7.2.4 诱导公式 第1、2课时课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

7.2.4　诱导公式 第一课时　诱导公式(一) ‹#› 新知探究 对称美是日常生活中最常见的，在三角函数中－α，π±α，2π－α等角的终边与角α的终边关于坐标轴或原点对称，那么它们的三角函数值之间是否也存在对称美呢？ 问题　你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与π±α，－α有什么样的对称关系？ 提示　π＋α的终边与α的终边关于原点对称；π－α的终边与α的终边关于y轴对称；－α的终边与α的终边关于x轴对称. ‹#› 角的旋转对称 ‹#› 1. 诱导公式1 (1)语言表示：终边相同的角的同一三角函数的值______. 相等 ‹#› 2. 诱导公式2 终边关系 图示 角－α与角α的终边关于______对称 公式 sin(－α)＝_________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝———— －sin α cos α x轴 －tan α ‹#› 3.诱导公式3 终边关系 图示 角π－α与角α的终边关于______对称 公式 sin(π－α)＝___________，cos(π－α)＝______________，tan(π－α)＝________________ sin α －cos α －tan α y轴 ‹#› 4.诱导公式4 终边关系 图示 角π＋α与角α的终边关于______对称 公式 sin(π＋α)＝____________，cos(π＋α)＝___________，tan(π＋α)＝___________ 原点 －sin α －cos α tan α ‹#› ‹#› ‹#› 规律方法　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用公式1或2来转化. (2)“大化小”：用公式1将角转化为0°到360°间的角. (3)“小化锐”：用公式3或4将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值. ‹#› ‹#› ‹#› ‹#› 一、素养落地 1.通过本节课的学习，重点提升逻辑推理、数学运算素养. 2.明确各诱导公式的作用 ‹#› 3.诱导公式的记忆 这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角. 4.利用诱导公式化简(计算)的步骤： 负化正―→大化小―→化成锐角再求值 ‹#› 谢谢观看 本节内容结束 ‹#› （1） 和 的终边关于角 的终边所在的直线（即x轴）对称； （2） 和 的终边关于角 的终边所在的直线（即y轴）对称； (3) 和 的终边关于角 的终边所在的直线（即y=x轴）对称； 如图所示，假设角 的终边是OA，射线OB和OC关于OA对称， ，那么射线OB是角 的终边， 射线OC是角 的终边。 知识点2： 角 的终边和角 的终边关于角 的终边所在的直线对称。 一般地，角 的终边和角 的终边关于角 的终边所在的直线对称。 (2)式子表示：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin（α＋k·2π）＝____________，,cos（α＋k·2π）＝____________，其中k∈Z.,tan（α＋k·2π）＝____________，)) (3)角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现. sin α cos α tan α 例1.求下列各值 （1） （2） （3） 解：（1） （2） （3） 例2.求下列各值 （1） （2） （3） （4） 解：（1） （2） （3） （4） 例3，求下列各值 （1） （2） （3） 解：（1） ； （2） ； （3） 例4.求下列各值 （1） （2） （3） 解：（1） ； （2） ； （3） 例5.化简 解： 诱导公式 作用 公式1 将角转化为0～2π之间的角求值 公式2 将负角转化为正角求值 公式3 将角转化为0～eq \f(π,2)之间的角求值 公式4 将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值 $第二课时　诱导公式(二) ‹#› 新知探究 同学们听了老师的记忆口诀后，更是摸不着头脑，老师随后做了解释，同学们脑洞大开，都拍手叫绝. ‹#› 1. 诱导公式5、6 cos α sin α -sin α ‹#› 2. 诱导公式7 利用此诱导公式可以实现正弦值与余弦值的相互转化 -cos α sin α -sin α -cos α 公式1～8都称为诱导公式. ‹#› 2. 诱导公式8 利用此诱导公式可以实现正弦值与余弦值的相互转化 -sin α -cos α 公式1～8都称为诱导公式. ‹#› ‹#› ‹#› ‹#› ‹#› ‹#› ‹#› ‹#› 谢谢观看 本节内容结束 ‹#› 证明：结合公式二和公式五，我们可以得到： ； . 证明：结合公式四和公式六： ； ； 证明：结合公式四和公式五： ； . 八组诱导公式可以总结为如下口诀：奇变偶不表、符号看象限 前四组公式的特点：符号看象限，函数名不变； 后四组公式的特点：符号看象限，函数名改变. 事实上，这8组诱导公式可概括为 EMBED Equation.DSMT4 的各三角函数值. 当 为偶数时，得到角 的同名三角函数值； 当 为奇数时，得到角 的余名三角函数值，然后特别需要注意，在前面加上把 看成锐角时原三角函数值的符号. 例1.求下列各值 （1） （2） （3） 解：（1） （2） （3） 例2. 计算 例3. 化简： 解： 例4. 求证：eq \f(cos(6π＋θ(sin(－2π－θ(tan(2π－θ(,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ)))＝－tan θ. 证明　原式左边＝eq \f(cos θ(－sin θ((－tan θ(,sin θ(－cos θ()＝－tan θ＝右边，所以结论成立． 例5.已知α是第三象限角，且f(α)＝eq \f(sin(π－α(cos(2π－α(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2))),sin(－π－α(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))). (1)求f(α)； (2)若coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)，求f(α)． 解　(1)f(a)＝eq \f(sin(π－α(cos(2π－α(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2))),sin(－π－α(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)))＝eq \f(sin αcos α(－cos α(,sin αcos α)＝－cos α. 所以f(α)＝－cos α. (2)因为coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)， 所以－sin α＝eq \f(1,5)，又α是第三象限角， 所以cos α＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))2)＝－eq \f(2\r(6),5). 所以f(α)＝－cos α＝eq \f(2\r(6),5). 一、素养落地 1.本节课重点提升逻辑推理、数学运算、数学抽象素养. 2.诱导公式可以统一概括为“k·eq \f(π,2)±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号.即“奇变偶不变，符号看象限”. 3.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通. $