《8.3.1 实数的有关概念》教学设计2025-2026学年人教版数学七年级下册

《8.3.1 实数的有关概念》教学设计 编写教师：曹丽娟 单位：天津市蓟州区盘山初级中学 学科： 初中数学 年级册：七年级下册 课时安排：1课时 本课安排：第1课时 1、 教材分析 本节课为人教版数学七年级下册第八章《实数》第三节实数及其简单运算第一课时实数的有关概念。 学生刚进入初中就学习了有理数，在前两节又知道许多正有理数的平方根是无限不循环小数，对无限不循环小数有了一定的认识。在此基础上，本节先将有理数与有限小数、无限循环小数统一起来，再采用与有理数对照的方式引人无理数，揭示有理数、无理数的联系与区别。 随着无理数的引人，数的范围由有理数扩充到实数，为学生后续学习平面直角坐标系、不等式、勾股定理、二次根式、函数等内容奠定了基础。 二、学情分析 新课标中提出，义务教育阶段的数学课程，要从数学本身的特点出发，从学生学习数学的心理规律和学生已有的知识经验出发，让学生经历一个实践、思考、探索、交流、解释、应用的学习过程，本节课就在这个思想的指导下设计的。 无理数是从现实世界中抽象出来的一种数，其严格的定义较为复杂，初中生对无理数往往缺乏直观的理解，甚至会怀疑这类数的真实存在性。 尽管用无限不循环小数来定义无理数，可以从形式上帮助学生识别无理数，但这并不能让他们深刻理解无理数与有理数之间的本质区别。此外，仅通过一些典型几何构造实例，让学生了解无理数可以用数轴上的点表示，他们通常不能理解其中的道理。“实数与数轴上的点一一对应”是让学生直接接受的结论，但他们可能对此感到疑惑。基于以上分析，可以确定本节课的教学难点是:对无理数的认识。 三、教学目标 1. 了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。 2. 能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。 四、教学重难点 1.重点：（1）了解无理数、实数的概念。 （2）了解实数和数轴上的点一一对应。 2.难点：对无理数的认识。 五、教学思路 为了帮助学生理解相关结论，教学时应注重直观体验，给学生充足的时间去观察、思考、探索、交流，从感性的角度认识抽象的无理数概念。通过"问题驱动-历史渗透-操作验证"三重路径突破抽象概念，借助数形结合强化理解，培养数学抽象与逻辑推理核心素养。因此，本节课安排了五个教学环节： （1） 复习旧知，引出新知： 本环节以回顾有理数概念及分类、无限不循环小数相关知识作为开场，让学生快速进入数学学习状态，唤起已有知识经验，为新知识的学习做好铺垫，自然引出实数概念及分类的探究。 （2） 互动探究，构建概念： 引导学生将有理数写成小数形式，得出有理数与有限小数、无限循环小数的关系，对比发现无限不循环小数的独特性，从而引入无理数概念。通过展示常见无理数形式，如开方开不尽的数、含π的式子、特殊不循环小数等，加深对无理数的理解，进而归纳出实数概念，组织学生对实数进行分类练习，强化概念理解。 （3） 深入探究，突破难点： 借助圆滚动对应数轴上的π和以单位正方形对角线长在数轴上表示无理数的实例，直观展示无理数在数轴上的表示方法，引导学生理解实数与数轴上的点一一对应关系。类比有理数大小比较方法，让学生猜想并总结实数大小比较方法，通过实例和练习加深理解，突破教学难点。 （4） 应用拓展，巩固提升： 通过当堂小测，对实数概念、分类、与数轴的关系以及大小比较等基础知识进行全面考查，及时反馈学生学习情况。引入中考真题及变式，让学生熟悉中考题型，掌握估算无理数大小等解题技巧。设置开放性题型和实际问题，培养学生创新思维和运用数学知识解决实际问题的能力。 （5） 课堂小结，作业巩固： 师生共同回顾本节课核心内容，包括无理数、实数概念、分类、与数轴关系及大小比较方法，强化学生记忆。通过提问思想方法和学习收获，引导学生反思学习过程，培养总结归纳能力。布置分层作业，基础作业巩固基础知识，提高作业提升运算和估算能力，项目作业锻炼学生综合实践与团队协作能力，深化对实数知识的理解和应用。 六、教学过程 （一）复习旧知 ，引出新知 师： _____和_____统称为有理数 有理数还可以分为_____、_____和_____（选代表回答） 师：在前面的学习中，我们通过引入一类新的数——负数，使数的范围扩充到了有理数，本章我们认识了像 ，它们是有理数吗？ 带着这个疑问，让我们一起去探索一类新的数。 （板书课题：8.3.1实数的有关概念） （二）互动探究 ，构建概念 探究一： 实数的概念及分类 问题1：把下列有理数写成小数的形式，你发现了什么？ 即4=4.0， （整数可以写成小数点后为0的小数） 发现：上面的有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式 追问：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式吗？ 任何有限小数或无限循环小数都是有理数吗？ 师生共同总结：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，任何有限小数或无限循环小数都是有理数 师：我们发现有理数可以分成整数和分数即都能写成有限小数或无限循环小数，那么，我们学过的数是不是都这样呢？ 问题2：观察下列各数，你发现了什么？ ≈ 1.4142135624 … π≈3.141592653589793238426… 师：它们都是无限不循环小数 师：无理数是不能写成两个整数之比（分数）的数。 师：像有理数一样，无理数也有正负之分.例如 是正无理数， 是负无理数. 即它们都是无限不循环小数。 （板书：1.无理数的概念：无限不循环小数叫作无理数） 师：让同学们观看小视频，欣赏无理数的魅力。 师：试将下列各数填入相应的括号内： 有理数集合：｛ ｝ 无理数集合：｛ ｝ 师：让学生小组讨论，共同思考1：常见的无理数的形式有哪些？ 常见的无理数的形式有： ①开方开不尽的数，如等； ②π及含π的式子，如π，2+π等； ③结构特殊且不循环的小数，如1.212212 221…（相邻的两个1之间依次多一个2）等。 师：思考2让学生找到有理数与无理数的区别并填表 二者的联系：有理数和无理数统称为实数。 （板书：2.实数的概念：有理数和无理数统称实数。） 师：思考3仿照有理数的分类，你能对实数进行分类吗？ (学生按照概念和性质分好类后，师总结如下) 师：实数分类的原则是：分类可以有不同的方法，但要按照同一标准，不重不漏. 例：把下列各数填在相应的集合内： 有理数集合：｛ …｝ 无理数集合：｛ …｝ 整数集合： ｛ …｝ 分数集合： ｛ …｝ 正实数集合：｛ …｝ 负实数集合：｛ …｝ （三）深入探究 ，突破难点 探究二：实数与数轴上的点的对应关系 师：我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示.无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？ 师：出示思考1：如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点从原点到达点O′，则数轴上表示点O′对应的数是多少？ 师：从图中可以看出，OO′的长是这个圆的周长π，所以点O′对应的数是π.拓展推广到和圆周率有关的数值都可以在数轴上表示出来 师：出示思考2：你能在数轴上表示出吗？ （1）把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，得到一个大正方形，大正方形的边长为____，从而说明边长为1的小正方形的对角线为_____. （学生通过小组合作，展示剪拼结果） 追问： （2）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就表示.为什么？ 教师引导学生总结：当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.因此，实数与数轴上的点是一一对应的. （板书：4.实数与数轴上的点是一一对应的.） 例 ：如图，数轴上A,B两点表示的数分别为和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有（ C ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 师：下面我们继续探究 探究三： 实数的大小比较 师：出示问题（1）在数轴上标出所对应点的大致位置 师：出示问题（2）在数轴上比较的大小 追问：你能总结出两个实数比较大小的方法吗？ 与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大. 负实数 ＜ 零 ＜ 正实数 用数轴比较实数的方法只是其中一种（更直观），实际上，有理数的大小比较的法则对于实数同样适用：(1)正数大于0，负数小于0，正数大于负数；(2)两个正数，绝对值大的较大；(3)两个负数，绝对值大的反而小. 师：我们学习了这么多有关实数的知识，现在就来检验一下大家掌握得怎么样。做几道练习题，看谁又快又准！ （四）应用拓展 ，巩固提升 1.下列说法正确的是（ ） A.a 一定是正实数 B.是有理数 C.是有理数 D.数轴上任一点都对应一个有理数 （学生代表回答，并说出其他选项的错误原因） 2.判断快枪手——看谁最快最准！ （1）实数不是有理数就是无理数. （ ） （2）无理数都是无限不循环小数. （ ） （4）无理数都是无限小数. （ ） （3）带根号的数都是无理数. （ ） （5）无理数一定都带根号. （ ） （学生代表回答，并举出错误选项的反例） 3. 把下列各数填入相应的括号内： （1）有理数： { ｝ （2）无理数： { ｝ （3）整数： { ｝ （4）负数： { ｝ （5）分数： { ｝ （6）实数： { ｝ （学生代表回答） 4.（链接中考）估计 的值在（ ） A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 变式：的整数部分（ ）是小数部分是（ ） （引入中考真题及变式，让学生熟悉中考题型，掌握估算无理数大小等解题技巧。） 5. （开放性题型）有一个数值转换器，原理如下，当输x=81时，输出的y是 （ ） ( 输入 x 取算术平方根 输出 x 是无理数 ) A.9 B.3 C. D.±3 变式：若输入有效x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的的值，并说明理由。 6.（解决问题）观察下图，每个小正方形的边长均为1. (1) 图中阴影部分(正方形)的面积是多少？ 他的边长是多少？ (2) 阴影部分(正方形)的边长在哪两个整数之间？ (设置开放性题型和实际问题，培养学生创新思维和运用数学知识解决实际问题的能力。) 师：这些题目大家完成得都不错。这节课接近尾声了，大家回顾一下，这节课都学到了什么呢？ （学生回答后总结） （五）课堂小结 ，作业巩固 师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.什么是无理数？什么是实数？实数怎么分类？ （板书：3.实数的分类：具体分类用提前打印好的内容粘贴到黑板） 2.数轴上的点与实数有怎样的对应关系？实数如何比较大小？ 3.你学到哪些思想方法？你还有其他收获吗？ 师：下面请大家欣赏小视频： 思考你从科学家身上学到了哪些精神? 七、板书设计 8.3.1实数的有关概念 1.无理数的概念：无限不循环小数又叫作无理数。 2.实数的概念：有理数和无理数统称实数。 3.实数的分类： ( 按概念分类 按性质分类 实数 有理数 无理数 正有理数 0 负有理数 正无理数 负无理数 有限小数或 无限循环小数 无限不循环小数 正实数 0 正有理数 正无理数 负实数 负有理数 负无理数 实数 ) 4.实数与数轴上的点是一一对应的。 八、作业建议 1.基础作业：课本P57第1，2题 2.提高作业：如已知圆形花坛半径为 米，求其周长（并估计周长的范围）和面积。 3.项目作业:分组制作关于实数的科普手抄报，在班级展示。 8 学科网（北京）股份有限公司 $