初中数学人教版（2024）七年级下册

8.2 立方根

课标分析

根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求，立方根的教学应注重概念形成过程与运算能力的培养。课标强调通过具体实例（如）引导学生理解立方根的定义，建立开立方与立方的互逆关系认知（）。要求掌握正数、负数和零的立方根特征（、、），并能用符号规范表示。探究活动设计需体现从特殊（具体数值）到一般（字母表示）的思维发展过程，同时强化立方根与平方根的对比辨析，突出根指数"3"不可省略的书写规范，发展学生的符号意识和运算能力。

教材分析

本节课通过具体实例引入立方根的概念，借助立方与开立方的互逆关系，帮助学生理解并掌握立方根的定义、性质及表示方法，进而归纳出正数、负数和0的立方根的特征，并规范使用表示一个数的立方根，强调根指数3不能省略。教学过程以问题驱动、探究归纳为主线，引导学生经历观察、计算、推理的过程，逐步形成对立方根的完整认识。本节内容与前面所学的平方根在概念上具有类比性，但又因立方运算对负数的开放性而有所区别，是学生进一步理解“开方运算”的重要组成部分。本节课不仅发展了学生的数感与符号意识，也为后续学习实数、二次根式、函数及高次方程等知识奠定基础，同时提升学生归纳概括与抽象思维的能力。

学情分析

七年级学生已学习平方根的概念及开平方运算，了解了逆运算的基本思想，掌握了简单数的平方与开方关系，具备初步的代数思维能力，为学习立方根奠定了知识基础，同时该阶段学生正处于具体运算向抽象逻辑思维过渡的时期，能够通过观察、归纳发现规律，但对负数的方根性质理解仍较薄弱，本节课要求学生理解立方根的概念，掌握正数、负数和0的立方根的特征，能正确使用记号表示立方根，并利用立方与开立方的互逆关系求解简单数的立方根，帮助学生完善对方根体系的认识，发展逆向思维和符号意识，为进一步学习实数系统及函数关系打下基础。

 

教学目标

1. 理解立方根的概念，掌握立方根的表示方法及根指数不能省略的规定，通过探究具体数值的立方根，发展符号意识和数学表达能力，提升抽象思维与运算能力。
2. 明确开立方与立方互为逆运算，能利用这种关系求简单数的立方根，增强逆向思维能力，培养逻辑推理和数学运算核心素养。
3. 通过归纳正数、负数和0的立方根特征，理解立方根的唯一性与符号规律，形成分类讨论意识，提高观察、归纳与概括能力，发展数感与推理能力。

重点难点

重点：理解立方根的概念，掌握立方根的性质，会用符号表示立方根并求值。

难点：理解开立方与立方的互逆关系及立方根性质的探究。

课前任务

1.知识回顾：
上节课学习了平方根，什么是平方根？开平方与平方有何关系？请举例说明，以此巩固对平方根概念及相关运算的理解。
2.预习教材：
阅读教材中立方根部分内容，了解立方根的定义、开立方的概念。记录立方根的表示方法“”，以及正数、负数、0立方根的特点，对不理解处做好标记。
3.问题思考：
已知，根据预习，思考的值是多少？类比平方根，立方根有哪些特殊性质？课上一起探讨。

课堂导入

同学们，我们先来看一个有趣的问题。有一个正方体的容器，它的体积是27立方厘米，大家想一想，这个正方体容器的棱长应该是多少呢？我们知道正方体体积公式是（表示体积，表示棱长），现在，那是多少呢？因为，所以这个正方体棱长是3厘米。那要是体积变成64立方厘米、125立方厘米呢？像这种已知一个数的立方，求这个数的问题，就涉及到我们今天要学习的立方根知识。让我们一起开启这趟探索立方根的旅程吧！

立方根

探究新知

（一）知识精讲

同学们，让我们一起来探索立方根的概念。观察下面的例子：如果一个数的立方等于8，那么这个数是多少呢？通过计算我们知道，所以这个数是2。而且我们发现，除了2以外，其他任何数的立方都不会等于8。这说明8的立方根是唯一的。

一般地，如果一个数的立方等于，即满足，那么这个数就叫做的立方根（或三次方根）。例如，2就是8的立方根。求一个数的立方根的运算，我们称之为开立方运算。

这里要特别注意，开立方运算与立方运算互为逆运算。我们可以利用这种互逆关系来求一个数的立方根。比如：

• 因为，所以1的立方根是1；
• 因为，所以0.064的立方根是0.4；
• 因为，所以-8的立方根是-2；
• 因为，所以的立方根是-0.5；
• 因为，所以0的立方根是0。

通过观察这些例子，我们可以归纳出立方根的重要性质：

1. 正数的立方根是正数；
2. 负数的立方根是负数；
3. 0的立方根是0。

在数学表达中，我们用符号来表示的立方根，读作"三次根号"。其中是被开方数，3是根指数。例如：

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（二）师生互动

教师提问：同学们，我们已经知道8的立方根是2，那么-8的立方根是多少呢？为什么？

学生回答：-8的立方根是-2，因为。

教师追问：很好！那如果我问等于多少呢？你能解释一下为什么吗？