精品解析：福建龙岩市高级中学等校2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

2025-2026学年第二学期半期考 高二数学科试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量与共线，则实数（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知O是坐标原点，空间向量，，，若线段AB的中点为D，则（ ） A. B. 3 C. 8 D. 9 4. 若函数，则函数从到的平均变化率为（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知空间三点，，，则与的夹角为（    ） A. B. C. D. 6. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 8. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、（多选题）：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在空间直角坐标系中，已知，，，则（ ）. A. 点关于平面对称的点是 B. 点关于轴对称的点是 C. D. 10. 下列命题是真命题的有（ ） A. 平面经过三点，，，是平面的法向量，则， B. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 C. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D. ，，，是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么，，，共面 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，的单调递减区间为 B. 存在，使得有三个零点 C. 当时，的极小值点为 D. 当时，曲线的对称中心为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，则__________． 13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________. 14. 已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在长方体中，，为与的交点． （1）用向量表示； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 16. 已知函数在处取得极值1. （1）求、b的值； （2）求在上的最大值和最小值. 17. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若有两个极值点，求实数的取值范围； 18. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数在点处的切线与直线平行. （1）求切线的方程； （2）判断在上零点的个数，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期半期考 高二数学科试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量与共线，则实数（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线的条件即可求解. 【详解】因为向量与共线， 所以，即，解得或， 所以实数的值为或. 故选：D. 2. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数，即可求出切线的斜率，从而求出倾斜角. 【详解】因为，则，所以， 即曲线在点处的切线的斜率，设倾斜角为， 则，又，所以. 故选：D 3. 已知O是坐标原点，空间向量，，，若线段AB的中点为D，则（ ） A. B. 3 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量坐标运算求出，进而求出的坐标及模. 【详解】向量，，线段AB的中点为D，则, 而，于是， 所以. 故选：B 4. 若函数，则函数从到的平均变化率为（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用平均变化率的定义可得答案. 【详解】因为，所以，， 故函数从到的平均变化率为. 故选：B. 5. 已知空间三点，，，则与的夹角为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得两向量的坐标，利用向量的夹角公式可求与的夹角. 【详解】∵， ， ∴结合向量夹角范围易知：与的夹角为． 故选：C 6. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性即可确定函数图象. 【详解】因为，所以， 当时，，单调递减， 当时，令，得，令得， 所以在单调递减，在单调递增，当时，有最小值1， 只有选项B图象符合. 故选：B 7. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求得的值，再求得的值. 【详解】依题意，令得 所以，所以，故选D. 【点睛】本小题主要考查导数的运算，考查方程的思想，属于基础题. 8. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为函数与的图象有2个交点，则利用导数的几何意义求出直线与曲线相切时的直线的斜率，再结合图形可求出实数的取值范围. 【详解】有两个零点，即有两个正实根， 即函数与的图象有2个交点． 直线过定点，当该直线与曲线相切时，设切点为， 又，则，即， 令，则，所以在上单调递增， 又，故有唯一零点，故， 所以当直线与曲线相切时，切点为，则切线斜率为1． 要使函数与的图象有2个交点，则需满足， 所以． 故选：B． 【点睛】关键点睛：此题考查函数与方程的综合问题，考查导数的几何意义，解题的关键是将问题转化为直线与曲线有两个交点问题，然后利用导数的几何意义求出相切时直线的斜率，再结合图形求解即可，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题. 二、（多选题）：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在空间直角坐标系中，已知，，，则（ ）. A. 点关于平面对称的点是 B. 点关于轴对称的点是 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标表示计算可得. 【详解】点关于平面对称的点是，故A正确. 点关于轴对称的点是，故B不正确. ，，， ，，故C、D均正确. 故选：ACD 10. 下列命题是真命题的有（ ） A. 平面经过三点，，，是平面的法向量，则， B. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 C. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D. ，，，是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么，，，共面 【答案】BD 【解析】 【分析】根据平面的法向量和平面的关系，可求得，判断A;根据两直线的方向向量的数量积等于0，可判断B; 根据直线的方向向量和平面的法向量的数量积为0，可判断线面关系，判断C;根据空间向量基底的含义，可判断，，共面，从而判断D. 【详解】对于A， ，由题意知 ， 故 ，解得，A错误. 对于B， , 故 可得l与m垂直，B正确； 对于C， , 故 可得在内或，C错误； 对于D, 是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底， 则，，共面，可得共面,D正确； 故选: 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，的单调递减区间为 B. 存在，使得有三个零点 C. 当时，的极小值点为 D. 当时，曲线的对称中心为 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A，代入求导，通过导函数的正负区间，即可判定；选项B，通过求导判断函数的单调性，得函数的极大值和极小值都小于0，故可以判断不存在，使得有三个零点；选项C，通过求导判断函数的单调性，得为函数极小值点；选项D，通过图像的平移性质即可判断. 【详解】由，得， 对于A，当时，，令，即， 解得或， 当时，恒成立，所以在区间上单调递减，故A正确； 对于B，令，解得或， 又，所以当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 当时，恒成立，所以在区间上单调递减， 当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 所以当时，函数取得极大值，， 当时，函数取得极小值，， 所以不存在，使得有三个零点，故B错误； 对于C，令，解得或， 又，所以当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 当时，恒成立，所以在区间上单调递减， 当时，恒成立，所以在区间上单调递增， 所以，是函数的极小值点，故C错误； 对于D，当时，函数，曲线， 因为的对称中心为，曲线的图像可由的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到， 根据函数图像的平移性质，曲线的对称中心为，故D正确. 故选：AD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量加法求出坐标，再根据空间向量模的计算公式即可求解. 【详解】已知空间向量， 则， 则． 故答案为：． 13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，应用空间向量夹角的坐标运算求夹角余弦值，进而求即可. 【详解】， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 14. 已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】通过恒成立，分离参数求最值即可求解. 【详解】的定义域为， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为函数， 所以当时取得最大值9， 所以，即的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在长方体中，，为与的交点． （1）用向量表示； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量加法的几何意义直接可得； （2）建立空间直角坐标系，用向量的方法异面直线所成的角可得. 【小问1详解】 因为为与的交点，且为的中点， 所以，又因为， 所以 【小问2详解】 因为在长方体中，故以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图： 根据题意可得． ，． 可得． ，， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为． 16. 已知函数在处取得极值1. （1）求、b的值； （2）求在上的最大值和最小值. 【答案】（1）， （2）最大值为1，最小值为 【解析】 【分析】（1）由题意，根据极值点、极值的含义得，可求出、的值，再利用导数与函数极值点之间的关系验证即可； （2）利用导数求出函数在区间上的单调性，即可求得函数在上的最大值和最小值. 【小问1详解】 因为，该函数的定义域为， 则， 因为函数在处取得极值1， 则，解得，，则， 所以，，令，可得，列表如下： 1 + 0 增 极大值 减 所以，函数在取得极大值，合乎题意，故，. 【小问2详解】 由（1）可知，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 又因为，， 因为， 所以，故. 17. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若有两个极值点，求实数的取值范围； 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【小问1详解】 若，， 则， 令，解得，令，解得， 所以函数单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 由，可得， 由有两个极值点，则有两个变号零点，即有两个正根， 所以， 解得，所以实数的取值范围为. 【点睛】 18. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 取中点，连接、， 又是的中点，所以，且， 又，，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）； （3） 设且，则，由（2）可得，，，， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以平面的法向量为， 又，点到平面的距离为， 所以，即，解得， 所以在线段上存在点，使得点到平面的距离为，且. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接、，可得四边形为平行四边形，所以，再根据线面平行的判定定理，即可证明； （2）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，先求得平面和平面的法向量，再结合面面角的向量求法，即可求解； （3）假设存在点，且，根据空间点到面的距离的向量求法，列出方程，求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，平面， 所以，， 又，所以以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 所以，，，， 令平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以平面的法向量为， 令平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以平面的法向量为， 设平面与平面所成角为， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为； 【小问3详解】 略 19. 已知函数在点处的切线与直线平行. （1）求切线的方程； （2）判断在上零点的个数，并说明理由. 【答案】（1） （2）有且只有1个零点，理由： 由（1）知，所以， 由，可得， 令，则. ①当时，， 因为，，则，， 所以，所以在上单调递增， 又因为，所以在上无零点. ②当时，令， 则，即在上单调递减， 又因为， 所以存在，使得， 所以在上单调递增，在上单调递娍， 因为， 所以在上有且只有一个零点. 综上所述，在上有且只有一个零点. 【解析】 【分析】（1）求导得，计算出斜率和切点坐标即可写出点斜式方程； （2）令，转化得方程，设立新函数，分和讨论零点即可. 【小问1详解】 ， 所以切线的斜率，由题意得. 所以，所以， 所以切线的方程为，即. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是进行等价转化成研究函数的零点，然后分和，在讨论第二种的时候需要结合零点存在定理去判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $