二项式定理课件-2027届高三数学一轮复习

　二项式定理 1.二项式定理 a,b只是一种“符号”、也可以是数和代数式 二项式定理 (a+b)n=　　　　　　　　　　　　　　　　(n∈N*)  二项展开式的通项 =　　　　　　　　　　　,它表示展开式的 第　　　　　项  二项式系数 　　　(k=0,1,…,n)  只与各项的项数有关,而与a,b的值无关 an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn　 an-kbk　 k+1 微点拨 1.二项展开式的项数为n+1. 2.各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n. 3.字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到为0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到为n. 4.二项式系数是指,…,,而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关. 微思考(a+b)n与(b+a)n的展开式有何区别与联系? 提示 (a+b)n的展开式与(b+a)n的展开式的项完全相同,但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同. 2.二项式系数的性质 　 递增 递减 中间一项 中间两项 2n　 2n-1 微点拨 利用赋值法求二项式系数的和:已知(1+x)n=x+x2+… +xn,令x=1,得2n=+…+. [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)an-kbk是(a+b)n展开式的第k项.(　　) (2)二项展开式中,二项式系数最大的项为中间一项.(　　) (3)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.(　　) (4)(a+b)n某项的系数是该项中非字母因数部分,包括符号等,与该项的二项式系数不同.(　　) × 解析 an-kbk是(a+b)n的展开式的第k+1项. × 解析 二项式系数最大的项为中间一项或中间两项. √ √ 2.(2020·全国Ⅰ,理8)(x+)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为(　　) A.5　　　　　　　　 B.10 C.15 D.20 C 解析 因为(x+y)5展开式的通项公式为Tr+1=x5-ryr(r∈N且r≤5), 所以当r=1时,x4y=5x3y3,当r=3时,xx2y3=10x3y3,所以x3y3的系数为5+10=15.故选C. 3.(2025·天津,11)在(x-1)6的展开式中,x3的系数为　　　　.  -20 解析 (x-1)6的展开式的通项公式为Tr+1=x6-r·(-1)r,当r=3时,T4=x3·(-1)3 =-20x3,即(x-1)6展开式中x3的系数为-20. 4.(人A选三教材例题改编)已知n∈N*,(3x-)n的展开式中只有第7项的二项式系数最大,则该展开式中各项系数和为　　　　　.  212 解析 ∵(3x-)n的展开式中只有第7项的二项式系数最大,∴n=12.令x=1,则该展开式中各项系数和为212. 考点一　二项展开式的通项及其应用 考向1　形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中的特定项 例1　(1)(多选题)关于(x2-)9的展开式,下列结论正确的是(　　) A.展开式中含项的系数为-128 B.第5项和第6项的二项式系数相等 C.展开式中的常数项是第7项 D.展开式中的有理项共有3项 BC 考点一 考点二 考点三 考点四 解析 (x2-)9的展开式的通项为Tk+1=(x2)9-k(-)k=(-2)kx18-3k,k∈N且k≤9.由18-3k=-3,得k=7,得T8=(-2)7x-3,所以展开式中含项的系数为-128, 故A错误;展开式共10项,则第5项和第6项的二项式系数相等,故B正确;由18-3k=0,得k=6,所以展开式中的常数项是第7项,故C正确;由18-3k为整数,k∈N,k≤9,可得k=0,1,2,…,9,所以有理项共有10项,故D错误.故选BC. 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)(2025·四川绵阳模拟)在的展开式中,x3的系数为5,则a的值 为(　　) A.-1 B.1 C.-2 D.2 B 解析 因为的通项为Tk+1=(ax)5-k=(-1)ka5-k (k=0,1,2,3,4,5),令5-=3,解得k=4,则(-1)4a=5a=5,则a=1.故选B. 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　求二项展开式中特定项的步骤 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练1](1)(2025·江苏南通模拟)已知(2x-1)6+a(x+1)3的展开式中x3的系数为0,则a的值为(　　) A.