精品解析：湖北武昌实验中学2025-2026学年高一年级下学期期中考试数学试卷

2025-2026学年度下学期期中检测 高一数学试卷 考试时间：2026年4月22日下午14:00—16:00 试卷满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则它是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 1 3. 已知是三角形的内角，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知向量，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在矩形中，，是矩形区域内一点（含边界），点与点关于点对称，则的最大值为（ ） A. 9 B. 6 C. 7 D. 8 7. 在中，内角的对边分别为，若，则外接圆的半径为（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 已知函数，其中，若对于任意实数，函数在区间上至少有两个零点，至多有5个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 在中，角所对的边为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为2的正方形中，为以为圆心、为半径的圆弧（包含，）上的任意一点，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为4 D. 过作交于，则的最大值为5 11. 已知平面向量，定义，如 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若平面向量满足 ，则的取值范围为 D. 若，点满足 则点的轨迹长度为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，若与夹角为钝角，则实数的取值范围为___________ 13. 函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则函数的解析式为_______. 14. 已知点为内部的一动点，记，当取得最小值时，，此时的余弦值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，已知是直角边长为2的等腰所在平面内一点，是的中点，是的中点. （1）当时，求的值； （2）当时，求的取值范围. 16. 已知向量. （1）求函数的单调递增区间； （2）若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围. 17. 在中，是线段上一点，且，设． （1）若，求的值； （2）求的最大值． 18. 武汉东湖之眼摩天轮位于武汉东湖磨山景区内，甲、乙两位同学在游玩之后想对其进行数学建模研究，获取资料如下：摩天轮的轮盘直径约为50米，其最高点距离地面的高度约为55米，摩天轮旋转一周的时间约为15分钟．游客从摩天轮的最低点进入座舱，乘坐一周后在原位置出舱． （1）若从甲进入座舱起，经过分钟后距离地面高度为米，直接写出的表达式； （2）若从甲进入座舱起，乙站在地面开始为甲拍摄游玩视频以记录甲乘坐摩天轮的过程，当且仅当甲距离地面不超过17.5米时，可以在视频中拍摄到甲，求甲在视频中出现的时长； （3）已知该摩天轮一共设有等角度间隔的28个座舱，若乙在甲进入座舱 × (15/28) 分钟后，也进入摩天轮，其中，若从乙进入座舱的那一刻开始计时，直到甲和乙距离地面的高度第一次达到相等停止计时，若在这个过程中，甲、乙距离地面的高度差大于等于25米的持续时间超过2.5分钟，求的最小值． （参考数据：） 19. 已知平面直角坐标系中，点，点为坐标原点． （1）若点满足，求的最小值； （2）线段的等分点按与的距离由近到远分别记为，其中． （i）记，求： （ii）当时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期期中检测 高一数学试卷 考试时间：2026年4月22日下午14:00—16:00 试卷满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则它是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】根据，数形结合得到答案. 【详解】，故它是第三象限角. 故选：C 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】由. 3. 已知是三角形的内角，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系及商数关系计算即可． 【详解】∵是三角形的内角，∴，即， ∵，∴， ∴. 故选：B． 4. 已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据共线向量定理及相关性质、充分必要条件的定义求解判断即可. 【详解】若存在实数，使，则共线； 若，则同向； 所以“存在实数，使”是“”的必要不充分条件. 5. 已知向量，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义计算得解. 【详解】因为， 所以在上的投影向量为：. 6. 在矩形中，，是矩形区域内一点（含边界），点与点关于点对称，则的最大值为（ ） A. 9 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，连接，由向量加减法可得，据此可得答案. 【详解】因为点与点关于点对称，所以，则． 取的中点，连接，则，， 则． 当点与点或点重合时，取得最大值，则， 从而的最大值为8． 故选：D 7. 在中，内角的对边分别为，若，则外接圆的半径为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知条件求出的值，再利用正弦定理得到和，的关系，最后结合余弦定理求出的值，进而求出的值，再求出的值，最后根据三角形外接圆半径公式求出半径. 【详解】已知，即，因为，所以, 即，又由余弦定理得，联立两式并代入条件得到：， 即，解得. ，即， 根据正弦定理，解得，即. 8. 已知函数，其中，若对于任意实数，函数在区间上至少有两个零点，至多有5个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，得的表达式，根据x的范围，可得的范围，根据零点个数，结合正弦函数的图象与性质，分析求解，即可得答案. 【详解】令，得，则，或， 由，得，区间长度为， 由在区间上至少有两个零点， 得区间长度至少为，即，解得， 由至多有5个零点，得区间长度，解得， 所以的取值范围是. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 在中，角所对的边为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A,B,D,根据三角形全等，易得三角形的形状唯一确定，故解唯一；对于C，可用正弦定理，结合正弦函数的图象，说明符合条件的三角形有两解. 【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确； 对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确； 对于C，由正弦定理，可得，，因，则, 因，结合正弦函数的图象可知角有两解，故C错误； 对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确. 故选：ABD. 10. 如图，在边长为2的正方形中，为以为圆心、为半径的圆弧（包含，）上的任意一点，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为4 D. 过作交于，则的最大值为5 【答案】ACD 【解析】 【分析】以A为原点建系，求得各点坐标，设，可得点P坐标，根据向量运算法则，可得x，y的表达式，根据三角函数的性质，判断AB；利用向量的坐标运算及正弦函数的性质判断C；利用向量的坐标运算及二次函数的性质判断D. 【详解】以A为原点，AB、AD为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示， 则，设，则， 由，得， 所以，则， 选项A、B：， 由，得， 所以时，的最大值为，故A正确； 当或时，的最小值为1，故B错误； 选项C：， 当时，的最大值为4，故C正确； 选项D：由题意， 所以 令，， 所以当时，有最大值5，则的最大值为5，故D正确. 11. 已知平面向量，定义，如 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若平面向量满足 ，则的取值范围为 D. 若，点满足 则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据所给定义，结合绝对值不等式，可判断A的正误；根据数量积公式及条件，分析可判断B的正误；设，求出坐标，根据数量积公式，可得表达式，结合基本不等式，分析求解，可判断C的正误；设，由条件可得 ，分别讨论、和三种情况，分别求出图象长度，综合即可判断D的正误. 【详解】选项A：，， 由绝对值不等式得， 所以，故A正确； 选项B：， ， 显然，， 所以，故B正确； 选项C：设，由题意 ， 则， 所以， 由B项分析可得，即， 所以， 由 ，得 ， 则 ， 当且仅当 时取最小值8，当 或 时取最大值16， 所以，故C错误； 选项D：设，则， 由 ，得 ，即 ， 当时，得 ，即 ， 得线段和线段，长度为； 当时，得 ，即， 得线段和线段，长度为； 当时，得 ，即 ， 得线段和线段 ，长度为， 则总长度为，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，若与夹角为钝角，则实数的取值范围为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量夹角公式，可得m的范围，求出当时，m的值，分析即可得答案. 【详解】由与夹角为钝角，得， 解得， 当时，可得，解得，不在范围内， 所以实数的取值范围为 13. 函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则函数的解析式为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由函数的图象，利用三角函数的性质，求得函数的解析式，结合三角函数的图象变换，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得，解得， 又由，可得，解得， 因为，则，所以， 又因为将的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象， 所以. 故答案为：. 14. 已知点为内部的一动点，记，当取得最小值时，，此时的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】当取最小值时，点为的重心，满足向量性质，变形后结合向量数量积运算即可求解的余弦值. 【详解】设平面直角坐标系中，三个顶点坐标为，，， 动点坐标为. ∵ 距离平方和， ∴ 代入坐标展开得： ， 对于二次函数（），当时取得最小值， ∵ 二次项系数，∴ 相关的二次项在时取最小值， 同理相关的二次项在时取最小值， ∴ 当且仅当时，取得最小值. 而三角形重心的坐标公式恰好为， ∴ 使得距离平方和最小的点就是的重心. ∵为的重心，∴，整理得， 将等式两边同时平方得， 展开左边得， ∵ ，，，代入得 . 计算得，整理得， ∴ . 【点睛】技巧点睛：平面内到三角形三个顶点距离平方和最小的点为三角形的重心，其向量性质为，是本题的解题突破口. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，已知是直角边长为2的等腰所在平面内一点，是的中点，是的中点. （1）当时，求的值； （2）当时，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，建立平面直角坐标系，求出，由数量积的坐标表示即可得出答案; （2）由向量的线性运算求出，由点的轨迹求出的最大值和最小值即可得出答案. 【小问1详解】 由题意，以为坐标原点，建立平面直角坐标系， 所以， 由，可得，所以， 所以. 【小问2详解】 ， 当时，点的轨迹表示以为圆心，为半径的圆， 所以， ， 所以的取值范围为：. 16. 已知向量. （1）求函数的单调递增区间； （2）若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换和辅助角公式化简，求出单调区间； （2）转化为两函数图象交点个数问题，从而得到不等式，求出实数a的取值范围. 【小问1详解】 由题可得， ， 令，， 解得，， 故单调递增区间为，； 【小问2详解】 由题意，函数在有两个不同的零点， 令，则在有两个不同的解，故， 故与的图象在上有两个不同的交点， 而在为增函数，在为减函数， 且，故，则，即. 17. 在中，是线段上一点，且，设． （1）若，求的值； （2）求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，可得AD和的值，根据正弦定理，可得与的关系，根据同角三角函数的关系，即可求得答案. （2）根据正弦定理，化简整理，可得的表达式，结合基本不等式，即可得答案. 【小问1详解】 在中，，且， 在中，由正弦定理得，即， 所以， 则，又， 联立解得. 【小问2详解】 在中，由正弦定理得，即， 则，即， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 18. 武汉东湖之眼摩天轮位于武汉东湖磨山景区内，甲、乙两位同学在游玩之后想对其进行数学建模研究，获取资料如下：摩天轮的轮盘直径约为50米，其最高点距离地面的高度约为55米，摩天轮旋转一周的时间约为15分钟．游客从摩天轮的最低点进入座舱，乘坐一周后在原位置出舱． （1）若从甲进入座舱起，经过分钟后距离地面高度为米，直接写出的表达式； （2）若从甲进入座舱起，乙站在地面开始为甲拍摄游玩视频以记录甲乘坐摩天轮的过程，当且仅当甲距离地面不超过17.5米时，可以在视频中拍摄到甲，求甲在视频中出现的时长； （3）已知该摩天轮一共设有等角度间隔的28个座舱，若乙在甲进入座舱 × (15/28) 分钟后，也进入摩天轮，其中，若从乙进入座舱的那一刻开始计时，直到甲和乙距离地面的高度第一次达到相等停止计时，若在这个过程中，甲、乙距离地面的高度差大于等于25米的持续时间超过2.5分钟，求的最小值． （参考数据：） 【答案】（1） （2）5分钟 （3）6 【解析】 【分析】（1）根据条件，求出，结合余弦函数解析式，分析即可得答案. （2），根据余弦函数的性质，求出t值，综合即可得答案. （3）分别求出甲、乙的高度和的表达式，可得的表达式，求出第一次高度相同时的时间表达式，结合条件，代入不同n值，分析求解，比较即可得答案. 【小问1详解】 摩天轮的轮盘直径约为50米，则半径为25米，摩天轮中心距地面30米， 由周期为15分钟，得， 以最低点为起点，t分钟后对应的角度为， 则. 【小问2详解】 令，则， 由，得， 所以或， 解得或， 总的时长为分钟 【小问3详解】 由摩天轮有等角度间隔的28个座舱，得相邻座舱角度差为， 乙间隔n个座舱进入，故甲、乙的角度差为， 设乙进入后时间为t，则甲的高度， 乙的高度， 则高度差为 ， 第一次高度相等时，，即， 则，解得，得， 当时，相遇时的时间， 若高度差大于等于25米的持续时间超过2.5分钟，则开始大于等于25米的时间最晚为， 此时甲乙的高度差， 因为，所以， 所以， 即甲、乙距离地面的高度差大于等于25米的持续时间超过2.5分钟，符合题意； 当时，相遇时的时间， 若高度差大于等于25米的持续时间超过2.5分钟，则开始大于等于25米的时间最晚为， 此时甲乙的高度差， 由，得， 所以， 即甲、乙距离地面的高度差大于等于25米的持续时间不超过2.5分钟，不符合题意； 同理当时，均不满足题意，故的最小值为6. 19. 已知平面直角坐标系中，点，点为坐标原点． （1）若点满足，求的最小值； （2）线段的等分点按与的距离由近到远分别记为，其中． （i）记，求： （ii）当时，求的最小值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据条件，可得坐标，代入求模公式，结合二次函数的性质，即可得答案. （2）（i）由题意，求和可得坐标，代入求模公式，即可得答案. （ii）当时，可得坐标，根据数量积公式，可得的表达式，根据函数单调性，结合二次函数的性质，分析求解，即可得答案. 【小问1详解】 由题意得，则， 所以， 则当时，的最小值为. 【小问2详解】 （i）由题意，则，求和， 又， 所以， 则 （ii）当时，， 所以 ， 记，为关于j的一次函数 当时，则， 其中当时，该式有最小值； 当时，； 当时，， 其中当时，该式有最小值； 综上，的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $