数列求和课件-2027届高三数学一轮复习

数列求和 知 识 梳 理 知识点一　公式法求和 1．如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式． 3．等比数列的前n项和公式： 知识点二　分组求和法 一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．如若一个数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，则可用分组求和法求其前n项和． 知识点三　倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等且等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的． 知识点四　错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的． 知识点五　裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 知识点六　并项求和法 在一个数列的前n项和中，可两两合并求解，则称之为并项求和．如{an}是等差数列，求数列{(－1)nan}的前n项和，可用并项求和法求解． 形如an＝(－1)nf(n)类型，可考虑采用两项合并求解． 归 纳 拓 展 常见的裂项公式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 (2)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin287°＋sin288°＋sin289°可用倒序相加求和．(　　) (3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(　　) 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 A．2 023 B．2 024 C．2 025 D．2 026 [答案]　C 题组二　走进教材 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 题组三　走向考场 4．(2024·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，且4Sn＝3an＋4. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝(－1)n－1nan，求数列{bn}的前n项和为Tn. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 分组求和与并项求和——自主练透 设{an}是递增的等差数列，{bn}是等比数列，已知a1＝1，b1＝4，b2＝2a4，b3＝8a2. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)设dn＝(－1)n(an＋3an)，求数列{dn}的前2n项和S2n. [解析]　(1)设{an}的公差为d(d>0)， {bn}的公比为q(q≠0)， 由a1＝1，b1＝4，b2＝2a4得b1q＝2(a1＋3d)，即4q＝6d＋2， 又因为b3＝8a2，所以b1q2＝8(a1＋d)， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 (2)由(1)可得dn＝(－1)n(n＋3n)， 所以S2n＝d1＋d2＋d3＋d4＋…＋d2n－1＋d2n ＝－(1＋31)＋(2＋32)－(3＋33)＋(4＋34)－…－(2n－1＋32n－1)＋(2n＋32n) ＝(1＋32－31)＋(1＋34－33)＋…＋(1＋32n－32n－1) ＝(1＋2×31)＋(1＋2×33)＋…＋(1＋2×32n－1) ＝n＋2×(31＋33＋…＋32n－1) 名师点拨：分组求和法与并项求和法的应用策略 错位相减法——师生共研 [解析]　(1)因为2Sn＝nan， 当n＝1时，2a1＝a1，即a1＝0； 当n＝3时，2(1＋a3)＝3a3，即a3＝2， 当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－1， 记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1,2Sn＝nan. (1)求{an}的通项公式； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 名师点拨：用错位相减法解决数列求和的模板 第一步：(判断结构)若数列{an·bn}是由等差数列{an}与等比数列{bn}(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和． 第二步：(乘公比)设{an·bn}的前n项和为Tn，然后两边同乘以q. 第三步：(错位相减)乘以公比q后，向后错开一位，使含有qk(k∈N*)的项对齐，然后两边同时作差． 第四步：(求和)将作差后的结果求和化简，从而表示出Tn. 用错位相减法求和应注意的问题 1．如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法． 2．在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． 3．“Sn－qSn”化简的关键是化为等比数列求和，一定要明确求和的是n项还是(n－1)项，一般是(n－1)项． 4．在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论求解． 【变式训练】 (2025·湖北模拟预测)在公差不为0的等差数列{an}中，a1＝1，且a5是a2与a14的等比中项． (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝2an，cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Sn. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 裂项相消法——师生共研 (2026·江苏泰州期初调研)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a1＋a2＝b3,15a1＋a9＝b6. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 名师点拨： 裂项相消法求和在历年高考中曾多次出现，命题角度凸显灵活多变．在解题中，要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列{an}的通项公式，达到求解的目的． 2．与不等式相结合考查裂项相消法求和．解决此类问题应分两步：第一步，求和；第二步，利用作差法、放缩法、单调性等证明不等式． 1．直接考查裂项相消法求和．解决此类问题应注意以下两点： (1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项； 【变式训练】 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 数列的求和——倒序相加法 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 名师点拨：倒序相加法应用的条件 与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和相加的方法求解． 【变式训练】 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 n2＋n 2．等差数列的前n项和公式：Sn＝＝______________＝______________. na1＋d Sn＝ 注意等比数列公比q的取值情况，要分q＝1，q≠1. (1)＝－； (2)＝； (3)＝； (4)＝； (5)＝－； ＝(－)； (6)＝； (7)＝－. (1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和为Sn＝.(　　) (4)当n≥2时，＝.(　　) (5)求数列的前n项和可用分组求和．(　　) [解析]　(1)因为数列{an}为等比数列，且公比不等于1.则其前n项和为Sn＝＝＝. (2)因为sin21°＋sin289°＝sin22°＋sin288°＝sin23°＋sin287°＝sin244°＋sin246°＝2sin245°＝1，所以sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin287°＋sin288°＋sin289°可用倒序相加求和． (3)要分a＝0或a＝1或a≠0且a≠1讨论求解． (4)因为＝·＝. 2．(选择性必修2P51T2改编)在数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为，则项数n＝(　　) [解析]　an＝＝－， ∴Sn＝1－＋－＋…＋－ ＝1－＝＝， ∴n＝2 025.故选C. 3．(选择性必修2P40T3改编)Sn＝＋＋＋…＋等于(　　) A． B． C． D． [解析]　解法一：由Sn＝＋＋＋…＋① 得Sn＝＋＋…＋＋② ①－②得， Sn＝＋＋＋…＋－， ＝－，∴Sn＝. 解法二：此类问题可先考虑排除法，令n＝1即得B正确．故选B. [解析]　(1)当n＝1时，4S1＝4a1＝3a1＋4， 解得a1＝4. 当n≥2时，4Sn－1＝3an－1＋4， 所以4Sn－4Sn－1＝4an＝3an－3an－1即an＝－3an－1， 而a1＝4≠0，故an≠0，故＝－3， ∴数列{an}是以4为首项，－3为公比的等比数列， 所以an＝4·(－3)n－1. (2)bn＝(－1)n－1·n·4·(－3)n－1＝4n·3n－1， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝4·30＋8·31＋12·32＋…＋4n·3n－1， 故3Tn＝4·31＋8·32＋12·33＋…＋4n·3n， 所以－2Tn＝4＋4·31＋4·32＋…＋4·3n－1－4n·3n ＝4＋4·－4n·3n ＝4＋2·3·(3n－1－1)－4n·3n ＝(2－4n)·3n－2， ∴Tn＝(2n－1)·3n＋1. 即4q2＝8d＋8，联立 解得(舍去)或 所以an＝a1＋(n－1)d＝n，bn＝b1qn－1＝2n＋1. ＝n＋2× ＝(9n－1)＋n. 一般地，如果{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an±bn}或cn＝的前n项和Sn时，可采用分组求和法求解．如果cn＝(－1)nan，求{cn}的前n项和时，可采用并项求和法求解. (2)求数列的前n项和Tn. 所以2Sn－2Sn－1＝nan－(n－1)an－1＝2an， 化简得(n－2)an＝(n－1)an－1， 则当n≥3时， ＝，则··…·＝··…·，即＝n－1， 因为a2＝1，所以an＝n－1， 当n＝1,2时都满足上式，所以an＝n－1，n∈N*. (2)令bn＝＝， 则Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn ＝＋＋…＋＋，① Tn＝＋＋…＋＋，② 由①－②得Tn＝＋＋＋…＋－ ＝－ ＝1－， 即Tn＝2－. [解析]　(1)设{an}的公差为d(d≠0)， 因为a5是a2与a14的等比中项， 所以a＝a2a14，即(a1＋4d)2＝(a1＋d)(a1＋13d)， 整理得d2＝2a1d. 又a1＝1，d≠0，所以d＝2， 则an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. (2)由(1)可得bn＝2an＝22n－1，cn＝anbn＝(2n－1)·22n－1， 则Sn＝1×21＋3×23＋5×25＋…＋(2n－1)·22n－1①， 4Sn＝1×23＋3×25＋5×27＋…＋(2n－1)·22n＋1②， ①－②得－3Sn＝2＋2×(23＋25＋…＋22n－1)－(2n－1)·22n＋1 ＝2＋2×－(2n－1)·22n＋1＝－－·22n＋1 则Sn＝·22n＋1＋. (2)记cn＝log2bn＋1，求数列的前n项和Sn. [解析]　(1)设{an}公差为d，{bn}公比为q， 则解得q＝2，d＝2； ∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1，bn＝2n－1. (2)∵cn＝log22n＝n， ∴＝＝ ＝＋. ∴Sn＝n＋ ＝n＋＝＋＝. (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}是等差数列，则＝，＝. (2025·山西阳泉三模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2，则数列的前100项和T100＝________________. [答案]　－ [解析]　因为Sn＝2an－2，所以Sn－1＝2an－1－2，n≥2，故n≥2时，两式相减得，an＝2an－2an－1，即an＝2an－1，n≥2，因为S1＝2a1－2，即a1＝2，所以数列{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以an＝2n，＝＝＝2，T100＝2＝2＝ －. [答案]　 (2025·浙江开学考试)已知函数f(x)满足f(x)＝f(1－x)，f′(x)为f(x)的导函数，g(x)＝f′(x)＋，x∈R.若an＝g，则数列{an}的前2 023项和为________. [解析]　由题意知f(x)＝f(1－x)，所以f′(x)＝－f′(1－x)，即f′(x)＋f′(1－x)＝0，又因为g(x)＝f′(x)＋，所以g(x)＋g(1－x)＝f′(x)＋f′(1－x)＋＝，所以a1＋a2＋a3＋…＋a2 023＝g＋g＋g＋…＋g　①，a1＋a2＋a3＋…＋a2 023＝g＋g＋g＋…＋g　②，将①②两式相加可得：a1＋a2＋a3＋…＋a2 023＝＝. 设f(x)＝，则f＋f＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)＝________. [答案]　 [解析]　∵f(x)＝，∴f(x)＋f＝1. 令S＝f＋f＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)．① 则S＝f(2 022)＋f(2 021)＋…＋f(1)＋f＋…＋f.② ∴2S＝4 043，∴S＝. $