专题07三元一次方程组、用二元一次方程组解决问题复习讲义（复习重点+核心题型+巩固提升）-2025-2026学年苏科版数学七年级下学期.

专题07三元一次方程组、用二元一次方程组 解决问题复习讲义 期中复习◆重点 1.掌握二元一次方程组的定义、解的判定方法，以及代入、加减两种消元法。 2.熟练运用二元一次方程组解决和差倍比、行程、工程等常见基础应用题。 3.掌握三元一次方程组的定义、消元解法，能运用其解决含三个未知量的基础应用题。 4.梳理两类方程组应用的解题规律与易错点，提升知识运用能力。 核心题型◆归纳 题型1三元一次方程组的定义及解 题型2三元一次方程组的应用 题型3根据实际问题列二元一次方程组 题型4根据几何图形列二元一次方程组 题型5方案问题（二元一次方程组的应用） 题型6行程问题（二元一次方程组的应用） 题型7工程问题（二元一次方程组的应用） 题型8数字问题（二元一次方程组的应用） 题型9年龄问题（二元一次方程组的应用） 题型10分配问题（二元一次方程组的应用） 题型11销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 题型12和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 题型13几何问题（二元一次方程组的应用） 题型14图表信息题（二元一次方程组的应用） 题型15古代问题（二元一次方程组的应用） 题型16其他问题（二元一次方程组的应用） 重点知识◆梳理 知识点01二元一次方程组 1.定义：由两个及以上含相同未知数的二元一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组； 2.使方程组中所有方程左右两边均相等的两个未知数的值，是方程组的解。 3.关键词：相同未知数、二元一次方程、解需满足所有方程。 知识点02三元一次方程组 1.定义：含有三个未知数，且含未知数的项的次数均为1，等号两边均为整式的三个方程组成的一组方程，叫做三元一次方程组。 2.关键词：三个未知数、次数为1、整式方程、三个方程（可含化简后为三元一次的方程）。 易错提醒：① 未知数个数必须为3；② 未知数的项的次数为1（无xy、x²等项）；③ 分母不含未知数（整式方程）。 3.核心思想与解法 （1）核心思想：消元（三元→二元→一元），转化为二元一次方程组求解；常用解法：代入消元法、加减消元法（优先消系数最简单的未知数）。 4.解题步骤 （1）消元：选两个方程消去一个未知数，得二元一次方程； （2）再消元：用第三个方程与上一步结果，消去同一个未知数，得另一个二元一次方程； （3）解二元：联立两个二元一次方程，求出两个未知数的值； （4）回代：代入原方程，求出第三个未知数的值； （5）检验：代入原方程组及结合实际意义检验（应用题型必做） 知识点03二元一次方程组的应用 1.核心：设两个未知量为x、y，抓住两个独立等量关系，列二元一次方程组，求解后检验作答（核心：找全等量关系）。 2.解题步骤： （1）审：审题，找两个独立等量关系； （2）设：设直接未知数（x、y），注明单位； （3）列：根据等量关系列方程组（单位统一）； （4）解：选简便消元法，规范求解； （5）验：检验解是否满足方程组及符合实际意义； （6）答：规范作答，注明单位。 知识点04二元一次方程组与三元一次方程组关联 1.共性：找准未知量、找全等量关系、规范消元、检验实际意义； 2.区别：二元（2个未知量+2个等量关系），三元（3个未知量+3个等量关系），核心是消元转化； 3.关键：牢记“审、设、列、解、验、答”六步骤，规避易错点。 题型解析◆精准备考 题型1三元一次方程组的定义及解 1．下列四组数中，是方程组的解是（   ） A． B． C． D． 2．三元一次方程组的解是______． 3．已知，当时，；当时，；当时，，求a、b、c的值． 题型2三元一次方程组的应用 1．逸夫中学初三（一）班参观龙河东北抗联烈士纪念馆，学校计划用100元为20名学生购买饮料、矿泉水和奶茶，饮料每瓶4元，矿泉水每瓶3元，奶茶每瓶6元（每种都要买），在钱全部用完的情况下，有购买方案（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 2．一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区，他们以每天的速度出发，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天的速度返回，在出发后的第天，考察队行进了后回到出发点，那么科学考察队在生态区考察了___________天． 3．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行多少千米？ 题型3根据实际问题列二元一次方程组 1．某班共有学生45人，其中男生人数的2倍比女生人数多3人，设男生有人，女生有人，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t.问一辆大货车和一辆小货车每次分别可以运货多少t?如果设一辆大货车每次运货，一辆小货车每次运货，则可列方程组为________． 3．某公司计划租用甲乙两种型号的冷柜车运送80吨水果，甲型冷柜车每天运送量为6吨，乙型冷柜车每天运送量为8吨．甲型冷柜车先运送了若干天之后退出，剩余的水果由乙型冷柜车负责运送直至完成，整个运送过程总共用时12天．求甲乙两种型号的冷柜车各运送多少天？ (1)思路1：直接设未知数法．若设甲型冷柜车运送天，乙型冷柜车运送天，请根据题意直接列出方程组（无需求解）： (2)思路2：间接设未知数法．若设甲型冷柜车运送吨水果，乙型冷柜车运送吨水果，请列方程组并解答． 题型4根据几何图形列二元一次方程组 1．用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片拼图．如图，已知图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为．若设每张长方形纸片的长为，宽为，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 2．将两块完全相同且宽为的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示（单位：），则桌子的高度________． 3．如图，在一个大长方形的内部无重叠地放入六个完全一样的小长方形（阴影部分），大长方形的长为12，宽为10，求一个小长方形的长与宽．（用方程组的知识解答） 题型5方案问题（二元一次方程组的应用） 1．今年，明华中学开展了以迎接新生为主题的演讲活动，计划拿出240元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 2．用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问：恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？若设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为________． 3．甲，乙两公司全体员工为希望小学捐款，甲公司人均捐款120元，乙公司人均捐款110元．如图是甲，乙两公司员工的一段对话． (1)甲，乙两公司各有多少人？ (2)现甲，乙两公司共同使用这笔捐款购买A，B两种套装图书，A种图书元/套，B种图书元/套．若购买B种套装图书不少于20套，并恰好将捐款用完，直接写出所有可能的购买方案（A，B两种图书均需购买） 题型6行程问题（二元一次方程组的应用） 1．甲乙两人分别从相距的A、B两地同时出发，相向而行，小时相遇；若同向而行，甲9小时追上乙．则甲、乙速度(单位∶ ) 分别为（   ） A．12， 8 B．10， 10 C．14， 6 D．16， 4 2．从A地至B地的航线长9750km，一架飞机从A地顺风飞往B地需12.5h，逆风飞行同样的航线需13h，则飞机在无风时的平均速度是________． 3．小张骑自行车去外的外婆家，中途因道路施工推行了一段路，后到达外婆家．已知他骑车的平均速度是，推行的平均速度是，那么他骑车与推行各用多少时间？ 题型7工程问题（二元一次方程组的应用） 1．核酸检测点进行检测时，有名市民排队等候，检测开始后，仍有市民陆续前来，设市民按固定的速度增加，核酸检测的速度也是固定的，若开放一个检测口，则需要30分钟才可以将排队的市民全部检测完毕，若开放两个检测口，则需要10分钟便可将排队的市民全部检测完毕，如果要在5分钟内将排队的市民全部检测完毕，使后来的市民能随到随检，至少要同时开放（   ）个检测口 A．3 B．4 C．5 D．6 2．甲乙两个工程队分别负责两项工作量相同的工程．晴天，甲完成工程要天，乙完成工程要天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的和．实际情况是两队同时开工、同时完工，在施工期间，下雨天的天数与晴天的天数之比是_____．下雨天的天数是_____． 3．甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件．问甲、乙两人每小时各加工多少个零件？ 题型8数字问题（二元一次方程组的应用） 1．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（    ） A．B． C．D． 2．已知代数式，当时，它的值为4；当时，它的值为，则________，________． 3．一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字之和是9．若交换个位上的数字与十位上的数字的位置，新得到的数比原来的数小63，求原来的两位数 题型9年龄问题（二元一次方程组的应用） 1．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 3．根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 题型10分配问题（二元一次方程组的应用） 1．某工厂生产大型汽油桶，汽油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片构成现工厂共有名工人，其中每名工人每天可制作圆形铁片个或长方形铁片个为了使每天生产的铁片数量刚好配套成油桶，应如何安排工人进行生产？设安排人制作圆形铁片，人制作长方形铁片，可列方程组为（    ） A．B． C． D． 2．学校义卖活动中，有手工皂和香薰蜡烛两种商品需要分装打包，由社团的甲、乙两个小组分别负责，甲组负责打包手工皂，打包份的总耗时可表示为分钟；乙组负责打包香薰蜡烛，打包份的总耗时可表示为分钟． （1）第一天，社团准备了12份商品分配给两个小组，两组刚好同时完成打包，则分配给甲组的手工皂的份数与乙组的香薰蜡烛的份数之比为__________． （2）第二天，社团分配给甲组的份数在第一天的基础上增加了份，分配给乙组的份数在第一天的基础上增加了份，若两组仍能同时完成打包，且、均为小于12的正整数，则的值为__________． 3．某市无偿捐助新鲜蔬菜运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（辆） 汽车运费（元辆） (1)全部蔬菜可用甲型车辆，乙型车辆，丙型车___________辆来运送； (2)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ 题型11销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 1．晨光文具店以固定的单价卖出同样的笔记本和水笔，以下是4天的账目记录：第1天，卖出7本笔记本和12支水笔，收入59元；第2天，卖出28本笔记本和48支水笔，收入234元；第3天，卖出21本笔记本和36支水笔，收入177元；第4天，卖出14本笔记本和24支水笔，收入118元；其中记录有误的是（    ） A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天 2．人民公园的人工湖有大小两种游船供游客娱乐，租借3艘大船和4艘小船共需240元，2艘大船和2艘小船共需要140元，则租借一艘大船的费用是______元． 3．2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙、丙三种型号以马为主题的生肖玩偶，已知购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元，购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元． (1)若丙型玩偶的单价为元，求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)在（1）的条件下，某班级计划用元全部购买甲、乙两种型号玩偶（两种玩偶都要有）作为班级活动的奖品，请问该班级有几种购买方案？ (3)某班级计划购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶给班级的位学生每人一只玩偶，请问该班级共需花费多少元？ 题型12和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 1．703班有男女同学若干人，女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（   ） A．15名 B．16名 C．17名 D．18名 2．如图，在东北大秧歌的踩高跷表演中，已知演员身高是高跷长度的2倍，高跷与腿重合部分的长度为，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为，设演员的身高为，高跷的长度为，则的值是_______． 3．2025年安徽推进千亿斤粮食产能提升行动，某产粮大县种植甲、乙两种优质水稻．2024年该县甲、乙两种水稻总产量为1200吨；2025年该县甲种水稻产量增长20%，乙种水稻产量增长15%，总产量达1410吨． (1)求2024年该县甲、乙两种水稻的产量； (2)求2025年该县甲、乙两种水稻各自的增产量． 题型13几何问题（二元一次方程组的应用） 1．如图，将8块相同长方形木板拼成一个长方形，则每块木板的长和宽分别是（   ） A．， B．， C．， D．， E．， 2．如果，长方形中有个形状、大小相同的小长方形，且，，则图中阴影部分的面积为________． 3．列方程（组）解应用题 如图，学校规划在一块长19米，宽17米的长方形场地上，分别设计与平行的横向和纵向通道，把这块长方形地分成12块形状，大小相同的长方形菜地分给各班管理．如果通道的宽度相等，其中一块菜地的两边，那么通道的宽度是多少？ 题型14图表信息题（二元一次方程组的应用） 1．如图，在3×3的方格上做填数游戏，要求每行、每列及斜对角线上三个方格中的数之和都相等，则x，y的值分别是（    ） A．1，－1 B．－1，1 C．2，－1 D．－2，1 2．如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则___________． 3．2008年5月12日14时28分，我国四川省汶川地区发生里氏8.0级强烈地震，给当地人民造成巨大经济损失．齐村中学积极组织捐款支援灾区，八（1）班55名同学共捐款274元，捐款情况如下表，表中捐款2元和5元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你帮忙确定表中数据，并说明理由． 捐款（元） 人数 题型15古代问题（二元一次方程组的应用） 1．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：有几个人一起去买物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元问人数、物价各是多少？设人数为人，物价为元，则可列出方程组为（    ） A．B． C． D． 2．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”．诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、丙三人的解题方案，判断正确的有_________个． 甲：设客房有x间，则； 乙：设客人有y人，则； 丙：设客房有x间，客人有y人，则． 3．古文：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八．问：人数、羊价各几何？ 题目大意：几个人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出8钱，则多18钱．合伙人数、羊价各是多少？（请列方程求解） 题型16其他问题（二元一次方程组的应用） 1．某足球联赛中，组委会规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某足球队共进行了8场比赛，得了12分，则该队获胜场数的可能性有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 2．根据所给信息，可知每只小猫______元，每只小狗______元．买   一共要元，买 一共要元． 3．旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范，某手工作坊制作如图所示的“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多65分钟，制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟．求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟？ 过关检测◆提升 一、单选题 1．三元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 3．某校数学节开展“拼图接力跑”活动，七年级（1）班参赛同学分成两组：一部分同学负责接力奔跑运送拼图碎片，另一部分同学在终点完成拼图．设负责拼图的同学有人，负责接力跑的同学有人．一开始，负责拼图的人数比接力跑的人数多5人．因任务需要，老师从拼图队里抽调5人加入接力跑队，调整后，接力跑队的人数正好是拼图队人数的2倍．请根据以上情境，列出关于、的二元一次方程组（    ） A． B． C． D． 4．如图是用4个相同的长方形与1个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的边长比小正方形边长的4倍多1，设长方形的两邻边长分别为x，y，且x与y的比是，下列关系式错误的是（   ） A． B． C． D．， 5．劳动课上，老师给每组同学一根长的竹竿，要求全部用完，且截成长和长两种规格均有的竹段．设某种截法中长的竹段有a根，则a的值可能有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．10种 二、填空题 6．从甲地到乙地的路有一段平路与一段上坡路．如果骑自行车保持平路每小时行15km，上坡每小时行10km，下坡每小时行18km，那么从甲地到乙地需29min，从乙地到甲地需25min．从甲地到乙地的路程是________km． 7．小明家准备装修一套房子，若请甲、乙两个装修公司合作，则需6周完成，需支付工钱5.2万元；若先请甲公司单独做4周后，剩下的请乙公司来做，则还需9周才能完成，需支付工钱4.8万元．若只请一个公司单独完成，从节约开支的角度来考虑，小明家应该选________公司（填“甲”或“乙”）． 8．一个两位数数位上的数字之和是8，将它的十位数字和个位数字交换后，得到新的两位数，若新两位数比原两位数大18，则原两位数为_____． 9．甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17．这四人中最大年龄与最小年龄的差是________． 10．一个39人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下3间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚150元．（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住．三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付150元．） （1）若该旅游团一晚的住宿房费为2050元，则他们租住了_____ 间一人间； （2）若该旅游团租住了所有剩余的一人间，且共有25名男士，则租住一晚的住宿房费最少为_____ 元． 三、解答题 11．重庆市某景点的门票价格如下表： 购票人数/人 以上 每人门票价/元 重庆某中学七年级有甲、乙两个班级计划去游览该景点，其中甲班的人数少于人，如果两个班都以班为单位单独购票，则甲班需支付元；如果两个班级联合起来作为一个团体购票，则只需花费元． (1)两个班各有多少人？ (2)小明和小红分别代表两个班级提前去超市购置一些旅途所需物品，发现超市正在对顾客实行优惠促销，规定如下： Ⅰ．若一次购物少于元，则不予优惠； Ⅱ．若一次购物满1元，但不超过元，按标价给予九折优惠； Ⅲ．若一次购物超过元，其中元部分给予九折优惠，超过元部分按八折优惠． ①若小明和小红分开两次付款，一共消费元，其中小明的付款额小于元；同样的物品，若小明与小红一起一次付款，则只需付款元，请问分开付款时小明支付了多少元？ ②小明和小红需要购买、、三种商品，他们若购买商品件、商品件、商品件共需元；若购买商品件、商品件、商品件共需元，则他们购买、、各一件共需要多少元？ 12．如图，某纺织厂从原料产地A地购进一批优质长绒棉运回工厂，加工制成高档纺织面料后运往B地销售，该纺织厂所在地与A、B两地分别通过公路、铁路相连，已知公路运费为0.5元/（吨），铁路运费为0.2元/（吨），从A地运输这批优质长绒棉到纺织厂，以及从纺织厂运输面料到B地，总共支出公路运费5200元，铁路运费16640元，求这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉和运往B地的纺织面料分别是多少吨？ 13．如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形． (1)求每一个小长方形的长与宽． (2)求阴影部分的面积． 14．五一期间，正定打算举行各种迎游客活动，安排了两种货车来运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件物品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件物品． (1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件物品？ (2)现有3000件物资需要再次运送，准备同时租用这两种货车一次运送完，每辆货车均全部装满货物，请你通过计算确定共有哪几种租车方案 (3)在（2）的前提下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出3600元用于租车，请直接写出是否够用． 15．随着科技的不断进步，某城镇居民对家居智能开关的需求日益增加．某五金商店购进A型智能开关30个和B型智能开关40个共需3450元，A型智能开关40个和B型智能开关30个共需3900元． (1)求A、B两型智能开关的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用420元购进A、B两种智能开关（A、B两型开关均购买），销售1个A型开关可获利35元，销售1个B型开关可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如开关全部售出，最大利润是多少元？ 16．“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学安排七、八、九三个年级师生先后乘坐客车去参观深圳东江纵队纪念馆，下面是九年级的王老师和小明、小颖两位同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金800元，B型客车每辆租金1200元．” 小明：“七年级师生共540人，租用3辆A型客车和9辆B型客车恰好坐满．” 小颖：“八年级师生共530人，租用1辆A型客车和10辆B型客车恰好坐满．”根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； (2)已知九年级师生共520人．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案，并求出最省钱的租车方案的费用． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07三元一次方程组、用二元一次方程组 解决问题复习讲义 期中复习◆重点 1.掌握二元一次方程组的定义、解的判定方法，以及代入、加减两种消元法。 2.熟练运用二元一次方程组解决和差倍比、行程、工程等常见基础应用题。 3.掌握三元一次方程组的定义、消元解法，能运用其解决含三个未知量的基础应用题。 4.梳理两类方程组应用的解题规律与易错点，提升知识运用能力。 核心题型◆归纳 题型1三元一次方程组的定义及解 题型2三元一次方程组的应用 题型3根据实际问题列二元一次方程组 题型4根据几何图形列二元一次方程组 题型5方案问题（二元一次方程组的应用） 题型6行程问题（二元一次方程组的应用） 题型7工程问题（二元一次方程组的应用） 题型8数字问题（二元一次方程组的应用） 题型9年龄问题（二元一次方程组的应用） 题型10分配问题（二元一次方程组的应用） 题型11销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 题型12和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 题型13几何问题（二元一次方程组的应用） 题型14图表信息题（二元一次方程组的应用） 题型15古代问题（二元一次方程组的应用） 题型16其他问题（二元一次方程组的应用） 重点知识◆梳理 知识点01二元一次方程组 1.定义：由两个及以上含相同未知数的二元一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组； 2.使方程组中所有方程左右两边均相等的两个未知数的值，是方程组的解。 3.关键词：相同未知数、二元一次方程、解需满足所有方程。 知识点02三元一次方程组 1.定义：含有三个未知数，且含未知数的项的次数均为1，等号两边均为整式的三个方程组成的一组方程，叫做三元一次方程组。 2.关键词：三个未知数、次数为1、整式方程、三个方程（可含化简后为三元一次的方程）。 易错提醒：① 未知数个数必须为3；② 未知数的项的次数为1（无xy、x²等项）；③ 分母不含未知数（整式方程）。 3.核心思想与解法 （1）核心思想：消元（三元→二元→一元），转化为二元一次方程组求解；常用解法：代入消元法、加减消元法（优先消系数最简单的未知数）。 4.解题步骤 （1）消元：选两个方程消去一个未知数，得二元一次方程； （2）再消元：用第三个方程与上一步结果，消去同一个未知数，得另一个二元一次方程； （3）解二元：联立两个二元一次方程，求出两个未知数的值； （4）回代：代入原方程，求出第三个未知数的值； （5）检验：代入原方程组及结合实际意义检验（应用题型必做） 知识点03二元一次方程组的应用 1.核心：设两个未知量为x、y，抓住两个独立等量关系，列二元一次方程组，求解后检验作答（核心：找全等量关系）。 2.解题步骤： （1）审：审题，找两个独立等量关系； （2）设：设直接未知数（x、y），注明单位； （3）列：根据等量关系列方程组（单位统一）； （4）解：选简便消元法，规范求解； （5）验：检验解是否满足方程组及符合实际意义； （6）答：规范作答，注明单位。 知识点04二元一次方程组与三元一次方程组关联 1.共性：找准未知量、找全等量关系、规范消元、检验实际意义； 2.区别：二元（2个未知量+2个等量关系），三元（3个未知量+3个等量关系），核心是消元转化； 3.关键：牢记“审、设、列、解、验、答”六步骤，规避易错点。 题型解析◆精准备考 题型1三元一次方程组的定义及解 1．下列四组数中，是方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用加减消元法对方程组求解，逐步求出未知数的值即可． 【详解】解： 得： 得：， 把代入得：， 解得， 把，代入得 ， 解得 方程组的解为． 2．三元一次方程组的解是______． 【答案】 【详解】解： 将三个方程左右两边分别相加，得：， 整理得：， 用④分别减去①②③消元： 得：； 得：； 得：； 所以原方程组的解为． 3．已知，当时，；当时，；当时，，求a、b、c的值． 【答案】 【分析】将，；，；，分别代入，得到三元一次方程组，再解方程组即可． 【详解】将，；，；，分别代入 得，， 解得． 题型2三元一次方程组的应用 1．逸夫中学初三（一）班参观龙河东北抗联烈士纪念馆，学校计划用100元为20名学生购买饮料、矿泉水和奶茶，饮料每瓶4元，矿泉水每瓶3元，奶茶每瓶6元（每种都要买），在钱全部用完的情况下，有购买方案（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次不定方程的整数解，掌握根据实际问题列方程组，消元得到不定方程，结合正整数约束枚举求解是解题的关键. 设三种饮品的购买数量，根据总人数和总费用列出方程组，消元后得到不定关系，结合每种都要买的正整数条件，统计方案个数即可. 【详解】设购买饮料瓶，矿泉水瓶，奶茶瓶，均为正整数. ∵总共有名学生，总费用为元. ∴可得方程组 由第一个方程得 ， 代入第二个方程得： 整理得 . 将代入得 . ∵均为正整数. ∴ 解得 . ∵为正整数， ∴可取，共对应种不同的购买方案 故选：A. 2．一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区，他们以每天的速度出发，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天的速度返回，在出发后的第天，考察队行进了后回到出发点，那么科学考察队在生态区考察了___________天． 【答案】23 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，设向上游行进天数为，返回天数为，考察天数为，根据总天数和行程距离相等建立方程，根据，均为正整数，可求出和，再代入总天数方程求即可． 【详解】解：设向上游行进天数为，返回天数为，考察天数为， 由题意，向上游距离等于返回距离，且返回最后一天行进了， 因此有， 化简得， ∴， ∴是25的倍数， 取，则，此时，符合题意， ∴的通解为，（k为整数）， 当或时，x、y不满足为正整数且， ∴， ∴，， 又总天数满足， ∴ 故答案为：23． 3．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行多少千米？ 【答案】这辆车将能行3750千米 【分析】此题考查了三元一次方程组的应用，设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶1 km磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为．