精品解析：浙江杭州北斗联盟2025-2026学年第二学期高二期中联考数学试题

2025学年第二学期杭州北斗联盟期中联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 4. 已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于（ ） A. B. 2 C. D. 6 5. 已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知各项均为正数的等比数列，，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 若二项式展开式中的常数项为15，则的值（ ） A. B. C. 3 D. 9 8. 已知函数有两个不同的极值点，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 若实数满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 设抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过且垂直于的直线交准线于，则（ ） A. 准线方程为 B. C. D. 11. 如图所示，正方体的棱长为2，分别为的中点，点是正方形内的动点，下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 若平面，则点的轨迹长度为 C. 四棱锥的体积为3 D. 四棱锥的外接球的表面积为 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则___________． 13. 名男生、名女生站成一排，至少有名女生相邻的站法种数为___________（用数字作答）． 14. 已知分别是椭圆和双曲线的离心率，是它们的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）已知的面积为，求的周长． 16. 如图，在四棱锥中，为中点，，，，． （1）证明：平面； （2）若底面，求直线与平面的夹角正弦值． 17. 已知等差数列中，其前项和为，且，数列满足 （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 18. 已知椭圆离心率为是椭圆其中的一个顶点，直线与椭圆交于两点，是轴上的一点，直线分别与直线交于两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）当，求的取值范围； （3）是否存在实数，使得为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数有两个零点； （i）求的取值范围； （ii）已知，且恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期杭州北斗联盟期中联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合A，再求. 【详解】集合. 又，所以. 故选：A 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数的单调性，可得，进而可得充分性和必要性. 【详解】解：， 则“”是“” 的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，考查对数函数单调性的应用，是基础题. 3. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式和二倍角的余弦公式把要求的式子化简，运算求得结果 【详解】因为， 所以 故选： 4. 已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于（ ） A. B. 2 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据乘法运算法则，化简整理，结合纯虚数的定义，即可得答案. 【详解】复数， 因为是纯虚数，所以，解得. 5. 已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由题意求出圆的圆心到直线的距离，减半径得答案． 【详解】圆的圆心， 圆心到直线的距离, 故直线与圆相离． 的最小值为． 6. 已知各项均为正数的等比数列，，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列中项的性质，找到已知条件与所求式子之间的中项关系，即可整体求解 【详解】由，，有，又因为各项均为正数，所以， 故选：C 7. 若二项式展开式中的常数项为15，则的值（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对有：， 令，则，则有， 故，则（负值舍去）. 8. 已知函数有两个不同的极值点，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数的极值点对应导函数的零点，先求的导函数，将“有两个不同的极值点”转化为导函数等于有两个不同正实根. 通过构造单调函数简化超越方程，分离参数后研究新函数的单调性与值域，即可求解的取值范围. 【详解】∵ 函数的定义域为， 对求导得： ∵ 有两个不同的极值点， ∴ 在上有两个不同的实根，整理得： 令，则恒成立， ∴ 在单调递增， ∴ 等价于，即. 令，，求导得: ∵ 当时，；当时，， ∴ 在上单调递减，在上单调递增， ∴ 的最小值为. 又∵ 当时，；当时，， ∴ 要使有两个不同的实根，需满足， ∴ 解得，即的取值范围为. 故选：D. 【点睛】1. 方法归纳：处理含参数的函数零点/极值点个数问题时，优先选择分离参数法，将问题转化为常函数与新函数的交点个数问题，通过导数研究新函数的单调性与最值即可求解. 2. 技巧提示：对于结构对称的超越方程，可构造单调函数，利用单调函数的性质“”简化方程，降低计算难度. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 若实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由已知得，利用做差法逐项判断可得答案. 【详解】对于A，因为，所以，所以，即，故A正确； 对于B，因为，所以，所以，即，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，即，故C错误； 对于D，因为，所以，所以，即，故D正确. 故选：AD. 10. 设抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过且垂直于的直线交准线于，则（ ） A. 准线方程为 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据抛物线的性质、焦点弦公式、韦达定理等知识逐项计算判断即可. 【详解】由题意得，，准线方程为，所以A正确； 设直线的方程为，. 联立，得，即. 根据韦达定理. 由抛物线的焦点弦长公式，C正确； 因为，所以直线的斜率为，则直线的方程为. 令，可得，即. 点到直线的距离. 所以，所以D错误. 当时，轴，此时， 则，此时，所以B错误. 11. 如图所示，正方体的棱长为2，分别为的中点，点是正方形内的动点，下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 若平面，则点的轨迹长度为 C. 四棱锥的体积为3 D. 四棱锥的外接球的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量验证不成立即可判断A；取的中点，的中点，连接，求得点在线段上即可判断B；利用向量法求得点到平面的距离为，再计算四边形的面积即可求得体积，进而判断C；设四棱锥外接球球心坐标为，进而结合坐标法求得，再计算半径，求外接球的表面积即可判断D. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，， 对于A，，， 所以， 所以不成立，即不成立， 所以不垂直于平面内的线，故A选项错误； 对于B选项，取的中点，的中点，连接， 可得四边形是平行四边形， 所以平面，在平面外，所以平面, 同理可得，平面， 因为平面，所以平面平面， 因为点是正方形内的动点，若平面，则点在线段上， 所以点的轨迹长度，故B选项正确； 对于C选项，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令得，则， 所以点到平面的距离为， 因为， ， 所以四边形为等腰梯形 如图，过点作，垂足，则， 所以 所以四边形的面积为， 所以四棱锥的体积为，故C选项正确； 对于D选项，设四棱锥外接球球心坐标为， 则， 所以， 整理得：，解得，，即球心坐标为 所以四棱锥外接球球的半径为 ， 所以，四棱锥的外接球的表面积为，D选项正确. 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】借助向量坐标运算与垂直性质计算即可得. 【详解】，则， 整理得，故. 13. 名男生、名女生站成一排，至少有名女生相邻的站法种数为___________（用数字作答）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查排列组合中的插空、捆绑问题，先根据已知进行分类，然后对每一类进行求解，最后将各类结果相加，即可解决问题. 【详解】解：根据题意，分种情况： 情况1：当名女生相邻时 先排名男生，共有种； 先选名女生捆绑，共有种，名女生之间的排列有种； 然后将捆绑的名女生组和单独的名女生，插入个不同的空位中，共有种， 所以，名女生相邻的所有情况为种. 情况2：当名女生相邻时 将名女生当成一个整体，共有种； 名男生的排列，共有种，然后将女生的整体插入个不同的空位中，有种， 所以名女生相邻的所有情况为种. 因此，至少有名女生相邻的站法种数为种. 14. 已知分别是椭圆和双曲线的离心率，是它们的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆和双曲线的定义将几何条件转化为关于的代数关系，进而建立目标式与离心率的关系，最后利用柯西不等式求解最值. 【详解】 设椭圆的长半轴长为，半焦距为，根据椭圆的定义. 设双曲线的实半轴长为，半焦距为，根据双曲线的定义， 不妨设，则有. 联立得. 因为，所以根据勾股定理有， 化简得：，两边同除以可得：， 则根据柯西不等式得， 当且仅当 所以的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）已知的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，整理化简等式，根据和角公式，可得答案； （2）由余弦定理得：，由三角形面积公式得，从而得解. 【小问1详解】 由正弦定理得：． ， 由得， 又因为，解得； 【小问2详解】 由，得， 由余弦定理得：①． 又因为② 联立①②得：， 的周长． 16. 如图，在四棱锥中，为中点，，，，． （1）证明：平面； （2）若底面，求直线与平面的夹角正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据四棱锥的性质，结合已知条件，利用线面平行判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，进而求出平面法向量，利用向量夹角余弦公式求解． 【小问1详解】 取中点，连接， 在中，分别为的中点，为的中位线， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平面，平面， 平面． 【小问2详解】 在四边形中，作于于，如下图所示： ， 四边形为等腰梯形， ， 故， ， ， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 直线的方向向量为， 则， 设平面的法向量， 则有，令，则，即， 设直线与平面的夹角为， ， 即直线与平面的夹角正弦值为． 17. 已知等差数列中，其前项和为，且，数列满足 （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式和前项和公式求解数列的首项、公差，利用作差法求数列的通项公式； （2）利用错位相减法求数列的前项和． 【小问1详解】 已知为等差数列，且， ，解得： ， 当时，有， 两式相减得：， 当时，，满足， ． 【小问2详解】 由（1）知， 两式相减得： ， . 18. 已知椭圆离心率为是椭圆其中的一个顶点，直线与椭圆交于两点，是轴上的一点，直线分别与直线交于两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）当，求的取值范围； （3）是否存在实数，使得为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由离心率和顶点直接求得，从而得椭圆的标准方程； （2）设，联立直线与椭圆的方程，利用三角形面积公式，结合韦达定理将表示成的函数，利用换元法，根据基本不等式可得的取值范围； （3）写出直线的方程，联立，得的坐标，结合韦达定理，表示出，假为定值，求，有解即存在满足题意；无解即不存在满足题意. 【小问1详解】 ， 椭圆的标准方程为 【小问2详解】 设， 联立直线与椭圆的方程，得 . 易得，. 设 则 由对勾函数性质知. . 【小问3详解】 直线方程为：，联立 得： 同理可得：点 ， ． 由（2）知：， 要使为常数 需要，方程组无解 不存在实数，使得为定值． 19. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数有两个零点； （i）求的取值范围； （ii）已知，且恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）单调减区间为，单调增区间为； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调区间. （2）（i）由零点的意义分离参数并构造函数，再利用导数求出直线与函数图象有两个交点的范围；（ii）由（i）的信息建立方程组，结合已知变形含的不等式，再构造函数并利用导数求出不等式恒成立的范围. 【小问1详解】 当时，函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调减区间为，单调增区间为. 【小问2详解】 （i）由，得，则， 令函数，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 而，当时，，且时，，函数的图象如图， 函数有两个零点，即方程有两个解，亦即直线与函数的图象有两个交点， 由图象知，当且仅当，即时，直线与函数的图象有两个交点， 所以的取值范围为. （ii）由（i）知，， 则，两式相减得， 由，两边取对数得，即 则，于是， 即，令，则有， 即，而，则， 令函数，求导得， 由，得，当时，，由，得， 函数在上单调递减，因此，与对恒成立矛盾； 当时，恒成立，即恒有，函数在上单调递增，恒成立， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $