第3章 三视图与表面展开图 单元模拟演练卷 2025-2026学年 浙教版数学九年级下册

**基本信息** 本单元卷聚焦三视图与表面展开图，通过选择、填空、综合题梯度设计，全面覆盖几何体视图判断、圆锥侧面积计算、最短路径等核心知识，适配初中数学单元复习，强化空间观念与几何直观。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三视图判断、投影变化、几何体识别|结合生活情境（路灯影子），考查空间观念| |填空题|6/18|圆锥侧面积、小立方块搭建、最短路径|注重几何直观，如蚂蚁沿圆锥侧面爬行| |综合题|9/72|表面展开图计算、投影作图、圆锥展开|强调推理与运算，如无盖长方体体积最值、扇形围成圆锥|

第3章 三视图与表面展开图 单元模拟演练卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是(　　) A．球 B．直立圆柱 C．圆锥 D．倒放圆柱 2．如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，则它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 3．下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是（　　） A． B． C． D． 4．如图的几何体是由10个相同的小正方体搭成的，若移走下列中的一块小正方体后，该几何体的主视图会发生改变，则可能移走的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 5．晚上小亮在路灯下散步，在小亮从远处走到灯下，再远离路灯这一过程中，他在地上的影子（　　） A．逐渐变短 B．先变短后变长 C．先变长后变短 D．逐渐变长 6．已知一个几何体从三个不同方向看到的图形如图所示，则这个几何体是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．棱锥 7．如左下图，胶带的左视图是（　　） A． B． C． D． 8．已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积为（　　） A． B． C． D． 9．将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为xcm的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体.当ｘ取下面哪个数值时，长方体的体积最大（） A．7 B．6 C．5 D．4 10．如图，扇形DOE的半径为3，边长为的菱形OABC的顶点A，C，B分别在OD，OE，弧ED上，若把扇形DOE围成一个圆锥，则此圆锥的高为（　　） A． B． C． D． 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．已知圆锥的底面圆直径是2，母线是3，则圆锥的侧面积是　 　. 12． 一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面和从左面看到的这个几何体的形状图如图所示，请搭出所有满足条件的几何体，则搭出的几何体最少要　 　个小立方块． 13．如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为　 　． 14．在中，，以直角边所在的直线为轴，将旋转一周，则所得的几何体的侧面积是 　 　（结果保留π）. 15．如图，圆锥的底面半径OB长为5cm，母线AB长为15cm，则这个圆锥侧面展开图的圆心角α为 　 　度． 16．如图，圆锥的母线长OA为8，底面圆的半径为4.若一只蚂蚁在底面上点A处，在相对母线OC的中点B处有一只小虫，蚂蚁要捉小虫，需要爬行的最短路程为　 　. 三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．如图是无盖长方体盒子的表面展开图． （1）求表面展开图的周长（粗实线的长）； （2）求盒子底面的面积． 18．如图，边长为acm的正方体其上下底面的对角线AC、A1C1与平面H垂直． （1）指出正方体六个面在平面H上的正投影图形； （2）计算投影MNPQ的面积． 19．如图，圆锥底面的半径为10cm，高为10 cm． （1）求圆锥的全面积； （2）若一只蚂蚁从底面上一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处，且SM=3AM，求它所走的最短距离． 20．如图：扇形OAB的圆心角∠AOB=120°，半径OA=6cm， （1）请你用尺规作图的方法作出扇形的对称轴（不写作法，保留作图痕迹） （2）若将此扇形围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径． 21．有一个直径为1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC，如图所示． （1）求被剪掉阴影部分的面积： （2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？ 22．已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m． （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影 （2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长． 23．用6个小正方体搭一个立体图形． （1）给出它的左视图如图①所示，能确定它的形状吗？ （2）再给出它的俯视图如图②所示，你能搭出图形吗？请画出它的主视图． 24．如图，图1为一个长方体，AB=AD=16，AE=6，图2为左图的表面展开图，请根据要求回答问题： （1）面“学”的对面是面什么？ （2）图1中，M、N为所在棱的中点，试在图2中画出点M、N的位置； 并求出图2中△ABN的面积． 25．如图，S为一个点光源，照射在底面半径和高都为2m的圆锥体上，在地面上形成的影子为EB，且∠SBA=30°．（以下计算结果都保留根号） （1）求影子EB的长； （2）若∠SAC=60°，求光源S离开地面的高度． 答案 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是(　　) A．球 B．直立圆柱 C．圆锥 D．倒放圆柱 【答案】B 【解析】【解答】解：A、球的主视图和左视图都是圆，不符合题意； B、 直立圆柱的主视图和左视图都是矩形，符合题意； C、圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，不符合题意； D、倒放圆柱的主视图是矩形，左视图是圆形，不符合题意. 故答案为：B. 【分析】根据各几何体的主视图和左视图判断即可. 2．如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，则它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：从上面看易得上面一层有3个正方形，下面中间有一个正方形． 故答案为：A． 【分析】根据从上面看几何体得到的图形解题即可． 3．下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：A、球的三视图都是圆，此选项符合题意； B、长方体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是正方形，此选项不符合题意； C、圆柱体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，此选项不符合题意； D、三棱柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是三角形，此选项不符合题意. 故答案为：A. 【分析】根据三视图的概念分别判断即可求解. 4．如图的几何体是由10个相同的小正方体搭成的，若移走下列中的一块小正方体后，该几何体的主视图会发生改变，则可能移走的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【解析】【解答】解：由几何体的搭建可知，若移走下列中的一块小正方体后，该几何体的主视图会发生改变，则可能移走的小正方体是④. 故答案为：D. 【分析】根据主视图是从正面看到的图像即可判断. 5．晚上小亮在路灯下散步，在小亮从远处走到灯下，再远离路灯这一过程中，他在地上的影子（　　） A．逐渐变短 B．先变短后变长 C．先变长后变短 D．逐渐变长 【答案】B 【解析】【解答】解：晚上小亮在路灯下散步，当小亮从远处走到灯下的时候，他在地上的影子由长变短，当他再远离路灯的时候，他在地上的影子由短变长． 故选B． 【分析】根据中心投影的定义当小亮从远处走到灯下，他在地上的影子逐渐变短，当他再远离路灯的时，他在地上的影子逐渐变长． 6．已知一个几何体从三个不同方向看到的图形如图所示，则这个几何体是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．棱锥 【答案】B 【解析】【解答】解：∵主视图和左视图都是三角形， ∴此几何体为椎体， ∵俯视图是一个圆， ∴此几何体为圆锥． 故选B． 【分析】由主视图和左视图可得此几何体为锥体，根据俯视图是圆及圆心可判断出此几何体为圆锥． 7．如左下图，胶带的左视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：由题意可得： 从左边看是曲面，且投在平面当中为矩形，中间是两条虚线 故答案为：B 【分析】根据三视图进行判断即可求出答案. 8．已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：设圆锥侧面扇形的圆心角为n°，由题意得， 解得n=288， ∴ 圆锥的侧面积为：. 故答案为：D. 【分析】设圆锥侧面扇形的圆心角为n°，根据圆锥侧面扇形的弧长等于底面圆的周长建立方程可求出n的值，进而根据扇形的面积计算公式“s=”计算即可. 9．将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为xcm的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体.当ｘ取下面哪个数值时，长方体的体积最大（） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【解析】【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【解答】长方体体积=（30-2x)2x， 将x=7代入得：体积为（30-14)2×7=1792； 将x=6代入得：体积为（30-12)2×6=1944； 将x=5代入得：体积为（30-10)2×5=2000； 将x=4代入得：体积为（30-8)2×4=1936， 则x=5时，体积最大． 故选C． 【点评】本题虽然是选择题，但答案的获得需要学生经历一定的实验操作过程，当然学生也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟（想象)折纸、翻转活动，较好地考查了学生空间观念 10．如图，扇形DOE的半径为3，边长为的菱形OABC的顶点A，C，B分别在OD，OE，弧ED上，若把扇形DOE围成一个圆锥，则此圆锥的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【分析】连接OB，AC，BO与AC相交于点F，∵在菱形OABC中，AC⊥BO，CF=AF，FO=BF，∠COB=∠BOA，又∵扇形DOE的半径为3，边长为，∴FO=BF=1.5，cos∠FOC=，∴∠FOC=30°，∴∠EOD=2×30°=60°，∴弧ED的长=，底面圆的周长为：2πr=π，解得：，∵圆锥母线为3，则此圆锥的高为：，故选：C． 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．已知圆锥的底面圆直径是2，母线是3，则圆锥的侧面积是　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：∵圆锥的底面圆直径是2，母线是3， ∴圆锥的侧面积为：. 故答案为：. 【分析】根据扇形的面积公式“”计算圆锥的侧面积即可. 12． 一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面和从左面看到的这个几何体的形状图如图所示，请搭出所有满足条件的几何体，则搭出的几何体最少要　 　个小立方块． 【答案】5 【解析】【解答】满足条件的几何体有3种搭建方法，如下： 其中每个正方形内标的数字代表该位置小立方块的数量， 所以，组成几何体的小立方块的数量分别为：6，5，5， 所以，最少需要5块， 故答案为：5. 【分析】根据简单几何体三视图的定义分别画出满足从正、左面看到的形状的情况，从而求解. 13．如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为　 　． 【答案】/ 【解析】【解答】解：∵底面圆的直径AB=6cm， ∴底面圆的周长=6πcm. 设圆锥侧面展开后的扇形圆心角为n°， ∵底面圆的周长=侧面展开扇形的弧长， ∴6π=， ∴n=120°， ∴∠APD=60°. ∵PA=PB，∠APB=60°， ∴△PAB为等边三角形. ∵D为PB的中点， ∴AD⊥PB. ∵PA=9cm，PD=cm， ∴AD=cm， ∴蚂蚁爬行的最短距离为cm. 故答案为：cm. 【分析】根据底面圆的直径可得周长，设圆锥侧面展开后的扇形圆心角为n°，由底面圆的周长=侧面展开扇形的弧长可求出n的度数，进而推出△PAB为等边三角形，得到AD⊥PB，利用勾股定理可得AD，据此解答. 14．在中，，以直角边所在的直线为轴，将旋转一周，则所得的几何体的侧面积是 　 　（结果保留π）. 【答案】60π或80π 【解析】【解答】解：∵， ∴； 以直角边所在的直线为轴，将△ABC旋转一周，所得图形为圆锥； ①绕AC旋转一周， 则圆锥的母线，圆锥底面半径， ∴圆锥的侧面积； ②绕BC旋转一周， 则圆锥的母线，圆锥底面半径， ∴圆锥的侧面积； 综上：所得的几何体的侧面积是：或. 故答案为：或. 【分析】首先根据勾股定理算出BC的长，由于以直角边所在的直线为轴，将△ABC旋转一周，所得图形为圆锥，故分①绕AC旋转一周，②绕BC旋转一周，两种情况分别找出圆锥的母线长及圆锥底面半径，进而根据圆锥的侧面积S直接计算即可. 15．如图，圆锥的底面半径OB长为5cm，母线AB长为15cm，则这个圆锥侧面展开图的圆心角α为 　 　度． 【答案】120 【解析】【解答】解：圆锥底面周长=2×5π=10π， ∴扇形的圆心角α的度数=圆锥底面周长×180÷15π=120°． 故答案为：120． 【分析】先由半径求得圆锥底面周长，再由扇形的圆心角的度数=圆锥底面周长×180÷15π计算． 16．如图，圆锥的母线长OA为8，底面圆的半径为4.若一只蚂蚁在底面上点A处，在相对母线OC的中点B处有一只小虫，蚂蚁要捉小虫，需要爬行的最短路程为　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°， 依题可得： 底面圆的直径AC=8， ∴底面圆的周长=8π. ∴8π= ， ∴n=180， ∴展开图(如图所示)中∠A'OB=90°， 在Rt△A'BO中， ∴A'B== ， ∴蚂蚁爬行的最短路程为 . 【分析】设圆锥侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据圆锥侧面展开图特点：扇形的弧长即为底面圆的周长，由此得出展开图扇形圆心角的度数，（如图）在Rt△A'BO中，根据勾股定理得出A'B长度，即为蚂蚁爬行的最短路程. 三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．如图是无盖长方体盒子的表面展开图． （1）求表面展开图的周长（粗实线的长）； （2）求盒子底面的面积． 【答案】（1）如图所示：表面展开图的周长为：2a+2b+4c； （2）盒子的底面长为：a﹣（b﹣c）=a﹣b+c． 盒子底面的宽为：b﹣c． 盒子底面的面积为：（a﹣b+c）（b﹣c）=ab﹣b2+2bc﹣ac﹣c2 【解析】【分析】（1） 无盖长方体盒子的表面展开图的周长就是 粗实线的长 ，利用平移的方法及长方体的性质即可得出； （2）根据示意图求得该 长方体盒子 的长与宽，然后根据矩形的面积计算方法即可算出答案。 18．如图，边长为acm的正方体其上下底面的对角线AC、A1C1与平面H垂直． （1）指出正方体六个面在平面H上的正投影图形； （2）计算投影MNPQ的面积． 【答案】（1）正方体在平面H上的正投影图形是矩形 （2）∵正方体边长为acm，∴BD= = （cm），∴投影MNPQ的面积为 = （cm2）． 【解析】【分析】（1）根据 正方体的摆放角度判断出其六个面在平面H上的正投影图形是矩形 ； （2）首先利用勾股定理算出BD的长，该长就是矩形MNPQ的长MQ，其投影矩形的宽就是正方体的高，然后滚局矩形的面积计算方法即可算出答案。 19．如图，圆锥底面的半径为10cm，高为10 cm． （1）求圆锥的全面积； （2）若一只蚂蚁从底面上一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处，且SM=3AM，求它所走的最短距离． 【答案】（1）解：由题意，可得圆锥的母线SA= =40（cm） 圆锥的侧面展开扇形的弧长l=2π•OA=20πcm ∴S侧= L•SA=400πcm2 S圆=πAO2=100πcm2， ∴S全=S侧+S底=（400+100）π=500π（cm2）； （2）解：沿母线SA将圆锥的侧面展开，如右图，则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短距离 由（1）知，SA=40cm，弧AA′=20πcm ∵ =20πcm， ∴∠S=n= =90°， ∵SA′=SA=40cm，SM=3A′M ∴SM=30cm， ∴在Rt△ASM中，由勾股定理得AM=50（cm） 所以，蚂蚁所走的最短距离是50cm． 【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再求出圆锥侧面展开图的扇形的弧长，就可求出圆锥的底面圆的面积及侧面积，然后根据 S全=S侧+S底，就可解答问题。 （2）沿母线SA将圆锥的侧面展开，如右图，则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短距离， 利用弧长公式求出扇形圆心角的度数，就可证得△ASM是直角三角形，再根据SM=3AM，求出SM的长，然后利用勾股定理求出AM的长。 20．如图：扇形OAB的圆心角∠AOB=120°，半径OA=6cm， （1）请你用尺规作图的方法作出扇形的对称轴（不写作法，保留作图痕迹） （2）若将此扇形围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径． 【答案】（1）解：如图所示： （2）解：扇形的圆心角是120°，半径为6cm， 则扇形的弧长是： = =4π 则圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是4π， 设圆锥的底面半径是r， 则2πr=4π， 解得：r=2． 圆锥的底面半径是2cm． 【解析】【分析】（1）连接AB，作弦AB的垂直平分线，即可作出此扇形的对称轴。 （2）根据圆锥的底面圆的周长等于圆锥侧面展开图的扇形的弧长，列方程求解即可。 21．有一个直径为1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC，如图所示． （1）求被剪掉阴影部分的面积： （2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？ 【答案】（1）解：如图，连接BC， ∵∠BAC=90°， ∴BC为⊙O的直径，即BC=1m， 又∵AB=AC， ∴ ． ∴ （平方米） （2）解：设底面圆的半径为r，则 ， ∴ ． 圆锥的底面圆的半径长为 米． 【解析】【分析】（1）由∠BAC=90°，得BC为⊙O的直径，即BC=1m；又由AB=AC，得到AB= BC= ，而S阴影部分=S⊙O﹣S扇形ABC，然后根据扇形和圆的面积公式进行计算即可；（2）扇形的半径是AB= ，扇形BAC的弧长l= = π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，然后利用弧长公式计算． 22．已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m． （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影 （2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长． 【答案】（1）解答：连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影． （2）∵AC∥DF， ∴∠ACB=∠DFE． ∵∠ABC=∠DEF=90° ∴△ABC∽△DEF． ∴， ∴ ∴DE=10（m）． 【解析】分析：（1）根据投影的定义，作出投影即可 （2）根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例 构造比例关系 ，计算可得DE=10（m）． 23．用6个小正方体搭一个立体图形． （1）给出它的左视图如图①所示，能确定它的形状吗？ （2）再给出它的俯视图如图②所示，你能搭出图形吗？请画出它的主视图． 【答案】（1）解：左视图只能体现出几何体的宽和高，剩下2个正方体可摆放在那三行中的很多位置，所以不能确定它的形状 （2）解：从正面看从左往右2列正方形的个数依次为2，2． 【解析】【分析】（1）只能断定有3行，高2层，不能确定其具体形状；（2）俯视图可决定最底层的正方体的个数，再在第二横行第二层上搭两个即可． 24．如图，图1为一个长方体，AB=AD=16，AE=6，图2为左图的表面展开图，请根据要求回答问题： （1）面“学”的对面是面什么？ （2）图1中，M、N为所在棱的中点，试在图2中画出点M、N的位置； 并求出图2中△ABN的面积． 【答案】（1）解：长方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “学”与“国”是相对面， “叶”与“际”是相对面， “枫”与“校”是相对面， 答：面“学”的对面是面国 （2）解：点M、N如图所示， ∵N是所在棱的中点， ∴点N到AB的距离为 ×16=8， ∴△ABN的面积= ×16×8=64． 【解析】【分析】（1）将正方体侧面展开，根据侧面展开图即可得出结果； （2）由侧面展开图可以判断出M、N的位置，从而可求出△ABN的面积。 25．如图，S为一个点光源，照射在底面半径和高都为2m的圆锥体上，在地面上形成的影子为EB，且∠SBA=30°．（以下计算结果都保留根号） （1）求影子EB的长； （2）若∠SAC=60°，求光源S离开地面的高度． 【答案】（1）∵圆锥的底面半径和高都为2m， ∴CH=HE=2m， ∵∠SBA=30°， ∴HB=2m， ∴影长BE=BH﹣HE=2﹣2（m）； （2）作CD⊥SA于点D， 在Rt△ACD中， 得CD=ACcos30°=AC=， ∵∠SBA=30°，∠SAB=∠SAC+∠BAC=60°+45°=105°， ∴∠DSC=45°， ∴SC===2， ∴SB=2+BC=2+4， ∴SF=SB=（+2）m， 答：光源S离开地面的高度为（2+）m． 【解析】【分析】（1）根据已知得出CH=HE=2m，进而得出HB的长，即可得出BE的长； （2）首先求出CD的长进而得出∠DSC=45°，利用锐角三角函数关系得出SC的长即可． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $