精品解析：浙江嘉兴八校联盟2025-2026学年第二学期高二期中联考数学试题

2025学年第二学期嘉兴八校联盟期中联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题Ⅰ（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列求导数运算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用初等函数的导数公式运算即可求解. 【详解】依题意，. 2. 甲、乙、丙去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则听讲座的种数为（ ） A. 7 B. 12 C. 81 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】甲、乙、丙去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座， 即每人去听一个讲座共有种选择，则三人各选一个讲座种数为． 故选：D． 3. 的展开式中的系数为（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式代值计算即得. 【详解】展开的通项公式为，, 取，则的展开式中的系数是． 故选: D. 4. 设随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由随机变量的分布列的性质得到答案. 【详解】由题意知，解得. 故选：B. 5. 某知识过关题库中有三种难度的题目数分别为，其中小明完成型题目的正确率分别为，小明从该题库中任选一道题完成，做对的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设小明选道类试题为事件， 小明选道类试题为事件，小明选道类试题为事件， 设小明答对试题为事件，则， ，， ，，， 故，故C正确. 6. 设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由的图象可得，在轴的左侧，图象下降，递减，即有导数小于0，可排除C，D； 再由轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数递减，再递增，后递减，即有导数先小于0，再大于0，最后小于0，可排除A；则B正确． 7. 某空间站由三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 150 B. 90 C. 60 D. 30 【答案】A 【解析】 【详解】共5名宇航员同时在3个舱中开展实验，则有两种情况， 若按人数分为三组，则有种方法， 若按人数分为三组，则有种方法， 共有种不同方法. 8. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得，当在上单调递增， 上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 由基本不等式可得，当且仅当时，即时取等号， 所以时，在上恒成立. 二、选择题Ⅱ（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 若的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的可能取值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】ABC 【解析】 【分析】借助二项式系数的性质逐项判断即可得. 【详解】A选项，此时展开式有8项，第4、5项二项式系数最大且相等，满足题意，故A正确； B选项，此时展开式有9项，第5项二项式系数最大，满足题意，故B正确； C选项，此时展开式有10项，第5、6项二项式系数最大且相等，满足题意，故C正确； D选项，此时展开式有11项，第6项二项式系数最大，不满足题意，故D错误. 10. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】应用正态分布的对称性及数学期望计算分别判断各个选项. 【详解】由正态分布的定义知，A正确； 由，得，B正确； ，C错误； ，D错误. 故选：AB. 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减，在上单调递增 B. C. 设有3个不同的零点，则 D. 若方程 有6个不等实数根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】求导，根据导数与函数的单调性的关系即可判断出AB；问题转化为，画图判断交点问题判断选项C；由题可知在时有3个解即可结合函数图象可判断D. 【详解】对于A选项，的定义域为，所以A选项错误； 对于B选项，对函数求导，，令可得，函数在上单调递增，， 所以，所以B选项正确； 令可得且， 当时，，此时函数在上单调递减且， 当时，，，此时函数在上单调递减且， 画出大致函数图象如下图： 则大致函数图象如下图： 对于C选项，令 ，即， 有3个不同的零点等价于函数和函数有3个不同的交点， 由图象可知，，解得，所以C选项正确； 对于D选项，方程有6个不等实数根等价于函数和函数有6个不同的交点， 由图象可知，，所以D选项正确． 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数在处的切线斜率为________． 【答案】2 【解析】 【分析】对函数进行求导，再利用导数的几何意义即可求解. 【详解】， . 13. 已知随机变量的分布列如下，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】先根据期望和方差公式求出，即可得解. 【详解】由题意可得：， 所以. 故答案为：1. 14. 近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A，B角色不可同时为女生．则店主共有__________种选择方式． 【答案】348 【解析】 【分析】根据题意，按照选出的女生人数进行分类，分别求出每一类的选择种数，然后相加即可求解. 【详解】由题意，根据选出的女生人数进行分类， 第一类：选出1名女生，先从3名女生中选1人，再从四名男生中选3人，然后安排角色，两名男生扮演A，B角色有种，剩余的1名男生和女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，女生先选有，剩下的一个角色从3名男生中选1人，则种，所以共有种， 第二类：选出2名女生，先从3名女生中选2人，再从四名男生中选2人，然后安排角色，两名男生扮演A，B角色有种，剩余的2名女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有，剩下的一个角色从2名男生中选1人，则种，所以共有种， 第三类：选出3名女生，从先从3名女生中选3人，再从四名男生中选1人，然后安排角色，A，B角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有，剩下的一个角色让男生扮演，余下的2名女生扮演角色C，所以共有种， 由分类计数原理可得：店主共有种选择方式， 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）的单调递增区间为，；单调递减区间为. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可. （2）利用导数的正负判断函数的单调性即可； 【小问1详解】 因为， 则，且， 所以切线方程为，即. 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 因为， 令，得或， 所以的单调递增区间为，； ，得，的单调递减区间为. 综上，的单调递增区间为，；单调递减区间为. 16. 已知． （1）求各项的系数和； （2）求展开式中的常数项； 【答案】（1）4096 （2）960 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，令，可得各项的系数和； （2）利用二项展开式的通项公式求解即可. 【小问1详解】 令，则各项的系数和为. 【小问2详解】 设展开式中常数项为第项， 即，，， 令，得， ． 17. 袋中有除颜色外均相同的6个红球，7个黑球，若从中任取3个． （1）求恰有1个红球的概率； （2）设3个球中，黑球的个数为X，求X的分布列及数学期望； 【答案】（1） （2） X 0 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用组合数公式及古典概率公式求解. （2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望. 【小问1详解】 设从袋中任取3个球恰有1个红球为事件A， 则. 【小问2详解】 依题意，X的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， X的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望． 18. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． （1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自A部门．从这6名部门领导中随机选取2人，求2人都来自于A部门的概率； （2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润其他成本和费用）． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）1100万元 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的定义即可求解； （2）（ⅰ）记事件“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），根据概率加法公式和事件相互独立定义即可求解； （ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，然后根据二项分布期望公式结合条件即得. 【小问1详解】 根据题意，6名部门领导参加，恰有3人来自A部门，2人都来自于A部门的概率为 【小问2详解】 （ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第i轮培训达到优秀”（，2，3）， ，根据概率加法公式和事件相互独立定义得， ． 即每位员工经过培训合格的概率为． （ⅱ）记A，B两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为Y，则，则， 所以（万元） 即估计A，B两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元． 19. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若，求的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的正负判断函数单调性； （2）转化问题为对于恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可； （3）结合（2）可得，进而证明即可求证. 【小问1详解】 当时，，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由，则对于恒成立， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，则的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知，当时，，则， 所以， 设，，则， 所以函数在上单调递增， 则，即，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期嘉兴八校联盟期中联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题Ⅰ（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列求导数运算正确的有（ ） A. B. C. D. 2. 甲、乙、丙去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则听讲座的种数为（ ） A. 7 B. 12 C. 81 D. 64 3. 的展开式中的系数为（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 4. 设随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 5. 某知识过关题库中有三种难度的题目数分别为，其中小明完成型题目的正确率分别为，小明从该题库中任选一道题完成，做对的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 某空间站由三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 150 B. 90 C. 60 D. 30 8. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题Ⅱ（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 若的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的可能取值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 10. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减，在上单调递增 B. C. 设有3个不同的零点，则 D. 若方程 有6个不等实数根，则 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数在处的切线斜率为________． 13. 已知随机变量的分布列如下，则______. 14. 近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A，B角色不可同时为女生．则店主共有__________种选择方式． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 16. 已知． （1）求各项的系数和； （2）求展开式中的常数项； 17. 袋中有除颜色外均相同的6个红球，7个黑球，若从中任取3个． （1）求恰有1个红球的概率； （2）设3个球中，黑球的个数为X，求X的分布列及数学期望； 18. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． （1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自A部门．从这6名部门领导中随机选取2人，求2人都来自于A部门的概率； （2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润其他成本和费用）． 19. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若，求的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $