4.3.2 等比数列的前n项和公式（作业设计）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

2026年道县优质教学资源评选活动 ---高二选择性必修二《4.3.2 等比数列的前n项和公式》作业设计 课程基本信息 主备人 廖思鸿 课型 新授课 学科 数学 年级 高二 学段 高中 版本章节 选择性必修二 4.3.2 作业设计 课标要求 1. 理解等比数列前n项和公式的推导过程，掌握错位相减法核心推导方法，体会转化与化归的数学思想。 2. 熟练掌握等比数列前n项和的两个基本公式，能根据已知条件灵活选择公式运算，解决求和基本问题。 3. 能运用公式解决简单实际问题，提升数学运算、逻辑推理与数学建模核心素养，培养分析和解决问题的能力。 4. 初步掌握等比数列通项与前n项和公式的综合应用，辨析求和易错点，规范解题步骤。 教材分析 本节课选自高中数学选择性必修第二册等比数列章节，是在学生学习等比数列定义、通项公式后的核心内容，是等差数列前n项和知识的延伸，也是数列求和方法的重要奠基。教材通过具体实例引入求和问题，借助错位相减法推导公式，注重知识形成过程，强调公式的理解与应用。 本节内容在数列知识体系中承上启下：一方面巩固等比数列基本性质，完善知识框架；另一方面，错位相减法为后续数列综合求和、数列与函数/不等式结合的综合题提供核心方法，是高考数列模块的基础考点，题型覆盖选择、填空、解答题，难度涵盖基础与中档，对培养学生数学运算、逻辑推理素养至关重要。 学情分析 授课对象为高二学生，已掌握等比数列的定义、通项公式，理解等差数列前n项和公式的推导思路，具备基本的数列运算和逻辑推理能力，但存在以下学习痛点： 1. 易忽略公比q=1的特殊情况，解题时漏解、误用公式； 2. 对错位相减法的推导逻辑理解不透彻，难以自主还原“错位、相减、化简”步骤； 3. 公式应用缺乏灵活性，无法根据首项、公比、项数等已知量快速求解未知量； 4. 含指数、字母的运算能力薄弱，解题步骤规范性不足。 作业设计思路 1. 考点聚焦：围绕公式推导、直接应用、公比分类讨论、通项与求和综合、简单实际应用展开，突破“q=1漏解”“运算失误”两大核心易错点。 2. 素养导向：作业设计遵循由浅入深、循序渐进原则，先夯实公式基础应用，提升数学运算素养；再强化易错点辨析，培养逻辑推理素养；最后提升综合与创新应用能力，提升数学建模素养，兼顾知识巩固与能力提升，贴合学生认知规律；解答题要求步骤完整，突出公式选择、运算过程、分类讨论的书写规范，培养严谨的数学思维。 作业设计内容 【基础巩固】 （一）选择题 1. 已知等比数列中，，公比，则其前4项和为（ ） A. 80 B. 81 C. 160 D. 242 2. 若等比数列的前n项和，则a的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 3. 在等比数列中，，，则公比q为（ ） A. 1 B. -2 C. 1或-2 D. -1或2 4. 设等比数列的前n项和为，若，，则的值为（ ） A. B.或2 C. D. 或 5. 等比数列的前n项和为，若，，则为（ ） A. 28 B. 32 C. 35 D. 49 6. 已知数列满足，，，记，为数列的前n项和，则（    ） A．63 B．127 C．255 D．256 7. （多选） 已知等比数列的前n项和为，则下列一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. （多选）设数列满足，其中．数列满足，数列的前n项和记作，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列为等比数列 C．数列的前100项和为150 D．当为奇数时，数列在处取得最小值 （二）填空题 9. 已知等比数列的公比，，则前4项和=______ 10. 一个乒乓球从1m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的，至少在第______次着地后，它经过的总路程能达到 11. 已知数列的首项，，．设，在与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前n项和，则________．   （三）解答题 12. 已知等差数列的前项和为，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前的和. 13. 已知数列的前项和为，且满足． (1)求，的值，并证明数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前项和． 【能力提升】 14. 已知数列满足，． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求； (3)设函数．若对任意，都有，求正整数的最大值． 【详细解答】 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C B A A AC ACD （一）选择题 1. 答案：A 解答：，代入公式，。 2. 答案：D 解答：n=1时，；时，；数列为等比数列，则，解得。 3. 答案：C 解答：①时，，符合；②时，，解得；综上或-2。 4. 答案：B 解答：由得，即；若，则，；若，则，；综上或2。 5.  答案：A 解答：等比数列性质：,,成等比数列；设=x，则，解得（舍去）。 6. 答案：A 解答：由题意得，两边同时取对数得 ， 设，且有， ， ，，则， 满足，所以是以2为公比，1为首项的等比数列， 即，. 7.  答案：AC 解答：A：，，正确；B：，若，，错误；C：，无论或，，正确；D：举反例，时，错误。 8. 答案：ACD 解答：由，，可知是首项为2、公比为2的等比数列， 因此： ， 选项A，，A正确， 选项B，设，​，​，​，得​，，比值不相等，故不是等比数列，B错误， 选项C，由， ，C正确， 选项D，当为奇数，时，前项（偶数项）共组，每组和为3， 因此​，加上最后一项，， 当时，，满足上式， 故当为奇数时，，则： ，这是开口向上的二次函数，对称轴为，为正奇数，因此在处取得最小值，D正确. （二）填空题 9.  答案：5 解答：，解得；。 10.  答案：6 解答：由题意得，. 所以. 所以，所以，即.故答案为：6. 11.  答案：1457 解答：由，，得，又， 则， 因此数列是首项为4，公比为4的等比数列，， 在之间有2个3，之间有个3， 之间有个3，之间有个3，后面还需1个3， 因此数列的前35项包含及它们之间插入的个3，第36项为3，故前36项中共有31个3， 所以. （三）解答题 12. 解答: （1）设等差数列的公差为，， 数列的公差， 由有：， 所以， 又，满足上式，故； （2）由（1），设数列的前的和为， 则， 则， 两式相减得： ， 所以 13. 解答:（1）当时，，解得：， 当时，解得： 已知①，当时，②， ①②得：，整理得：， 变形为：，即， 又，因此是首项为 2，公比为 2 的等比数列. （2）由（1）知，是首项，公比的等比数列， 所以，因此. （3）由，可得， 因此是首项，公比的等比数列。 所以 【能力提升】 14. 解答:（1），结合，则， 由可得，则， 由题知，，则是首项为，公比为的等比数列， 于是，整理得 （2）结合（1）可知，， 设， 则， 两式相减得到，， 即，整理得， 又， 则 （3）由（1）知，， 又，则，整理得， 根据对勾函数的性质，在上单调递减， 则，故为使恒成立，只需， 则，当时取得等号，又是正整数，则最大值是 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $