8.3 实数及其简单运算教学设计 2025--2026学年人教版七年级数学下册

《8.3 实数及其简单运算》分课时教案设计 第 1 课时 实数的概念与分类、实数与数轴的对应关系 【教材分析】 本节课是人教版七年级下册第八章《实数》的核心内容，承接有理数的概念与分类，通过探究有理数的小数形式引出无理数，进而构建实数的完整概念体系。教材通过 “探究 — 溯源 — 思考” 的编排逻辑，结合《九章算术》的数学史素材，既体现了数系扩充的必要性，又渗透了数学文化；同时通过数轴表示无理数的实例，帮助学生建立 “实数与数轴上的点一一对应” 的核心认知，为后续实数的性质与运算奠定基础。 【素养目标】 数学抽象：通过分析有理数的小数形式，抽象出无理数的定义，理解实数的概念与分类标准。 逻辑推理：通过 “有理数都可化为有限小数或无限循环小数” 的探究，推理出无限不循环小数是无理数，发展归纳推理能力。 直观想象：通过在数轴上表示、等无理数，建立实数与数轴的一一对应关系，提升数与形结合的直观想象素养。 文化自信：了解我国古代数学家对无理数的研究成果，感受数学文化的博大精深，增强民族自豪感。 【教学重难点】 重点：无理数与实数的概念，实数的两种分类方法。 难点：理解 “无限不循环小数是无理数”，在数轴上表示无理数的原理。 【教学准备】 多媒体课件、圆形纸片、直尺、圆规、数轴教具 【教学过程】 一、情境导入，温故知新（5 分钟） 1.回顾旧知：提问学生 “我们之前学过的数可以分为哪几类？有理数的定义是什么？”，引导学生回忆有理数的分类（整数和分数）。 2.引发冲突：出示问题 “、、这些数是有理数吗？为什么？”，让学生尝试将、等有理数化为小数形式，对比≈1.4142… 的小数形式，发现矛盾，引出课题。 二、探究新知，构建概念（15 分钟） 1.探究有理数的小数形式 活动 1：让学生计算、、、、、的小数形式，观察并总结：所有有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，反之，有限小数或无限循环小数也都是有理数。 活动 2：对比≈1.41421356…、≈3.14159265…、≈1.25992105… 的小数形式，引导学生发现这些数是无限不循环小数，从而引出无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。 补充：无理数的常见类型（开方开不尽的数、含的数、无限不循环小数），结合教材 “溯源” 部分，介绍《九章算术》中对无理数的记载，渗透数学文化。 2.实数的概念与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类探究：引导学生类比有理数的分类，构建实数的两种分类体系： ① 按定义分： ② 按正负分： 即时练习：判断下列数哪些是有理数，哪些是无理数：、、、、 三、突破难点：实数与数轴的对应关系（12 分钟） 1.思考 1：在数轴上表示 活动：用直径为 1 个单位长度的圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到达点，引导学生观察得出：点对应的数是，说明无理数可以用数轴上的点表示。 2.思考 2：在数轴上表示 活动：以单位长度为边长画正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴正半轴的交点表示，负半轴的交点表示，引导学生理解其原理（勾股定理：正方形对角线长为）。 3.总结结论：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。即实数与数轴上的点是一一对应的。 4.实数的大小比较：类比有理数，数轴上右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 四、课堂练习，巩固提升（5 分钟） 完成教材第 54 页练习 1、2 题： 1.判断题（重点辨析 “无限小数都是无理数”“无理数都是无限小数” 等易错点）； 2.在 0-10 的平方根与立方根中，区分有理数与无理数。 五、课堂小结，梳理脉络（2 分钟） 师生共同回顾： 1.无理数与实数的定义； 2.实数的两种分类方法； 3.实数与数轴的一一对应关系。 六、作业布置（1 分钟） 1.基础作业：教材习题 8.3 第 1、2 题； 2.拓展作业：收集生活中无理数的实例，下节课分享。 【板书设计】 8.3 实数及其简单运算（第1课时） 一、有理数的小数形式 有限小数/无限循环小数 → 有理数 二、无理数的定义：无限不循环小数 常见类型：开方开不尽的数、含π的数、无限不循环小数 三、实数的概念：有理数+无理数 分类：①按定义分 ②按正负分 四、实数与数轴：一一对应 数轴上右边的数 > 左边的数 第 2 课时 实数的相反数、绝对值及实数的简单运算 【教材分析】 本节课在实数概念的基础上，类比有理数的相反数、绝对值的意义，将其推广到实数范围，同时探究实数的运算法则与运算性质。教材通过 “思考 — 例题 — 练习” 的编排，先回顾有理数的相反数、绝对值，再迁移到实数，最后通过实例说明实数的运算律同样适用，并介绍无理数的近似计算方法，为后续二次根式的运算奠定基础。 【素养目标】 1.数学运算：掌握实数的相反数、绝对值的求法，能运用运算律进行实数的简单运算及近似计算。 2.类比推理：通过类比有理数的性质与运算，推理出实数的相反数、绝对值的意义及运算律，发展类比推理能力。 3.数感与运算能力：通过实数的近似计算，培养学生的估算能力与运算精度意识。 【教学重难点】 重点：实数的相反数、绝对值的意义，实数的简单运算。 难点：实数运算律的应用，无理数的近似计算。 【教学准备】 多媒体课件、计算器 【教学过程】 一、复习回顾，类比导入（5 分钟） 1.回顾旧知：提问 “有理数的相反数、绝对值的意义是什么？有理数有哪些运算律？”，引导学生回忆： 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是； 绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0； 运算律：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律。 2.提出问题：“这些性质和运算律在实数范围内还适用吗？”，引出课题。 二、探究新知，迁移拓展（15 分钟） 1.实数的相反数与绝对值 思考 1：完成教材第 55 页 “思考” 题： ① 的相反数是 ，的相反数是 ，0 的相反数是 ； ② ，， 。 总结结论：有理数关于相反数和绝对值的意义同样适用于实数： 数的相反数是（为任意实数）； 正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0，即 例题讲解：教材例 1，分别求、的相反数，指出、分别是什么数的相反数，求的绝对值，已知一个数的绝对值是，求这个数。 2.实数的运算 回顾运算：实数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为 0）、乘方运算，正数及 0 可以开平方，任意实数可以开立方。 运算律迁移：有理数的运算法则及运算性质（交换律、结合律、分配律）在实数范围内同样适用。 例题讲解：教材例 2，计算和，引导学生运用加法结合律和分配律简化运算。 三、难点突破：实数的近似计算（10 分钟） 1.方法讲解：当遇到无理数且需要求近似值时，先用近似有限小数（比要求的精确度多取一位）代替无理数，再进行计算，最后四舍五入。 2.例题讲解：教材例 3，计算（结果保留两位小数）和（结果保留两位小数），示范近似计算的步骤： ，，则； ，，则。 3.补充 “去尾法”：介绍近似计算的另一种方法，即直接舍去要保留数位的下一位数字，再四舍五入。 四、课堂练习，巩固提升（7 分钟） 完成教材第 56 页练习 1、2、3 题： 1.求、、等数的相反数与绝对值； 2.计算、； 3.近似计算、（结果保留两位小数）。 五、课堂小结，梳理脉络（2 分钟） 师生共同回顾： 1.实数的相反数、绝对值的意义； 2.实数的运算律及简单运算； 3.实数近似计算的方法。 六、作业布置（1 分钟） 1.基础作业：教材习题 8.3 第 3、4、5 题； 2.提升作业：教材习题 8.3 第 6、7、8 题； 3.拓展作业：用计算器探究的近似值，尝试计算的近似值（保留三位小数）。 【板书设计】 8.3 实数及其简单运算（第2课时） 一、实数的相反数与绝对值 相反数：a的相反数是 -a 绝对值：|a| = {a (a>0), 0 (a=0), -a (a<0)} 二、实数的运算 运算律：交换律、结合律、分配律（与有理数相同） 近似计算：多取一位，再四舍五入 例1：相反数、绝对值的计算 例2：实数的加减运算 例3：近似计算 习题 8.3 参考答案 复习巩固 1.有理数：、、、；无理数：、、。 2.数轴表示略，大小关系：。 3.绝对值：，，，，。 4.近似计算： (1) ； (2) 。 5.计算： (1) ； (2) 。 综合运用 6.(1) 有最小的正整数，是 1；没有最小的整数； (2) 没有最小的有理数；没有最小的无理数； (3) 没有最小的正实数；没有最小的实数。 7.(1) 小于的正整数：1,2,3,4,5,6； (2) 大于且小于的整数：-3,-2,-1,0,1,2,3； (3) 绝对值小于的整数：-2,-1,0,1,2。 8.(1) 长方形的长为，宽为，周长为； (2) 阴影部分面积和为。 拓广探索 9.这个数是无理数，因为它是无限不循环小数，符合无理数的定义。 学科网（北京）股份有限公司 $