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 当时，与成一次函数关系， 设， 将；代入表达式得： ， 解得， ∴； 当时，与成反比例关系， 设， 将代入表达式得：， 解得， ∴， 综上所述，． （2）解：将代入反比例函数的表达式得： ， 解得． （3）解：由题意可知，该饮水机的工作周期是20分钟，工作人员于通电，第一批游客到达， ∴总通电时间为， ∵， 即对应第4个周期的第，处于的降温阶段， 当时，， 该温度在范围内，因此能喝到符合要求的温水． 24．平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：，称点为点的“可控变点”．例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点 根据定义，解答下列问题： (1)点的“可控变点”为点________． (2)点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，…，以此类推，若点的坐标为，则点的坐标为________． (3)若点是函数图象上点的“可控变点”，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或． 【分析】（1）依据“可控变点”的定义可得，点的“可控变点”为点； （2）依据变化规律可得每四次变化出现一次循环，即可得到当点的坐标为，则点的坐标为； （3）由题意知，点M在上，设，当时，的“可控变点”坐标为：，当时，的“可控变点”坐标为：，再结合反比例函数的特点解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴根据“可控变点”的定义可得，点的“可控变点”为点， （2）当时，点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点，…， 故每四次变化出现一次循环； 当时， 点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点， 点的“可控变点”为点，…， 故每四次变化出现一次循环； ∵， ∴当点的坐标为，则点的坐标为． （3）由题意知，点M在上，设， 当时，的“可控变点”坐标为：， ∵点是函数图象上点的“可控变点”， ∴，则， ∴， 当时，的“可控变点”坐标为：， ∵点是函数图象上点的“可控变点”， ∴，则， 此时， ∴ 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，新定义的理解，坐标变换，解答本题的关键是熟练掌握新定义“可控变点”，解答此题还需要根据点的坐标变化规律进行判断． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26章反比例函数综合专练 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．下式中表示是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知点是反比例函数上一点，则下列各点中在该图像上的点是（    ） A． B． C． D． 4．当菱形的面积一定时，它的两条对角线的长分别为．选取组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知某电路中，电压为定值，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系．当电阻为时，电流为；当电流从增加到时，电阻减小了（　　） A． B． C． D． 6．已知，，是反比例函数的图象上的三个点，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，函数的图象是（   ） A． B． C． D． 8．运用你学习函数的经验，判断以下哪个函数的图像如图所示（　　） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，有一个5×2的矩形DEFG网格，每个小正方形的边长都是1个单位长度，反比例函数（k≠0，x＞0）的图像经过格点A（小正方形的顶点），同时还经过矩形DEFG的边FG上的C点，反比例函数（k≠0，x＜0）的图像经过格点B，且，则k的值是（    ） A．2 B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，对于点和，若时，；时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则______． 12．若关于的一元二次方程没有实数根，则反比例函数的图象位于第_____象限． 13．如图，和y＝x的图像，若一个数x大于它的倒数，可知x的取值范围是______． 14．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为C，OA的垂直平分线交x轴于点B，当时，△ABC的周长是______． 15．如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，与双曲线交于点，两点，若，则的值是__________ 16．如图，，，，，都是一边在轴上的等边三角形，点，，，，都在反比例函数的图象上，点，，，，都在轴上，则的坐标为_______． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分,共计72分) 17．某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输天数之间的关系如下表： 每天运输的吨数 500 250 100 50 …… 运输的天数 1 2 5 …… (1)这批货物共有多少吨？ (2)用表示运输天数，用表示每天运输的吨数，用式子表示它们的关系． (3)与成反比例关系吗？如果成，请求出表格中的值． 18．已知反比例函数（k为常数），当时，y随x的增大而增大，求k的取值范围． 19．已知y关于x的反比例函数的表达式为． (1)若反比例函数的图象在第二、四象限内，求m的取值范围； (2)若，当点在反比例函数的图象上，求A点的坐标． 20．如图，在中，，轴，垂足为A．反比例函数的图象经过点C，交于点D．已知，． (1)若，求的值； (2)连接，若，求的长． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求反比例函数的关系式； (2)结合图象直接写出时的取值范围． (3)将直线向上平移后与该反比例函数的图象在第一象限内交于点，且的面积为，求平移后直线的函数关系式． 22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)是直线上的一个动点，且点P在第二象限，的面积为21，求点的坐标； 23．某景区游客服务中心为游客休息室配备了智能饮水机，该饮水机放满水后，初始温度25℃．接通电源自动加热，水温每分钟上升15℃，加热至100℃时停止加热，此后水温（℃）与通电时间（min）成反比例关系，直至降至25℃后再次自动加热，其水温与时间的关系如图，回答以下问题： (1)分别求出和时，关于的函数表达式（需先推导的值）． (2)计算图中的数值． (3)景区开放时间为，且工作人员需在游客进入景区前完成水温调控（前可操作），如果工作人员在接通电源，第一批游客预计到达休息室，请问他们能否喝到之间的温水？ 24．平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：，称点为点的“可控变点”．例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点 根据定义，解答下列问题： (1)点的“可控变点”为点________． (2)点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点，…，以此类推，若点的坐标为，则点的坐标为________． (3)若点是函数图象上点的“可控变点”，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $