浙江杭州北斗联盟2025-2026学年第二学期高二期中联考数学试题

2025学年第二学期杭州北斗联盟期中联考

高二年级数学学科试题

考生须知：

1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．

4．考试结束后，只需上交答题纸．

选择题部分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．

1. 设集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 设，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 已知 ，则 （    ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于（   ）

A.  B. 2 C.  D. 6

5. 已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（   ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6. 已知各项均为正数的等比数列，，，则（    ）

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

7. 若二项式展开式中的常数项为15，则的值（   ）

A.  B.  C. 3 D. 9

8. 已知函数有两个不同的极值点，则的取值范围（   ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．

9. 若实数满足，则（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 设抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过且垂直于的直线交准线于，则（   ）

A. 准线方程为 B.

C.  D.

11. 如图所示，正方体的棱长为2，分别为的中点，点是正方形内的动点，下列说法正确的是（   ）

A. 平面

B. 若平面，则点的轨迹长度为

C. 四棱锥的体积为3

D. 四棱锥的外接球的表面积为

非选择题部分

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知向量，若，则___________．

13. 名男生、名女生站成一排，至少有名女生相邻的站法种数为___________（用数字作答）．

14. 已知分别是椭圆和双曲线的离心率，是它们的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则的最大值为___________．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 在中，内角所对的边分别为，且．

（1）求；

（2）已知的面积为，求的周长．

16. 如图，在四棱锥中，为中点，，，，．

（1）证明：平面；

（2）若底面，求直线与平面的夹角正弦值．

17. 已知等差数列中，其前项和为，且，数列满足

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和．

18. 已知椭圆离心率为是椭圆其中的一个顶点，直线与椭圆