-160 B.160 C.-960 D.960 B 解析 (2x-1)6的展开式中含x3的项为(-1)3(2x)3=23(-1)3x3,a(x+1)3的展开式中含x3的项为ax3,因此(2x-1)6+a(x+1)3的展开式中含x3的系数为 23(-1)3+a=0,故a=160.故选B. 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)(2025·陕西汉中模拟)若(3x-2)5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+ +a5(x-1)5,则a0+a5=(　　) A.244 B.1 023 C.-31 D.1 A 解析 设t=x-1,则原恒等式可化为(3t+1)5=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5,令t=0,则a0=1,而(3t+1)5展开式的通项公式为Tr+1=(3t)5-r,r=0,1,2,3,4,5,故a5=35=243,故a0+a5=244.故选A. 考点一 考点二 考点三 考点四 考向2　求形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)的两个多项式积的展开式问题 例2　[一题多变](2022·新高考Ⅰ,13)(1-)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为　　　　.(用数字作答)  -28 解析 (x+y)8展开式的通项为Tk+1=yk,k=0,1,…,7,8. 令k=6,得T7=x2y6;令k=5,得T6=x3y5,所以(1-)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为=-28. 考点一 考点二 考点三 考点四 教考衔接 (人A选三教材习题)(x+y)(x-y)5的展开式中x3y3的系数是　　　.  0 解析 (x+y)(x-y)5的展开式中含x3y3的项为xx2(-y)3+yx3(-y)2=0,所以展开式中x3y3的系数是0. 考点一 考点二 考点三 考点四 AI变式 [变式1](2025·安徽合肥模拟预测)(a+)(x+y)7的展开式中x2y5的系数为49,则a的值为　　　.  2 解析 因为(x+y)7的二项展开式为Tr+1=x7-ryr,r=0,1,2,…,7,令r=5,可得T6=x2y5=21x2y5;令r=6,可得T7=xy6=7xy6.可得a×T6+T7=a×21x2y5+7xy6=(21a+7)x2y5,所以21a+7=49,解得a=2. 考点一 考点二 考点三 考点四 [变式2](1-x)5(1+x+x2)的展开式中x4的系数为　　　　.(用数字作答)  5 解析 (方法一)(1-x)5(1+x+x2)的展开式中含x4的项为 (-x)4+x(-x)3+x2(-x)2=5x4-10x4+10x4=5x4,故x4的系数为5. (方法二)(1-x)5(1+x+x2)=(1-x)4(1-x3),展开式中含x4的项为 (-x)4-x3(-x)=5x4,故x4的系数为5. 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　求两个因式之积的特定项(或系数)的两种常用方法 考点一 考点二 考点三 考点四 考向3　三项展开式中的特定项(或系数) 例3　在的展开式中,x5y2的系数为　　　　.  30 解析 (方法一),含y2的项为T3=y2,其中,中含x5的项为x=3x5,所以x5y2的系数为3=30. (方法二)为5个(x2+x+y)相乘,每个(x2+x+y)相乘时有三种选择,选x2或x或y.设选a个x2,选b个x,则选y的有(5-a-b)个,其中a,b,5-a-b ∈{0,1,2,3,4,5},根据次数关系可知解得即选x2的有2个,选x的有1个,则选y的有2个,所以x5y2的系数为=30. 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　求三项展开式中某些特定项(或系数)的三种方法 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练2](2025·广东佛山三模)若(+ax2+1)5的展开式中的常数项为31,则a=(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 C 解析 依题意,15+)212=31,所以1+30a=31,即a=1.故选C. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点二　二项式系数与各项的系数和问题 例4　(多选题)(2025·四川泸州模拟)已知(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,展开式中的所有项的二项式系数和为64,下列说法正确的是(　　) A.n=7 B.a3=-160 C.a0+a1+2a2+3a3+…+nan=12 D.|a1|+|a2|+…+|an|=36-1 BD 考点一 考点二 考点三 考点四 解析 因为展开式中的所有项的二项式系数和为64,所以2n=64,解得n=6,故A错误;因为(1-2x)6展开式的通项为Tr+1=(-2x)r,r=0,1,2,3,4,5,6,所以a3x3=(-2x)3=-160x3,所以a3=-160,故B正确;因为(1-2x)6 =a0+a1x+a2x2+…+a6x6,令x=0,可得a0=1,令f(x)=(1-2x)6= a0+a1x+a2x2+…+a6x6,得f'(x)=-12(1-2x)5=a1+2a2x+3a3x2+…+6anx5,令x=1,可得a1+2a2+3a3+…+6a6=-12×(-1)5=12,所以a0+a1+2a2+3a3+…+nan=13,故C错误;由展开式的通项,得a1,a3,a5<0,a0,a2,a4,a6>0,所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=a0-a1+a2-…+a6,令x=-1,可得a0-a1+a2-…+a6=36,所以|a1|+|a2|+…+|an|=36-1,故D正确.故选BD. 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　1.赋值法的应用 二项式定理给出的是一个恒等式,对于x,y的一切值都成立.因此,可将x,y设定为一些特殊的值.在使用赋值法时,令x,y等于多少,应视具体情况而定,一般取“1,-1或0”,有时也取其他值. 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则展开式中: (1)各项系数之和为f(1); (2)a0+a2+a4+…=; (3)a1+a3+a5+…=. 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练3](多选题)(2025·江苏苏州模拟)已知(2x-)4的展开式中各项系数的绝对值之和为A,第3项的二项式系数为B,则(　　) A.A=1 B.A+B=87 C.展开式中存在常数项 D.展开式中第2项为-32x BD 考点一 考点二 考点三 考点四 解析 (2x-)4的展开式中各项系数的绝对值之和与展开式中各项系数之和相等,令x=1,则A=(2+1)4=34=81,故A错误; 且(2x-)4展开式的第3项的二项式系数为=6,即B=6,所以A+B=87,故B正确; (2x-)4的展开式的通项公式为Tk+1=(2x)4-k(-)k=24-k(-1)kx4-3k, k=0,1,2,3,4,令4-3k=0,解得k=N,故C错误; 由Tk+1=24-k(-1)kx4-3k,令k=1,则第2项为23(-1)1·x=-32x,故D正确.故选BD. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点三　二项式系数与项的系数的最值问题 考向1　二项式系数的最大项问题 例5　(1)(2025·天津期中)在的展开式中,只有第6项的二项式系数最大,则展开式中x6的系数是(　　) A. B.- C. D.7 A 考点一 考点二 考点三 考点四 解析 ∵在的展开式中,只有第6项的二项式系数最大, ∴它的展开式共计有11项,∴n=10,故二项展开式的通项公式为Tr+1=(-x)r=(-)r,r=0,1,2,…,10,令5+=6,求得r=2,可得在的展开式中x6的系数为故选A. 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)(2025·福建宁德三模)已知(x+a)n的展开式中只有第3项的二项式系数最大.若展开式中所有项的系数和为16,则a的值为(　　) A.-3 B.1 C.-1或3 D.-3或1 D 解析 因为(x+a)n的展开式中只有第3项的二项式系数最大,故+1=3,解得n=4,依题意,令x=1,有(1+a)4=16,解得a=1或a=-3.故选D. 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　二项式系数最大项的确定方法 考点一 考点二 考点三 考点四 考向2　二项式展开式中系数最大(最小)项问题 例6　(2024·全国甲,理13)(+x)10的展开式中,各项系数中的最大值为　　　　　.  5 考点一 考点二 考点三 考点四 解析 (方法一)由题意,(+x)10的展开式的通项为Tr+1=)10-rxr,0≤r≤10且r∈Z, 设展开式中第k+1项系数最大,则k,又k∈Z,故k=8,经检验,展开式中系数最大的项是第9项,且该项系数为)2=5. (方法二)该展开式中各项系数的最大值一定在下列5个值中: )5,)4,)3,)2,)1,逐一计算,可知)2=5最大. 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　二项展开式系数最大项的求法 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练4](1)(2025·江苏南通模拟)(2x-)n的展开式的二项式系数之和等于256,则展开式中二项式系数最大的项为(　　) A.1 120x2 B.-1 120x2 C.1 792 D.1 792x5 A 解析 由题可得2n=256,所以n=8,展开式的通项为Tk+1=(2x)8-k(-)k =28-k(-1)k,k=0,1,2,…8,故展开式中,二项式系数最大的项为T5=24(-1)4·x2=1 120x2.故选A. 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)已知(x-)6(a>0)的展开式中含x3的项的系数为r,常数项为s,且r=s,则a的值为　　　　　;展开式中系数最小的项为　　　　　.  1 -20 解析 (x-)6的展开式的通项为x6-k·(-)k=(-a)k, k=0,1,2,3,4,5,6,令k=2,得T3=a2·x3=15a2x3,则r=15a2,令k=4,得展开式中的常数项为s=a4=15a4,又r=s,所以15a2=15a4,解得a=0或a=-1或a=1,又a>0,故a=1. 展开式中第k项系数的绝对值为,则当k=3时,展开式中系数的绝对值最大. T4=(-1)3,其系数为负数,此时该项的系数最小,故展开式中系数最小的项为-20 考点一 考点二 考点三 考点四 考点四　二项式定理的综合应用 例7　(1)(2025·山东枣庄二模)已知(3x+1)2 025=a0+a1x+a2x2+…+a2 025x2 025,则a1+()2a2+…+()2 025a2 025被4除的余数为(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 D 解析 令x=0,由已知可得,a0=12 025=1,令x=,可得52 025=a0+a1+()2a2 +… +()2 025a2 025,所以a1+()2a2+…+()2 025a2 025=52 025-1. 因为52 025=(4+1)2 025=42 025·10+42 024·11+…+41·12 024 +40·12 025=42 025·10+42 024·11+…+41·12 024+1,所以52 025被4除的余数为1,即52 025-1被4除的余数为0.故选D. 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)利用二项式定理计算1.056,则其结果精确到0.01的近似值是(　　) A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.34 D 解析 1.056=(1+0.05)6 =0.05+0.052+0.053+…+0.056 =1+0.3+0.037 5+0.002 5+…+0.056≈1.34.故选D. 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　1.用二项式定理处理整除问题,通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式,再利用二项式定理展开,只考虑后面一、二项(或者是某些项)就可以了. 2.利用二项式定理近似运算时,首先将幂的底数写成两项和或差的形式,然后确定展开式中的保留项,使其满足近似计算的精确度. 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练5](1)(2025·江西吉安模拟)1.0110的小数点后第二位的数字是(　) A.0 B.1 C.2 D.5 A 解析1.0110=(1+0.01)10=0.010+0.011+0.012+…+0.0110 =1+0.1+0.004 5+…≈1.105,故小数点后第二位的数字是0.故选A. 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)(2025·河南许昌模拟预测)若(2x+1)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,则2(a1+a3+…+a99)-4被8除的余数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 C 解析令x=1,得a0+a1+a2+…+a100=3100,令x=-1,得a0-a1+a2-…+a100=1, 两式相减得2(a1+a3+a5+…+a99)=3100-1,所以2(a1+a3+…+a99)-4=3100-5, 因为3100-5=950-5=(8+1)50-5=850+849+…+8+-5 =850+849+…+8-4=850+849+…+8-8+4,因为850+849+…+8-8能被8整除,所以2(a1+a3+…+a99)-4被8除的余数为4.故选C. 考点一 考点二 考点三 考点四 $