又设一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km．分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，得到方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，设一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km．由题意可得    两式相加，得， 则  ． 答：这辆车将能行3750千米． 题型3根据实际问题列二元一次方程组 1．某班共有学生45人，其中男生人数的2倍比女生人数多3人，设男生有人，女生有人，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目给出的两个等量关系，分别列出方程，组合得到方程组，即可选出正确选项． 【详解】解：∵班级共有学生45人，男生有人，女生有人， ∴总人数满足等量关系：， ∵男生人数的倍比女生人数多人， ∴该条件满足等量关系：， 整理得 ， 因此可列方程组为． 2．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t.问一辆大货车和一辆小货车每次分别可以运货多少t?如果设一辆大货车每次运货，一辆小货车每次运货，则可列方程组为________． 【答案】 【分析】根据题干给出的两种运货等量关系，分别列出等式，组合得到方程组. 【详解】解：由题意可知，2辆大货车运货总质量为，3辆小货车运货总质量为，二者一次运货总和为，因此可得方程； 同理，5辆大货车运货总质量为，6辆小货车运货总质量为，二者一次运货总和为，因此可得方程； 联立两个方程得方程组． 3．某公司计划租用甲乙两种型号的冷柜车运送80吨水果，甲型冷柜车每天运送量为6吨，乙型冷柜车每天运送量为8吨．甲型冷柜车先运送了若干天之后退出，剩余的水果由乙型冷柜车负责运送直至完成，整个运送过程总共用时12天．求甲乙两种型号的冷柜车各运送多少天？ (1)思路1：直接设未知数法．若设甲型冷柜车运送天，乙型冷柜车运送天，请根据题意直接列出方程组（无需求解）： (2)思路2：间接设未知数法．若设甲型冷柜车运送吨水果，乙型冷柜车运送吨水果，请列方程组并解答． 【答案】(1) (2)甲型冷柜车运送8天，乙型冷柜车运送4天 【分析】（1）根据总运送天数为12天，总运送水果重量为80吨列方程组即可； （2）根据总运送天数为12天，总运送水果重量为80吨列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵总运送时间共12天，总运送水果共80吨， ∴根据题意，得 ， （2）解：根据题意，得 ， 解得， 甲型冷柜车运送天数为 （天） ， 乙型冷柜车运送天数为 （天） ， 答：甲型冷柜车运送8天，乙型冷柜车运送4天． 题型4根据几何图形列二元一次方程组 1．用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片拼图．如图，已知图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为．若设每张长方形纸片的长为，宽为，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每张长方形纸片的长为，宽为，根据题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：由图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为． 得图1正方形阴影部分边长为，图2正方形阴影部分边长为， 设每张长方形纸片的长为，宽为， 根据题意得，， 故选：． 2．将两块完全相同且宽为的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示（单位：），则桌子的高度________． 【答案】 【分析】设长方体木块的长为，根据图形中高度之间的数量关系列出方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：设长方体木块的长为， 由题意可知木块的宽为， 根据图和图可得方程：，即， ，得， 解得． 3．如图，在一个大长方形的内部无重叠地放入六个完全一样的小长方形（阴影部分），大长方形的长为12，宽为10，求一个小长方形的长与宽．（用方程组的知识解答） 【答案】小长方形的长为，宽为 【分析】本题考查二元一次方程组，理解题意找到等量关系是解题关键． 设小长方形的长为，宽为，根据大长方形的长和宽构造方程，并求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可知，大长方形的长为，大长方形的宽为， 列方程组，得，， 将，得，， 将代入①，得，， 解得，， ∴方程组的解为， 答：小长方形的长为，宽为． 题型5方案问题（二元一次方程组的应用） 1．今年，明华中学开展了以迎接新生为主题的演讲活动，计划拿出240元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，解题关键是根据总价等量关系列出方程，结合，为正整数的条件求出所有可行方案． 【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品，，均为正整数， 根据题意得 整理得 . ∵，均为正整数， ∴，，，，，， ∴购买方案共有种． 2．用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问：恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？若设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据“用块型钢板可制成块型钢板和块型钢板；用块型钢板可制成块型钢板和块型钢板,共需要块型钢板、块型钢板”列方程组即可． 【详解】解：设用A型钢板块，用型钢板块，根据题意，得： 故答案为： 3．甲，乙两公司全体员工为希望小学捐款，甲公司人均捐款120元，乙公司人均捐款110元．如图是甲，乙两公司员工的一段对话． (1)甲，乙两公司各有多少人？ (2)现甲，乙两公司共同使用这笔捐款购买A，B两种套装图书，A种图书元/套，B种图书元/套．若购买B种套装图书不少于20套，并恰好将捐款用完，直接写出所有可能的购买方案（A，B两种图书均需购买） 【答案】(1)甲，乙两公司各有220人，240人 (2)共有2种方案，①A种套装图书购买22套，B种套装图书购买24套；②A种套装图书购买11套，B种套装图书购买36套． 【分析】（1）根据人数和钱数分别列出方程得到方程组，解方程组即可； （2）根据设A种套装图书购买m套，B种套装图书购买n套，根据总钱数得到，求出整数解即可． 【详解】（1）解：设甲公司有人，乙公司有人， 根据已知题意，得， 解得，   答：甲，乙两公司各有220人，240人； （2）解：设A种套装图书购买m套，B种套装图书购买n套， 根据题意，得， 即， 整理得， ∵，且都是整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 答：共有2种方案：①A种套装图书购买22套，B种套装图书购买24套；②A种套装图书购买11套，B种套装图书购买36套． 题型6行程问题（二元一次方程组的应用） 1．甲乙两人分别从相距的A、B两地同时出发，相向而行，小时相遇；若同向而行，甲9小时追上乙．则甲、乙速度(单位∶ ) 分别为（   ） A．12， 8 B．10， 10 C．14， 6 D．16， 4 【答案】A 【分析】设甲的速度是，乙的速度是，根据追及问题和相遇问题列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲的速度是，乙的速度是， 由题意可得：，解得：． ∴甲的速度是，乙的速度是，即A选项符合题意． 2．从A地至B地的航线长9750km，一架飞机从A地顺风飞往B地需12.5h，逆风飞行同样的航线需13h，则飞机在无风时的平均速度是________． 【答案】 【分析】 设飞机的平均速度为km/h，风速为km/h，根据航行问题的数量关系建立方程组求出其解即可. 【详解】解：设风速为km/h，飞机无风时的平均速度为km/h． 根据题意，得 解得 ∴飞机无风时的平均速度为km/h，风速为km/h． 故答案为：km/h． 【点睛】本题考查了根据题意列二元一次方程组求解的问题，熟练掌握是解决本题的关键． 3．小张骑自行车去外的外婆家，中途因道路施工推行了一段路，后到达外婆家．已知他骑车的平均速度是，推行的平均速度是，那么他骑车与推行各用多少时间？ 【答案】他骑车用了小时，推行用了小时 【分析】设他骑车用了小时，推行用了小时，根据题意列二元一次方程求解即可． 【详解】解：设他骑车用了小时，推行用了小时， 依题意得：， 解得：， 答：他骑车用了小时，推行用了小时． 题型7工程问题（二元一次方程组的应用） 1．核酸检测点进行检测时，有名市民排队等候，检测开始后，仍有市民陆续前来，设市民按固定的速度增加，核酸检测的速度也是固定的，若开放一个检测口，则需要30分钟才可以将排队的市民全部检测完毕，若开放两个检测口，则需要10分钟便可将排队的市民全部检测完毕，如果要在5分钟内将排队的市民全部检测完毕，使后来的市民能随到随检，至少要同时开放（   ）个检测口 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了不定方程和一元一次不等式，解题的关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系和不等关系式 设检测开始后，每分钟新增加市民人，检测的速度为每个检测口每分钟检测人，5分钟内将排队等候检测的市民全部检测完毕需要同时开放个检测口；根据开放的检测口与通过时间等列方程和不等式解答． 【详解】解：设检测开始后每分钟新增加市民人，检测的速度为每个检测口每分钟检人，5分钟内将排队等候检测的市民全部检测完毕需要同时开放个检测口， 由题意得：， 由①②得：， ， ，即， ∵， ∴， 又∵为整数， ∴取，即至少要同时开放4个检测口． 故选：B ． 2．甲乙两个工程队分别负责两项工作量相同的工程．晴天，甲完成工程要天，乙完成工程要天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的和．实际情况是两队同时开工、同时完工，在施工期间，下雨天的天数与晴天的天数之比是_____．下雨天的天数是_____． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键，先求出晴天和雨天时甲、乙的工作效率，然后根据两队同时完工，工作量相同，列出方程求解晴天和雨天的天数，再求比例和具体天数． 【详解】解：由题可得：晴天时，甲的工作效率为，乙的工作效率为， 雨天时，甲的工作效率为，乙的工作效率为， 设晴天天数为，雨天天数为， 得：， 得：， 得：， 解得：， 将代入中得：， ∴下雨天天数与晴天天数之比为，下雨天天数为． 3．甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件．问甲、乙两人每小时各加工多少个零件？ 【答案】甲每小时加工20个零件，乙每小时加工18个零件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先设甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件，再结合甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件列方程组，再解方程，即可作答． 【详解】解：设甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件， 依题意， 解得 ∴甲每小时加工20个零件，乙每小时加工18个零件． 题型8数字问题（二元一次方程组的应用） 1．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（    ） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】本题需要根据题意找出两个等量关系，正确用代数式表示两位数，再列出方程组，两位数等于10乘十位数字加个位数字．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，十位数字为， 由“十位数字与个位数字的和是8”可得第一个方程． ∵原两位数为，数字对调后组成的新两位数为， ∴由“这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数”可得第二个方程 ． ∴所列方程组为． 故选：D． 2．已知代数式，当时，它的值为4；当时，它的值为，则________，________． 【答案】 5 【分析】根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：由题意可得， 解得：． 3．一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字之和是9．若交换个位上的数字与十位上的数字的位置，新得到的数比原来的数小63，求原来的两位数 【答案】原来的两位数是81． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，准确列出等量关系是解决问题的关键． 根据等量关系，设原来两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：设原来两位数的十位上的数字为，个位上的数字为． 根据题意，得 解得 故原来的两位数是81． 题型9年龄问题（二元一次方程组的应用） 1．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组，弄清题意，找准等量关系是解题的关键． 由“10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍”可知，由“10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍”可知，进而列方程组即可． 【详解】解：设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，由题意可得： 故选：B 2．聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 【答案】14 【分析】设聪聪的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，根据“过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7”，即可得出关于，的二元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设聪聪的年龄为岁，则妈妈的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴聪聪的年龄为岁． 3．根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁 【分析】设现在哥哥岁，妹妹岁，根据两个孩子的对话，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得 解得： 答：现在哥哥10岁，妹妹6岁 题型10分配问题（二元一次方程组的应用） 1．某工厂生产大型汽油桶，汽油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片构成现工厂共有名工人，其中每名工人每天可制作圆形铁片个或长方形铁片个为了使每天生产的铁片数量刚好配套成油桶，应如何安排工人进行生产？设安排人制作圆形铁片，人制作长方形铁片，可列方程组为（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据两个等量关系列方程组，一是总工人人数为42，二是配套时2个圆形铁片配1个长方形铁片，即圆形铁片总数量是长方形铁片总数量的2倍，据此整理得到方程组． 【详解】∵安排x人制作圆形铁片，y人制作长方形铁片，总共有42名工人， ∴， ∵每个油桶需要2个圆形铁片和1个长方形铁片，刚好配套时，圆形铁片总数量是长方形铁片总数量的2倍， 又∵x人每天生产圆形铁片共个，y人每天生产长方形铁片共个， ∴， 等式两边同时除以2，整理得， ∴可得方程组． 2．学校义卖活动中，有手工皂和香薰蜡烛两种商品需要分装打包，由社团的甲、乙两个小组分别负责，甲组负责打包手工皂，打包份的总耗时可表示为分钟；乙组负责打包香薰蜡烛，打包份的总耗时可表示为分钟． （1）第一天，社团准备了12份商品分配给两个小组，两组刚好同时完成打包，则分配给甲组的手工皂的份数与乙组的香薰蜡烛的份数之比为__________． （2）第二天，社团分配给甲组的份数在第一天的基础上增加了份，分配给乙组的份数在第一天的基础上增加了份，若两组仍能同时完成打包，且、均为小于12的正整数，则的值为__________． 【答案】 【分析】（1）设分配给甲组的手工皂份数为x份，乙组的香薰蜡烛份数为y份，两组同时完成即耗时相等列方程求解，再计算份数之比； （2）根据两组仍同时完成列方程，结合第一天的等式化简得到m与n的关系，根据m，n的取值范围确定的值即可． 【详解】解：（1）设分配给甲组的手工皂份数为x份，乙组的香薰蜡烛份数为y份，由题意得： ， 解得：， ∴； （2）由题意，两组同时完成，耗时相等，得： ， 展开得， 由第一天的结果可知，代入上式得： ， 整理得：， 即， ∵m，n均为小于12的正整数， ∴满足条件的对应值比值恒为， 故． 3．某市无偿捐助新鲜蔬菜运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（辆） 汽车运费（元辆） (1)全部蔬菜可用甲型车辆，乙型车辆，丙型车___________辆来运送； (2)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ 【答案】(1) (2)需甲车型辆，乙车型辆 【分析】（）根据丙型车需要的运载量除以每一辆丙型汽车运载量即可得出丙型车的数量； （）设分别需甲、乙两种车型辆，辆，由题意得，然后解方程组即可； 【详解】（1）解：丙型车的数量为（辆）， （2）解：设分别需甲、乙两种车型辆，辆， 由题意得， 解得， 答：需甲车型辆，乙车型辆； 题型11销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 1．晨光文具店以固定的单价卖出同样的笔记本和水笔，以下是4天的账目记录：第1天，卖出7本笔记本和12支水笔，收入59元；第2天，卖出28本笔记本和48支水笔，收入234元；第3天，卖出21本笔记本和36支水笔，收入177元；第4天，卖出14本笔记本和24支水笔，收入118元；其中记录有误的是（    ） A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天 【答案】B 【分析】设笔记本和水笔的单价分别为元和元，根据第一天的记录得到和的关系式，再利用后三天卖出商品数量与第一天的倍数关系，计算正确的总收入，对比记录即可找出错误的一天 【详解】解：设笔记本单价为元，水笔单价为元 根据第1天记录可得 ； 观察数量关系：第2天卖出笔记本数量，水笔数量， 正确总收入应为 ，与记录的234元不符， 验证第3天：，，正确总收入为，与记录一致， 验证第4天：，，正确总收入为，与记录一致， 因此记录有误的是第2天 2．人民公园的人工湖有大小两种游船供游客娱乐，租借3艘大船和4艘小船共需240元，2艘大船和2艘小船共需要140元，则租借一艘大船的费用是______元． 【答案】40 【分析】设租借一艘大船的费用为元，租借一艘小船的费用为元，根据题意找出两个等量关系，列出二元一次方程组求解即可得到结果． 【详解】解：设租借一艘大船的费用为元，租借一艘小船的费用为元．根据题意得 ， 将②两边同乘以，得， 用得， 化简得， 所以，租借一艘大船的费用是40元． 3．2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙、丙三种型号以马为主题的生肖玩偶，已知购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元，购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元． (1)若丙型玩偶的单价为元，求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)在（1）的条件下，某班级计划用元全部购买甲、乙两种型号玩偶（两种玩偶都要有）作为班级活动的奖品，请问该班级有几种购买方案？ (3)某班级计划购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶给班级的位学生每人一只玩偶，请问该班级共需花费多少元？ 【答案】(1)甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元 (2)一共有四种购买方案 (3)该班级共需花费元 【分析】（1）设甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设甲、乙两种型号玩偶的分别购买只，只，根据题意列出二元一次方程组，根据，都是正整数，确定方程的整数解，即可求解； （3）设甲、乙、丙三种型号玩偶的单价分别为元，元，元，根据题意得出，共需花费，消去字母，即可求解． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元．   由题意得 解得 答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元． （2）解：设甲、乙两种型号玩偶的分别购买只，只．   由题得 ， 化简得， ∴ ， 因为，都是正整数， 所以方程有4个正整数解， 分别为，，， 所以一共有四种购买方案． （3）解：设甲、乙、丙三种型号玩偶的单价分别为元，元，元．   由题意得， 解得， 共需花费 （元） ， 答：该班级共需花费元． 题型12和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 1．703班有男女同学若干人，女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（   ） A．15名 B．16名 C．17名 D．18名 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设最初的女同学有x人，最初的男同学有y人，根据“女同学因故走了8名，这时男女同学之比为5：2，后来男同学又走了12名，这时男女同学人数相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设最初的女同学有x人，最初的男同学有y人， 依题意，得：，解得：． 故选：B． 2．如图，在东北大秧歌的踩高跷表演中，已知演员身高是高跷长度的2倍，高跷与腿重合部分的长度为，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为，设演员的身高为，高跷的长度为，则的值是_______． 【答案】420 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据已知得出等量关系列出方程组是解题的关键． 根据演员身高是高跷长度的2倍得出，利用高跷与腿重合部分的长度为，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为可得，然后解二元一次方程组求得x，y的值，最后代入求解即可． 【详解】解：设演员的身高为，高跷的长度为， 根据题意可得：， 解得：， 所以． 故答案为：420． 3．2025年安徽推进千亿斤粮食产能提升行动，某产粮大县种植甲、乙两种优质水稻．2024年该县甲、乙两种水稻总产量为1200吨；2025年该县甲种水稻产量增长20%，乙种水稻产量增长15%，总产量达1410吨． (1)求2024年该县甲、乙两种水稻的产量； (2)求2025年该县甲、乙两种水稻各自的增产量． 【答案】(1)2024年该县甲种水稻的产量为600吨，乙种水稻的产量为600吨 (2)2025年该县甲种水稻增产量为120吨，乙种水稻增产量为90吨 【分析】（1）设2024年甲种水稻产量为吨，乙种水稻产量为吨，根据题意列二元一次方程组进行求解即可； （2）根据增长率计算增长量即可． 【详解】（1）解：设2024年甲种水稻产量为吨，乙种水稻产量为吨， 根据题意，得 解得 答：2024年该县甲种水稻的产量为600吨，乙种水稻的产量为600吨． （2）甲种水稻的增产量：（吨）， 乙种水稻的增产量：（吨）． 答：2025年该县甲种水稻增产量为120吨，乙种水稻增产量为90吨． 题型13几何问题（二元一次方程组的应用） 1．如图，将8块相同长方形木板拼成一个长方形，则每块木板的长和宽分别是（   ） A．， B．， C．， D．， E．， 【答案】A 【分析】设每块木板的长为，宽为，根据长方形的对边相等及大长方形的宽为，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设每块木板的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， ∴每块木板的长为，宽为． 2．如果，长方形中有个形状、大小相同的小长方形，且，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】令小长方形的长、宽分别为，，根据题意，得出，，得方程组，解出，即可根据得出阴影部分的面积． 【详解】解：令小长方形的长、宽分别为，， 根据题意，，， 可得，，， 故可得方程组， 解得， ∴，， 故阴影部分面积为． 3．列方程（组）解应用题 如图，学校规划在一块长19米，宽17米的长方形场地上，分别设计与平行的横向和纵向通道，把这块长方形地分成12块形状，大小相同的长方形菜地分给各班管理．如果通道的宽度相等，其中一块菜地的两边，那么通道的宽度是多少？ 【答案】通道的宽度是1米 【分析】设米，通道宽为y米，则米，根据长方形的长19米，宽17米列方程组求解即可． 【详解】解：设米，通道宽为y米，则米， 根据题意，得， 解得， 答：通道的宽度是1米． 题型14图表信息题（二元一次方程组的应用） 1．如图，在3×3的方格上做填数游戏，要求每行、每列及斜对角线上三个方格中的数之和都相等，则x，y的值分别是（    ） A．1，－1 B．－1，1 C．2，－1 D．－2，1 【答案】B 【分析】先根据第一行的数求出该行的和，再利用对角线的和与该行和相等列方程求y，接着结合列的和与该行和相等求x，最后验证选项． 【详解】解：首先，计算第一行的和： ∵左上到右下的对角线的和与每行和相等， ∴， 化简得， 解得， 再根据第三列的和与第一行和相等， ， 代入， 得， 即， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了三阶幻方的性质，掌握每行、每列及对角线上的数之和相等是解题的关键． 2．如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则___________． 【答案】 【详解】解∶根据题意，得， 解得． 3．2008年5月12日14时28分，我国四川省汶川地区发生里氏8.0级强烈地震，给当地人民造成巨大经济损失．齐村中学积极组织捐款支援灾区，八（1）班55名同学共捐款274元，捐款情况如下表，表中捐款2元和5元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你帮忙确定表中数据，并说明理由． 捐款（元） 人数 【答案】捐款元的有人，捐款元的有人 【分析】设八（1）班捐元的有人，捐元的有人．根据八（1）班名同学，共捐款元，列出方程组，解方程即可求解． 【详解】解：设八（1）班捐元的有人，捐元的有人． 根据题意，得 ， 解得，． 答：捐款元的有人，捐款元的有人． 题型15古代问题（二元一次方程组的应用） 1．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：有几个人一起去买物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元问人数、物价各是多少？设人数为人，物价为元，则可列出方程组为（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，只需找准两种出钱方案对应的等量关系，分别列出方程后联立即可得到正确方程组. 【详解】解：设人数为人，物价为元， ∵每人出8元时，总钱数比物价多3元， ∴； ∵每人出7元时，总钱数比物价少4元， ∴； 联立可得方程组， 故选：C. 2．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”．诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、丙三人的解题方案，判断正确的有_________个． 甲：设客房有x间，则； 乙：设客人有y人，则； 丙：设客房有x间，客人有y人，则． 【答案】 2 【分析】对于甲的方案，因为设客房有间，根据“每间住7人多7人”可得客人总数为，根据“每间住9人空一间”可得客人总数为，如果这两个表达式都表示客人总数，那么可列出等式，据此判断甲的方程是否正确． 对于乙的方案，因为设客人有人，根据“每间住7人多7人”可得客房数为，根据“每间住9人空一间”可得客房数为，如果乙的等式中客房数的表达式符合题意，那么判断乙的方程是否正确． 对于丙的方案，因为设客房间、客人人，根据“每间住7人多7人”可列，根据“每间住9人空一间”即住满的房间共间，客人总数为，变形可得，如果这两个方程符合等量关系，那么判断丙的方程组是否正确． 最后统计正确方案的个数． 【详解】解：甲：设客房有间，根据总人数相等列方程， 每间住人，总人数为，每间住人，空出间，总人数为，因此，甲正确. 乙：设客人有人，根据客房数量相等列方程， 每间住人，人无房住，客房数量为，每间住人，空出间，客房数量为，因此方程应为，乙所列方程错误，乙不正确. 丙：设客房有间，客人有人，根据题意可得， 由一房七客多七客，得，即， 由一房九客一房空，得，整理得， 因此方程组正确，丙正确. 综上，甲丙两人正确，正确的个数为. 3．古文：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八．问：人数、羊价各几何？ 题目大意：几个人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出8钱，则多18钱．合伙人数、羊价各是多少？（请列方程求解） 【答案】人数为21人，羊价为150钱 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．本题可通过设未知数，根据两种出钱方式下羊价恒定这一等量关系列出二元一次方程组，进而求解出合伙人数和羊价． 【详解】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱． 根据题意，得， 将代入中，得 ， 解得 把代入中，得 ． 答：人数为21人，羊价为150钱． 题型16其他问题（二元一次方程组的应用） 1．某足球联赛中，组委会规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某足球队共进行了8场比赛，得了12分，则该队获胜场数的可能性有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程以及一元一次不等式的应用，根据题中的等量关系建立方程是解题的关键；设获胜场数和平场数，根据得分规则和总场数限制列出关系式，结合场数为非负整数的特点，列举出获胜场数的所有可能，即可得到结果. 【详解】设该队获胜场，平场，则负场，其中，均为非负整数，且， 根据得分规则列方程得：，整理得 ， ∵， ∴，解得 又∵，将代入得：，解得 ， ∵为非负整数， ∴的可能取值为，共种可能性. 2．根据所给信息，可知每只小猫______元，每只小狗______元．买   一共要元，买 一共要元． 【答案】 【分析】设每只小猫元，每只小狗元，根据题意得，然后解方程组即可． 【详解】解：设每只小猫元，每只小狗元， 根据题意得：，解得：， ∴每只小猫元，每只小狗元． 3．旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范，某手工作坊制作如图所示的“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多65分钟，制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟．求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟？ 【答案】制作一对“花扣”需80分钟，制作一对“一字扣”需15分钟 【分析】设制作一对“花扣”需分钟，制作一对“一字扣”需分钟，根据制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多65分钟，制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟建立方程组求解即可． 【详解】解：设制作一对“花扣”需分钟，制作一对“一字扣”需分钟， 由题意，得， 解得， 答：制作一对“花扣”需80分钟，制作一对“一字扣”需15分钟． 过关检测◆提升 一、单选题 1．三元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用代入消元法，逐步消元求解三元一次方程组即可． 【详解】解：， 将①代入②，得 解得， 将①和代入③，得 解得， 将代入①，得， 原方程组的解为． 2．已知，，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入消元法，用含a的代数式分别表示b和c，再代入各选项验证，即可得到正确结论． 【详解】解：∵， ∴将代入，得 整理得，即，故B错误， A、，故A正确 C、，故C错误； D、， ∵的取值不确定， ∴不一定大于0， 无法得出，故D错误． 3．某校数学节开展“拼图接力跑”活动，七年级（1）班参赛同学分成两组：一部分同学负责接力奔跑运送拼图碎片，另一部分同学在终点完成拼图．设负责拼图的同学有人，负责接力跑的同学有人．一开始，负责拼图的人数比接力跑的人数多5人．因任务需要，老师从拼图队里抽调5人加入接力跑队，调整后，接力跑队的人数正好是拼图队人数的2倍．请根据以上情境，列出关于、的二元一次方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵一开始负责拼图的人数比拼接力跑的人数多人， ∴可得， ∵从拼图队抽调人加入接力跑队后，拼图队人数变为，接力跑队人数变为，且此时接力跑队人数是拼图队人数的倍， ∴可得， 因此所列二元一次方程组为． 4．如图是用4个相同的长方形与1个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的边长比小正方形边长的4倍多1，设长方形的两邻边长分别为x，y，且x与y的比是，下列关系式错误的是（   ） A． B． C． D．， 【答案】B 【分析】结合“x与y的比是”，可得，整理可得，即可判断选项A；由图形可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为，结合“大正方形的边长比小正方形边长的4倍多1”可得，即可判断选项C；将进行整理，可得，即可判断选项B；将与联立并求解，进而可知，，可判断选项D． 【详解】解：根据题意，x与y的比是，即， 整理可得，故选项A正确，不符合题意； 由图形可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为 ∵大正方形的边长比小正方形边长的4倍多1， ∴，故选项C正确，不符合题意； 对于，等号右侧去括号，得， 移项，合并同类项，可得，故选项B错误，符合题意； 将与联立， 可得，解得， ∴，，故选项D正确，不符合题意． 5．劳动课上，老师给每组同学一根长的竹竿，要求全部用完，且截成长和长两种规格均有的竹段．设某种截法中长的竹段有a根，则a的值可能有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．10种 【答案】A 【分析】先根据竹竿总长度列出等式，再结合两种规格均有的要求，得到a、b均为正整数，据此列举出a的所有可能值，统计个数即可． 【详解】解：设长的竹段有根，根据题意得： ， ∴， ∵两种规格均要有， ∴，均为正整数， ∴，，，， ∴a的值可能有种． 二、填空题 6．从甲地到乙地的路有一段平路与一段上坡路．如果骑自行车保持平路每小时行15km，上坡每小时行10km，下坡每小时行18km，那么从甲地到乙地需29min，从乙地到甲地需25min．从甲地到乙地的路程是________km． 【答案】6.5 【分析】设单程在平路上用的时间是，依据题意，从甲地到乙地的上坡路程与从乙地到甲地的下坡路程相等，可得出等量关系，进而列出方程，从而解出方程并得出结论． 【详解】解：设单程在平路上用的时间是，则从甲地到乙地在上坡路上用的时间是，从乙地到甲地在下坡路上用的时间是． 根据题意，得， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确的运算是解题的关键． 7．小明家准备装修一套房子，若请甲、乙两个装修公司合作，则需6周完成，需支付工钱5.2万元；若先请甲公司单独做4周后，剩下的请乙公司来做，则还需9周才能完成，需支付工钱4.8万元．若只请一个公司单独完成，从节约开支的角度来考虑，小明家应该选________公司（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组是解题的关键． 先求出甲、乙两公司单独完成装修所需的时间，再计算各自单独完成的工钱，比较后选择更节约开支的公司. 【详解】解：设由甲公司单独做需要x周完成， 则由乙公司单独做需要周完成， 依题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， , 即由甲公司单独做需要10周完成，由乙公司单独做需要15周完成． 设每周需付给甲公司m万元，每周需付给乙公司n万元， 依题意得： 解得： 单独由甲公司做需付（万元）, 单独由乙公司做需付（万元）； 又, 从节约开支的角度来考虑，小明家应该选乙公司． 故答案为：乙 ． 8．一个两位数数位上的数字之和是8，将它的十位数字和个位数字交换后，得到新的两位数，若新两位数比原两位数大18，则原两位数为_____． 【答案】35 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．设原两位数的十位数字为a，个位数字为b，根据数字之和为8和新数比原数大18的条件列方程组求解． 【详解】解：设原两位数的十位数字为a，个位数字为b， 则原数为，数字之和，交换后新数为， 由新数比原数大18，得，化简得，即． 解方程组，解得， 故原数为． 故答案为：35． 9．甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，21和17．这四人中最大年龄与最小年龄的差是________． 【答案】 【分析】本题考查方程解应用题，读懂题意，准确用方程表示出题中相关数量关系是解决问题的关键． 设甲、乙、丙、丁四人的年龄分别为，将题中数量关系表示为，变形得到，从而确定这四人中最大年龄与最小年龄，作差变形即可得到答案． 【详解】解：设甲、乙、丙、丁四人的年龄分别为，则由题意可得 ， ， 比较上述四个式子可知，， ， 即， 解得， 这四人中最大年龄与最小年龄的差是， 故答案为：． 10．一个39人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下3间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚150元．（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住．三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付150元．） （1）若该旅游团一晚的住宿房费为2050元，则他们租住了_____ 间一人间； （2）若该旅游团租住了所有剩余的一人间，且共有25名男士，则租住一晚的住宿房费最少为_____ 元． 【答案】 1 2100 【分析】（1）设该旅游团租住了x间一人间，y间三人间，利用该旅游团一晚的住宿房费=100×租住一人间的间数+150×租住三人间的间数，可得出关于的二元一次方程，结合均为自然数且，即可得出结论； （2）由“男士只能与男士同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付150元”，可得出“当租住的三人间全部住满时，租住一晚的住宿房费最少”，结合男士、女士的人数及租住一人间的数量，可得出租住一晚的住宿房费最少的租住方案，再求出该方案租住一晚的住宿房费即可得出结论． 【详解】解：（1）设该旅游团租住了x间一人间，y间三人间， 根据题意得：， 化简得：， ∴， 又∵均为自然数，且， 当时， ，不是整数； 当时， ，是整数； 当时， ，不是整数； 当时， ，不是整数； ∴， ∴他们租住了1间一人间． （2）设间一人间住男士，间一人间住女士，． 男士住一人间人，剩余男士人需要住三人间． 女士住一人间人，剩余女士人需要住三人间． 当时，男士：， ∴男士三人间数量为9， 女士：， ∴女士三人间数量为4， ∴总费用为； 当时，男士：， ∴男士三人间数量为8， 女士：， ∴女士三人间数量为4， ∴总费用为； 当时，男士：， ∴男士三人间数量为8， 女士：， ∴女士三人间数量为5， ∴总费用为； 当时，男士：， ∴男士三人间数量为8， 女士：， ∴女士三人间数量为5， ∴总费用为； ∴租住一晚的住宿房费最少为2100元． 三、解答题 11．重庆市某景点的门票价格如下表： 购票人数/人 以上 每人门票价/元 重庆某中学七年级有甲、乙两个班级计划去游览该景点，其中甲班的人数少于人，如果两个班都以班为单位单独购票，则甲班需支付元；如果两个班级联合起来作为一个团体购票，则只需花费元． (1)两个班各有多少人？ (2)小明和小红分别代表两个班级提前去超市购置一些旅途所需物品，发现超市正在对顾客实行优惠促销，规定如下： Ⅰ．若一次购物少于元，则不予优惠； Ⅱ．若一次购物满1元，但不超过元，按标价给予九折优惠； Ⅲ．若一次购物超过元，其中元部分给予九折优惠，超过元部分按八折优惠． ①若小明和小红分开两次付款，一共消费元，其中小明的付款额小于元；同样的物品，若小明与小红一起一次付款，则只需付款元，请问分开付款时小明支付了多少元？ ②小明和小红需要购买、、三种商品，他们若购买商品件、商品件、商品件共需元；若购买商品件、商品件、商品件共需元，则他们购买、、各一件共需要多少元？ 【答案】(1)甲班有人，乙班有人 (2)①分开付款时，小明支付了元或元；②他们购买、、各一件共需元 【分析】（1）根据表格数据，用总票价除以单价得到人数列出算式，即可求解； （2）①设分开付款时小明支付了元，则小红支付了元，根据题意分类讨论，列出一元一次方程，解方程，即可求解； ②设商品的单价为元/件，商品的单价为元/件，商品的单价为元/件，根据题意得出，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解：甲班人数为（人），乙班人数为（人）． 答：甲班有49人，乙班有53人． （2）①当小明购物原价小于100元时，设小明支付了，其付款金额元即为原价，则小红支付了元． ， ． 当小明购物原价为元，小红购物原价为元，则， 解得； 当小明购物原价不小于100元时，其付款金额为原价的九折，则原价为元，小红购物原价为元， 则， 解得． 综上，分开付款时，小明支付了元或元． ②设商品的单价为元/件，商品的单价为元/件，商品的单价为元/件， 则①，②． 由，得③．由①，得， ． 答：他们购买，，各一件共需6元． 12．如图，某纺织厂从原料产地A地购进一批优质长绒棉运回工厂，加工制成高档纺织面料后运往B地销售，该纺织厂所在地与A、B两地分别通过公路、铁路相连，已知公路运费为0.5元/（吨），铁路运费为0.2元/（吨），从A地运输这批优质长绒棉到纺织厂，以及从纺织厂运输面料到B地，总共支出公路运费5200元，铁路运费16640元，求这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉和运往B地的纺织面料分别是多少吨？ 【答案】这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，再结合图形信息列出方程组解题即可． 【详解】解：设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，则 ， 解得：， 答：这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨． 13．如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形． (1)求每一个小长方形的长与宽． (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1)小长方形的长为12，宽为4 (2)60 【分析】（1）设小长方形的长为x，宽为y，根据图形找到等量关系，列出二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，即可得出答案； （2）由大长方形面积减去5个小长方形面积即可得出结论． 【详解】（1）解：设小长方形的长为x，宽为y，由题意得： ， 解得：， 答：小长方形的长为12，宽为4； （2）解：阴影部分的面积为：． 14．五一期间，正定打算举行各种迎游客活动，安排了两种货车来运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件物品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件物品． (1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件物品？ (2)现有3000件物资需要再次运送，准备同时租用这两种货车一次运送完，每辆货车均全部装满货物，请你通过计算确定共有哪几种租车方案 (3)在（2）的前提下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出3600元用于租车，请直接写出是否够用． 【答案】(1)一辆小货车一次满载可运300件，一辆大货车一次满载可运400件 (2)共两种方案，①小货车2辆，大货车6辆；②小货车6辆，大货车3辆 (3)不够 【分析】（1）设1辆小货车一次满载运输件物品，1辆大货车一次满载运输件物品，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设租用小货车m辆，租用大货车n辆，根据解析（1）的结果列出方程，然后根据、均为正整数得出答案即可； （3）根据解析（2）的方案求出租车费用，再进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：设1辆小货车一次满载运输件物品，1辆大货车一次满载运输件物品， 依题意得：， 解得：， 答：1辆小货车一次满载运输300件物品，1辆大货车一次满载运输400件物品． （2）解：设租用小货车m辆，租用大货车n辆，根据题意得： ， ∵m、n为正整数， ∴，， 答：共两种方案：①小货车2辆，大货车6辆；②小货车6辆，大货车3辆 （3）解：该组委会计划支出3600元用于租车，不够用，理由如下： 方案1：租用2辆小货车，6辆大货车，租车费为（元）； 方案2：租用6辆小货车，3辆大货车，租车费为； ；； 该组委会计划支出3600元用于租车，不够用． 15．随着科技的不断进步，某城镇居民对家居智能开关的需求日益增加．某五金商店购进A型智能开关30个和B型智能开关40个共需3450元，A型智能开关40个和B型智能开关30个共需3900元． (1)求A、B两型智能开关的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用420元购进A、B两种智能开关（A、B两型开关均购买），销售1个A型开关可获利35元，销售1个B型开关可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如开关全部售出，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A型智能开关的单价是75元，B型智能开关的单价是30元； (2)该商店共有2种购买方案：购进A型智能开关个，B型智能开关个或购进A型智能开关个，B型智能开关个，最大利润是205元． 【分析】（1）设A型智能开关的单价是x元，B型智能开关的单价是y元，根据五金商店购进A型智能开关30个和B型智能开关40个共需3450元，A型智能开关40个和B型智能开关30个共需3900元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A型智能开关m个，B型智能开关n个，根据该商店计划正好用420元购进A、B两种智能开关（A、B两型开关均购买），列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 【详解】（1）解：设A型智能开关的单价是x元，B型智能开关的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A型智能开关的单价是75元，B型智能开关的单价是30元； （2）解：设购进A型智能开关m个，B型智能开关n个， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或， 该商店共有2种购买方案： ①购进A型智能开关个，B型智能开关个，利润为（元）； ②购进A型智能开关个，B型智能开关个，利润为（元）； ， 最大利润是205元． 16．“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学安排七、八、九三个年级师生先后乘坐客车去参观深圳东江纵队纪念馆，下面是九年级的王老师和小明、小颖两位同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金800元，B型客车每辆租金1200元．” 小明：“七年级师生共540人，租用3辆A型客车和9辆B型客车恰好坐满．” 小颖：“八年级师生共530人，租用1辆A型客车和10辆B型客车恰好坐满．”根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； (2)已知九年级师生共520人．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案，并求出最省钱的租车方案的费用． 【答案】(1)每辆A型客车的载客人数是30人，每辆B型客车的载客人数是50人 (2)共三种租车方案，见解析，最省费用为12800元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找到正确的等量关系． （1）设每辆A型客车的载客人数是x人，每辆B型客车的载客人数是y人，根据题意，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用A型客车a辆，B型客车b辆，可得，再根据为正整数，求得二元一次方程的解，对比费用即可． 【详解】（1）解：设每辆A型客车的载客人数是x人，每辆B型客车的载客人数是y人， 依题意得：， 解得：． 答：每辆A型客车的载客人数是30人，每辆B型客车的载客人数是50人． （2）解：设租用A型客车a辆，B型客车b辆， 依题意得：，化简得：． ∵a，b均为非负整数， ∴或或， 即共三种租车方案，分别是 ①租用A型客车14辆，2辆B型客车，费用为（元）； ②租用A型客车9辆，5辆B型客车，费用为（元）； ③租用A型客车4辆，8辆B型客车，费用为（元）； ∵， ∴租用A型客车4辆，8辆B型客车最省钱，费用为12800元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $