精品解析：安徽省阜阳市临泉县第四中学等校2025-2026学年九年级下学期数学(试题卷)

数学（试题卷） 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列四个数中，绝对值最大的是（ ） A. B. C. 0 D. 3 2. 商务部制定的《2026年原油非国营贸易进口允许量总量、申请条件和申请程序》规定原油非国营贸易进口允许量为25700万吨，将数字“25700”用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图为乾隆年间的茶叶末釉荸荠瓶，因腹部扁如荸荠而得名．下列有关其三视图的说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图完全相同 B. 主视图和俯视图完全相同 C. 左视图和俯视图完全相同 D. 三视图完全相同 4. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，则边的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 正比例函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 如图，在四边形中，点分别是各边的中点．甲说：若四边形是矩形，则四边形是菱形；乙说：若四边形是菱形，则四边形是矩形．下列判断正确的是（ ） A. 甲、乙都正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲、乙都错误 9. 如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，边长为2的菱形中，，点为边的中点，点为边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得，连接，则下面说法错误的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：___________． 12. 如图，点为中边上一点，以点为圆心、长为半径，作恰与边相切于点，若，则___________． 13. 二氧化碳是自然界碳循环的重要物质．二氧化碳的化学式为，由1个碳原子和2个氧原子组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有，，，图案，小安从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成二氧化碳化学式的概率是___________． 14. 在中国传统文化中，数字“9”寓意着吉祥、尊贵与长久．现有如下运算规则：从1，2，3，，9这九个数字中任取一个数字，先将选取的数字乘以3，再加上3，最后将结果乘以3． （1）若选取的数字为，则运算结果为___________； （2）无论选取的数字是1~9中的哪个数，按照上述规则运算后，将这些数的个位与十位数字相加，最终得到的结果恒为___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，与位似，位似中心为原点，与的相似比为．（点分别与点对应，且点在第二象限） （1）在图中画出，并直接写出点的坐标； （2）用无刻度直尺作出的角平分线； （3）与的周长比为___________． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 东谯楼（图1）位于安徽省黄山市歙县徽州古城中和街，是徽州古城的地标之一．某中学九年级学生在数学实践活动课时去测量东谯楼的高度．如图2，在点处用测角仪测得东谯楼顶端的仰角为，向远离东谯楼的方向走到达点处，在点处测得东谯楼顶端的仰角为．已知测角仪距地面的高均为，求东谯楼的高．（精确到．参考数据：）． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，连接． （1）求和的值； （2）求一次函数的解析式； （3）求的面积． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某校组织了非遗知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分，满分100分，均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表． 非遗知识竞赛成绩频数分布表 非遗知识竞赛成绩扇形统计图 A组 B组 C组 D组 备注：B组共有15个成绩：89，88，88，86，85，85，85，84，84，83，81，81，81，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量为___________，B组15个成绩的平均数为___________分； （2）本次被抽取的所有成绩的中位数为___________分； （3）学校决定对本次竞赛成绩80分及以上的学生进行奖励，该校共有300名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 20. 如图，等腰中，，以为直径作，分别交，于点，，是的切线，于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 六、（本题满分12分） 21. 【综合与实践】中国镶嵌工艺萌芽于新石器时代，经商周、汉代发展，至明清达顶峰，广泛用于家具、首饰、建筑工艺中的镶嵌，传承着东方美学与匠心精神． （1）如图1，在中，，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成，其中，平移的距离是___________．同理，再进行一次切割平移，可得图3，即图4可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成。我们可以用若干个如图4所示的图形，平面镶嵌成如图5的图形，则图5的面积是___________． （2）小徽家浴室装修，在墙中央留下了如图6所示的空白，经测量可以按图7所示，全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌．小徽调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜30元；用600元购买正三角形瓷砖与用2400元购买正六边形瓷砖的数量相等． （i）请问两种瓷砖每块各多少元？ （ii）小徽对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小徽的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少多少元？ 七、（本题满分12分） 22. 如图，四边形为正方形，点为正方形内一动点，连接，，，且． （1）如图1，猜想的度数，并给出理由； （2）若，请解答如下问题： （）如图2，连接，若，求线段的长度； （）如图3，点为边的中点，连接，，与交于点，求面积的最大值． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线经过点． （1）若抛物线开口向上，且顶点到轴距离为2，求抛物线的解析式； （2）（）当时，若点在第一象限，且点为抛物线对称轴上一点，记原点为，连接，将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标； （）点和分别在抛物线和上（，与原点都不重合）．当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（试题卷） 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列四个数中，绝对值最大的是（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的定义求出四个数各自的绝对值，再比较大小，即可得到结果． 【详解】解：，，，， 由于， 则绝对值最大的数是． 2. 商务部制定的《2026年原油非国营贸易进口允许量总量、申请条件和申请程序》规定原油非国营贸易进口允许量为25700万吨，将数字“25700”用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】． 3. 如图为乾隆年间的茶叶末釉荸荠瓶，因腹部扁如荸荠而得名．下列有关其三视图的说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图完全相同 B. 主视图和俯视图完全相同 C. 左视图和俯视图完全相同 D. 三视图完全相同 【答案】A 【解析】 【详解】解：观察图形，可得其三视图中，主视图和左视图是完全相等． 4. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于选项A：与不是同类二次根式，无法直接合并，故A错误； 对于选项B：根据完全平方公式可得 ，而不是，故B错误； 对于选项C：根据积的乘方法则，，等式成立，故C正确； 对于选项D：根据同底数幂的乘法法则，底数不变指数相加，，故D错误． 5. 下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可求解． 【详解】解：选项A、方程的判别式为， 则方程没有实数根，不符合题意； 选项B、方程的判别式为， 则方程有两个相等的实数根，符合题意； 选项C、方程的判别式为， 则方程没有实数根，不符合题意； 选项D、方程的判别式为， 则方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 6. 如图，在中，，，，则边的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点作于点，根据求出，进而求出长，利用勾股定理求出长，进而求出长． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，， ， ， 在中，由勾股定理得：． 7. 正比例函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正比例函数与一次函数的图象及性质，先将已知点代入正比例函数解析式求出k的值，再得到一次函数解析式，根据一次函数的斜率与截距判断其经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：将点代入得：， 解得， 将代入得：，即， 在中，斜率，与y轴的交点为，截距为， 则的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 8. 如图，在四边形中，点分别是各边的中点．甲说：若四边形是矩形，则四边形是菱形；乙说：若四边形是菱形，则四边形是矩形．下列判断正确的是（ ） A. 甲、乙都正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲、乙都错误 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据矩形的性质可得，再根据三角形中位线的性质可得，即可判断甲；四边形是菱形，只能判断，无法得到四边形是矩形． 【详解】解：如图，连接， ， 若四边形是矩形，则， 点分别是各边的中点， ， 四边形是菱形，故甲说法正确； 若四边形是菱形，则， ， 无法证明四边形是矩形，故乙说法错误． 9. 如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象可得二次函数的图象与轴有两个交点，可得；二次函数的图象与轴交在负半轴，可得；当时，，对比图象可得；由对称轴可得，当时，，根据图象即可判断． 【详解】解：根据图象可得二次函数的图象与轴有两个交点， ，即，故A正确； 二次函数的图象与轴交在负半轴， 可得，故B正确； 当时，， 对称轴为直线， 当时和当时，函数值相等， 根据图象当时，， ，故C正确； ， ， 当时，， 根据图象当时，， ，故D错误． 10. 如图，边长为2的菱形中，，点为边的中点，点为边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得，连接，则下面说法错误的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，连接，取的中点，连接，证明，得到，进而得到，故、、三点共线时，存在最小值即为的长，当点与点重合时，的值最大，的值最大，当时，的值最小，逐一进行计算即可． 【详解】解：如图1，取的中点．连接，取的中点，连接， 则， ∵在菱形中，， ∴， ∴，． ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵点是边的中点，点是边的中点， ∴． ∴为等边三角形， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上移动， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故、、三点共线时，存在最小值，如图2． 作，则， ∴， ∴，， ∴． ∴，即存在最小值为， 当点与点重合时存在最大值，如图3， 作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴． ∴． ∴存在最大值； 又∵的最大值即线段的长，为；的最小值即当时，此时的长即为的长，为． 故只有选项A错误． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【详解】． 12. 如图，点为中边上一点，以点为圆心、长为半径，作恰与边相切于点，若，则___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据可得，再根据切线的性质可得，利用三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：， ， ， 恰与边相切于点， ， ． 13. 二氧化碳是自然界碳循环的重要物质．二氧化碳的化学式为，由1个碳原子和2个氧原子组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有，，，图案，小安从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成二氧化碳化学式的概率是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】将4张卡片分别标记为，，，，根据题意画出树状图，得到所有可能的情况数，再找出能组成二氧化碳化学式的情况数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：将4张卡片分别标记为，，，，画树状图为： 则一共有24种等可能的情况，其中能满足三张卡片恰含1个和2个，可组成二氧化碳化学式的情况共12种， 因此，这三张卡片对应的元素符号恰能组成二氧化碳化学式的概率为：． 14. 在中国传统文化中，数字“9”寓意着吉祥、尊贵与长久．现有如下运算规则：从1，2，3，，9这九个数字中任取一个数字，先将选取的数字乘以3，再加上3，最后将结果乘以3． （1）若选取的数字为，则运算结果为___________； （2）无论选取的数字是1~9中的哪个数，按照上述规则运算后，将这些数的个位与十位数字相加，最终得到的结果恒为___________． 【答案】 ①. ②. 9 【解析】 【分析】（1）根据题目给出的运算顺序列出代数式，化简即可； （2）根据（1）化简后的代数式，分析结果的个位与十位数字，求和即可得到恒定结果． 【详解】解：（1）根据题意，按照运算顺序列代数式为：； （2）由（1）知，选取的数字为，则运算结果为 ，为整数， ， 设，则 ， 即十位数字为，个位数字为， 将个位与十位相加得：， 因此，最终结果恒为9． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】根据平方差公式和完全平方公式化简所求式子，再将代入化简后的式子求解即可． 【详解】解： 当时，原式． 16. 如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，与位似，位似中心为原点，与的相似比为．（点分别与点对应，且点在第二象限） （1）在图中画出，并直接写出点的坐标； （2）用无刻度直尺作出的角平分线； （3）与的周长比为___________． 【答案】（1）图见解析，点的坐标为 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用位似三角形的概念作图即可； （2）可得，所以和为等腰直角三角形，则，故延长交于点，即为的角平分线； （3）根据位似比可得周长比． 【小问1详解】 解：如图所示，点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，即为的角平分线； 【小问3详解】 解：与的相似比为， ∴与的周长比为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 东谯楼（图1）位于安徽省黄山市歙县徽州古城中和街，是徽州古城的地标之一．某中学九年级学生在数学实践活动课时去测量东谯楼的高度．如图2，在点处用测角仪测得东谯楼顶端的仰角为，向远离东谯楼的方向走到达点处，在点处测得东谯楼顶端的仰角为．已知测角仪距地面的高均为，求东谯楼的高．（精确到．参考数据：）． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，设的长为，表示出，解直角三角形，列方程即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点， 由题意可知四边形和四边形都是矩形， ∴，， 设的长为， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即， 解得， 经检验，是分式方程的解且符合题意， ∴， ∴． 答：东谯楼的高约为． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，连接． （1）求和的值； （2）求一次函数的解析式； （3）求的面积． 【答案】（1）， （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）把代入，利用待定系数法即可解答； （2）把代入，利用待定系数法即可解答； （3）设一次函数的图象和轴交于点，利用的面积等于的面积减去的面积即可解答． 【小问1详解】 解：∵在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的解析式为， 将代入， 得； 【小问2详解】 解：把代入， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问3详解】 解：设一次函数的图象和轴交于点， 将代入， 解得， ∴点的坐标为， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某校组织了非遗知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分，满分100分，均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表． 非遗知识竞赛成绩频数分布表 非遗知识竞赛成绩扇形统计图 A组 B组 C组 D组 备注：B组共有15个成绩：89，88，88，86，85，85，85，84，84，83，81，81，81，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量为___________，B组15个成绩的平均数为___________分； （2）本次被抽取的所有成绩的中位数为___________分； （3）学校决定对本次竞赛成绩80分及以上的学生进行奖励，该校共有300名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 【答案】（1）50，84 （2） （3）162人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，从频数分布表和扇形统计图获得信息是解题的关键． （1）根据B组有15人，B组所占比例为，求出样本容量，再根据平均数的定义计算B组平均数即可； （2）根据中位数的定义得到该中位数位于B组第13、14个成绩，据此解答即可； （3）用总人数乘以本次调查成绩80分及以上的学生的百分比即可得到答案． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量为：， 组15个成绩的平均数为分； 【小问2详解】 解：由（1）知，本次样本容量为50， 则A组人数为：人，B组人数15人， 把50个成绩从大到小排列，排在中间的两个数分别是第25个、26个， 则中位数位于B组第13、14个成绩， 因此，本次被抽取的所有成绩的中位数为：分； 【小问3详解】 解：人， 答：估计本次竞赛的获奖人数为162人． 20. 如图，等腰中，，以为直径作，分别交，于点，，是的切线，于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，进而得到，根据平行线和等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，证明，从而得出结论； （2）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，进而得到，从而求出长，利用求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是的切线， ， ， 、， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， 解得， ， ， 即的半径为． 六、（本题满分12分） 21. 【综合与实践】中国镶嵌工艺萌芽于新石器时代，经商周、汉代发展，至明清达顶峰，广泛用于家具、首饰、建筑工艺中的镶嵌，传承着东方美学与匠心精神． （1）如图1，在中，，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成，其中，平移的距离是___________．同理，再进行一次切割平移，可得图3，即图4可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成。我们可以用若干个如图4所示的图形，平面镶嵌成如图5的图形，则图5的面积是___________． （2）小徽家浴室装修，在墙中央留下了如图6所示的空白，经测量可以按图7所示，全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌．小徽调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜30元；用600元购买正三角形瓷砖与用2400元购买正六边形瓷砖的数量相等． （i）请问两种瓷砖每块各多少元？ （ii）小徽对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小徽的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少多少元？ 【答案】（1）5； （2）（i）边长为1的正三角形瓷砖每块10元，边长为1的正六边形瓷砖每块40元；（ii）440元 【解析】 【分析】（1）根据题意可得平移的距离是；计算的面积，根据题意可得题图5由6个组成； （2）（i）设一块正三角形瓷砖的单价为元，则一块正六边形瓷砖的单价为元，根据题意列方程即可； （ii）根据题意可得使用边长为1的正六边形瓷砖越多，总费用越少，据此即可解答． 【小问1详解】 解：∵题图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成， ∴平移的距离就是的长， ∴平移的距离是； ∴由平行四边形经过两次切割平移而成的题图4的面积与的面积相等， 如图1，过点作于点， ∵中，， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴的面积， ∴平行四边形经过两次切割平移而成的基本图形的面积等于， ∴题图5的面积； 【小问2详解】 解：（i）设一块正三角形瓷砖的单价为元，则一块正六边形瓷砖的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， （元）， 答：边长为1的正三角形瓷砖每块10元，边长为1的正六边形瓷砖每块40元； （ii）∵每个边长为1的正六边形的面积等于边长为1的正三角形的面积的6倍， ∴用边长为1的正六边形瓷砖越多，费用就越少， 如图2， 图中有黑点的三角形用三角形瓷砖，其余部分用正六边形瓷砖时，用正六边形最多， ∴此时总费用最少． ∵正六边形8个，正三角形12个， ∴最少费用（元）． 七、（本题满分12分） 22. 如图，四边形为正方形，点为正方形内一动点，连接，，，且． （1）如图1，猜想的度数，并给出理由； （2）若，请解答如下问题： （）如图2，连接，若，求线段的长度； （）如图3，点为边的中点，连接，，与交于点，求面积的最大值． 【答案】（1），理由见解析 （2）（）；（） 【解析】 【分析】（1）根据圆的定义得到、、在以点为圆心，为半径的圆上，利用圆周角定理得到，根据圆内接四边形的性质得到，从而求出的度数； （2）（）同（1）可知、、在以点为圆心，为半径的圆上，由圆周角定理可知，过点作于点，在中，，，进而求出长，再利用勾股定理求出长即可； （）根据勾股定理求出长，设点到的高为，可得，当最短，即时，最长，此时的面积最大，利用“等面积法”求出，进而求出，从而求出面积最大值． 【小问1详解】 解：，理由如下： 如图1， 四边形为正方形， 、， 、、在以点为圆心，为半径的圆上， 在优弧上取点， ， ， ； 【小问2详解】 解：（）如图2，过点作于点， 同（1）可知、、在以点为圆心，为半径的圆上， ， ， 在中，，， ， 在中，由勾股定理得： ； （），点为边的中点， ， 在中，， 设点到的高为，可得， 又， 当最短，即时，最长，此时的面积最大， ， ， ， ， ， 面积的最大值为． 【点睛】本题考查圆的定义、圆周角定理、圆内接四边形的性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握相关性质定理、数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线经过点． （1）若抛物线开口向上，且顶点到轴距离为2，求抛物线的解析式； （2）（）当时，若点在第一象限，且点为抛物线对称轴上一点，记原点为，连接，将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标； （）点和分别在抛物线和上（，与原点都不重合）．当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 【答案】（1） （2）（）；（）， 【解析】 【分析】（1）将点代入求出，进而求出顶点坐标，根据顶点到轴距离为2，列方程求解即可； （2）（）设，对称轴与轴的交点为，过点作于，易证明，则，，进而得到，将点坐标代入抛物线解析式求出的值，从而求出点坐标； （）根据题意得到、，由得到，令，则得到，根据是一个与无关的定值，求出的值，进而求出的值． 【小问1详解】 解：将点代入得：， ， 抛物线解析式为， 顶点坐标为， 顶点到轴距离为2， ， 或， 解得或， 抛物线开口向上， ， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 （）解：由（1）知，抛物线， 当时，抛物线， 设，对称轴与轴的交点为，过点作于， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点在抛物线上， 将代入抛物线得： ， 解得或（舍）， ； （）解：点和分别在抛物线和上， 、， ， ， ， 令， ， ， 是一个与无关的定值， 、， ， ， ， ． 【点睛】本题考查二次函数的图象性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $