数列求和 课件-2027届高三数学一轮复习

数列求和 课 标 要 求 1 1.分组求和法 一个数列的通项是由__________________________的数列的通项组 成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加、减. 若干个等差或等比或可求和 2.倒序相加法与并项求和法 （1）倒序相加法 如果一个数列 中，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于 ____________，那么求这个数列的前 项和即可用倒序相加法. 同一个常数 课 前 基 础 巩 固 2 （2）并项求和法 数列 满足彼此相邻的若干项的和为特殊数列时，运用________ 求其前项和.如通项公式形如 的数列. 并项法 3.裂项相消法 把数列的通项拆成__________，在求和时中间的一些项可以相互抵 消，从而求得其和. 两项之差 4.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项之 ____构成的，那么求这个数列的前 项和时即可用错位相减法. 积 课 前 基 础 巩 固 3 常用结论 1.常用的求和公式 （1） . （2） . （3） . （4） . 课 前 基 础 巩 固 4 2.常用的裂项公式 （1） . （2） . （3） . （4） . （5） . 课 前 基 础 巩 固 5 题组一 常识题 1.［教材改编］已知数列的前项和为，若 , ,则 _____. 190 [解析] 由题意 . 课 前 基 础 巩 固 6 2.［教材改编］若数列满足,则的前 项和为____. [解析] 由题得, 所以的前 项和为 . 课 前 基 础 巩 固 7 3.［教材改编］ _________. [解析] 设 ， 则 ， 两式相减得， 所以 . 课 前 基 础 巩 固 8 题组二 常错题 ◆ 索引：利用分组（或并项）求和法求和时不能准确分组或不分奇 数项与偶数项致错;利用错位相减法求和时出现符号错误或不能准确 “错项对齐”致错. 4.数列 的前100项和等于_____. 100 [解析] 数列的前100项和等于 . 课 前 基 础 巩 固 9 5.数列的前项和 _ ____________________. [解析] 当时，； 当 时， ， 则， 由 得 ， 整理得，即 . 课 前 基 础 巩 固 10 综上可得， 课 前 基 础 巩 固 11 分组转化法求和 例1 [2025· 新课标Ⅱ卷] 已知 为等差数列， 记，分别为数列，的前 项和， ， . 课 堂 考 点 探 究 12 （1）求 的通项公式； ［思路点拨］根据已知条件，结合等差数列的性质，以及等差数列 的前 项和公式，即可求解； 解：设数列的公差为 ， ， ， 又 ，即，， ， . 课 堂 考 点 探 究 13 （2）证明：当时， . ［思路点拨］根据已知条件，求出， ，再结合作差法，并分类 讨论，即可求证. 证明：由（1）可得 . 当 为偶数时， ， 课 堂 考 点 探 究 14 当 时， ，即 ； 当 为奇数时， ， 当 时，，即 . 综上，当时， . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] （1）分组转化法求和 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项 变形，转化为等差数列或等比数列或可求前 项和的数列求和. （2）分组转化法求和的常见类型主要有：分段型 （如 ），周期型 . 课 堂 考 点 探 究 16 变式题（1）[2025·天津卷]数列的前项和为 ，则 的前12项和为( ) A.112 B.48 C.80 D.64 √ 课 堂 考 点 探 究 17 [解析] 因为，所以当 时， ， 当 时， ， 经检验，满足上式，所以 . 令，可得，令，可得 ， 设数列的前项和为，则 ， 所以 .故选C. 课 堂 考 点 探 究 18 （2）已知等比数列的各项均为正数，且 ， . ①求 的通项公式； 解：设等比数列的公比为，则 ， 即，所以， 所以，解得 ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 19 ②若，求数列的前项和 . 解：由①得 ，则， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 20 错位相减法求和 例2 [2024·全国甲卷] 记为数列的前项和，已知 . （1）求 的通项公式； 解：在中取,得 ， 由得， , 即, , 是以4为首项，为公比的等比数列, . 课 堂 考 点 探 究 21 （2）设,求数列的前项和 . 解：由（1）知 ， 则 ， 则 ， 得 ， . 课 堂 考 点 探 究 22 [总结反思] （1）若数列的通项公式为,且数列 是等差数列,数 列是等比数列,则可采用错位相减法求数列的前 项和. （2）用错位相减法求和时,应注意两点:一是两边先同时乘等比数列 的公比再错位相减,错位相减后化简归纳为一个等比数列求和;二是在 写出“”与“ ”的表达式时,应将两式“错项对齐”,即将两式中指数 相同的两项对齐,以便下一步准确写出“ ”的表达式. 课 堂 考 点 探 究 23 变式题 [2025·湖南长沙模拟] 已知等比数列的前项和为 ，且 . （1）求与 ； 解：由，得 . 当时，，解得, 当 时，， 得 ，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 24 （2）记，求数列的前项和 . 解：由（1）可得 ，则， 则 ， 两式相减得 ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 25 裂项相消法求和 角度1 等差型，形如 例3 已知数列是公差不为0的等差数列，， . （1）求的通项公式及其前项和 ； ［思路点拨］直接利用等差数列的性质求出数列的通项公式，进而 可得前 项和公式； 解：设数列的公差为,由， ， 得，解得或 （舍去）， 所以， . 课 堂 考 点 探 究 26 （2）若，求数列 的通项公式. ［思路点拨］利用裂项相消法求出数列 的和. 解：因为，所以 ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 27 [总结反思] （1）数列的通项公式形如 时,可先转化为 ,再用裂项相消法求和.一般地,若 是公差为 的等差数列,则, . （2）裂项相消法求和的基本思路是变换通项公式,即把每一项分裂为 两项,裂项的目的是产生可以相互抵消的项.需要注意的是抵消后并不 一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项或 者前面剩几项,后面也剩几项. 课 堂 考 点 探 究 28 变式题 [2025·湖南部分学校联考] 已知数列的前项和为 ， ， . （1）求 的通项公式； 解：由，，可得 ， 解得 . 当时，由，可得 ， 两式相减可得，对也成立， 所以 是首项为8，公比为4的等比数列， 所以， . 课 堂 考 点 探 究 29 （2）若，求数列的前项和 . 解：因为 ， 所以 ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 30 角度2 无理型，形如 例4 [2025·四川成都模拟] 已知各项均为正数的数列的前 项和 为，且 . （1）求， ； ［思路点拨］利用已知条件，通过代入和 ，结合数列 的性质，逐步求解和 ； 课 堂 考 点 探 究 31 解：在 中，令，得 ， 因为，所以 . 在中，令，得 ， 即 ， 因为，所以 . 所以， . 课 堂 考 点 探 究 32 （2）证明： 是等差数列； ［思路点拨］通过递推关系，将用和 表示，代入原方程化 简，证明 的相邻项差为常数; 证明：当时，将 代入 ， 化简得 ， 即， 所以 是首项为1，公差为1的等差数列. 课 堂 考 点 探 究 33 （3）求数列的前项和 . ［思路点拨］利用（2）中结论，通过分母有理化简化求和过程. 解：由（2）可知，因为 是各项均为正数的数列， 所以，所以. 因为 ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 34 [总结反思] 当数列的通项公式形如 时,可转化为 ,此类数列适合使用裂项相消法求和. 课 堂 考 点 探 究 35 变式题（1）已知等差数列的前项和为，若， ， 则数列 的前99项和为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 [解析] 因为,所以， 又 , 所以,所以 , 所以 , 所以所求数列的前99项和为 .故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 36 （2）[2025·江苏泰州四模]已知等差数列 的公差大于0，且 ，若，则 ( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 37 [解析] 设等差数列的公差为， , , ， , ， , 解得, .故选B. 课 堂 考 点 探 究 38 角度3 指数型，形如 例5 [2025·山东德州模拟] 已知各项均为正数的数列的前 项和 为，，， . （1）求数列 的通项公式； ［思路点拨］由已知数列递推公式可得数列 是等差数列，且首 项为1，公差也为1，则其通项公式可求； 课 堂 考 点 探 究 39 解：， ， 当时， ， 两式相减得 ， 化简可得， 又 ，所以，即， ， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 40 （2）设，求数列的前项和 . ［思路点拨］把（1）中求得的通项公式代入 ，整理后 利用裂项相消法求数列的前项和 . 解：由（1）知，， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 41 [总结反思] 数列的通项公式形如 时，可先变形为 ，再用裂项相消法求和. 常见公式： . 课 堂 考 点 探 究 42 变式题 已知数列的前项和满足， . （1）证明：数列 为等比数列； 证明：，且 ， ， ， ， 易知， ， 数列 是首项为，公比为 的等比数列. 课 堂 考 点 探 究 （2）记，求数列的前项和 . 解：由（1）可得 ， ， ， ， . 课 堂 考 点 探 究 44 【备选理由】例1考查分组求和法. 例1 ［配例1使用］已知数列的前项和为，且 ， . （1）求数列 的通项公式； 解：因为 ，所以 . 当时， ，解得或 （舍去）； 当时， ， 所以 ， 即 ，即， 即 ， 教 师 备 用 习 题 45 又，所以 ， 即 ， 所以是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以 . 教 师 备 用 习 题 46 （2）求数列的前项和 . 解：由（1）可得 ， 所以 . 教 师 备 用 习 题 47 例2 ［配例2使用］[2025·江苏淮安、连云港调研] 已知等比数列 为递增数列，其前项和为，， . （1）求数列 的通项公式； 解：设等比数列的公比为 ， 由，，得 ，解得或 . 当时，； 当时， . 因为为递增数列，所以， ， 所以数列的通项公式为 . 【备选理由】例2考查通项公式及错位相减法求和. 教 师 备 用 习 题 48 （2）求 的值. 解：令 ， 由（1）知， ， 则 ， 所以 ， 两式相减得 ， 所以 . 教 师 备 用 习 题 49 例3 ［配例3使用］[2025·山东德州模拟] 已知数列的前 项和为 ，且满足 . （1）求数列 的通项公式； 【备选理由】例3考查裂项相消法求和. 教 师 备 用 习 题 50 解：因为，所以当 时， ，所以 ， 当时， ， 所以 ， 所以，， ，， ， 累乘得 ， 所以 ， 又符合上式，所以 . 教 师 备 用 习 题 51 （2）若，求数列的前100项和 . 解：由（1）得 ， 所以 . 教 师 备 用 习 题 52 例4 ［配例1使用］已知数列满足 ，数 列满足对任意正整数均有 成立. （1）求数列 的通项公式； 解：因为 ， 所以当时， ， 两式相减得，所以 ， 又符合上式，所以 . 【备选理由】例4考查等差、等比数列的综合及分组（并项）求和法. 教 师 备 用 习 题 53 （2）求数列 的前99项和. 解：由（1）知 . 因为对任意的正整数 ，均有 ， 所以数列 的前99项和为 . 教 师 备 用 习 题 54 $