第7章《一元一次不等式》考点专题复习清单2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

华东师大版第7章《一元一次不等式》考点专题复习清单 ( 考点汇编 ) 考点1：不等式的定义 例1、下列式子：①；②；③；④；⑤.其中是不等式的有（  C   ） A、5个 B、4个 C、3个 D、2个 【同步练习】 1、在下面的式子中，不等式有（   B   ） ①；②；③；④；⑤ A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 2、式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（ D） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 考点2：不等式的基本性质 例2、已知，，下列判断正确的是（ C    ） A、 B、 C、 D、 【同步练习】 1、若，则下列式子一定成立的是（   D  ） A、 B、 C、 D、 2、下列说法不正确的是（  C   ） A、若，则 B、若，则 C、若，则 D、若，则 3、若，则下列不等式不一定成立的是（    D ） A、 B、 C、 D、 考点3：解一元一次不等式 例3、解不等式： 【详解】解：去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 【点评】根据解一元一次不等式的基本步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，即可求出解． 【同步练习】 1、不等式的负整数解有（ B    ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、不等式的正整数解的个数是（   C ） A、0 B、1 C、2 D、3 3、不等式的最小整数解是（ B  ） A、 B、 C、 D、0 4、解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来。 （1）； （2） 【详解】（1）解：去括号，得： 移项，合并同类项，得． 用数轴表示为： （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为1，得 用数轴表示为： 【点评】（1）根据解不等式的基本步骤求解即可；（2）根据解不等式的基本步骤求解即可． 例4、为破解山区农产品出山“最后一公里”难题，某农村合作社巧用无人机为当地群众打通农产品出山的“空中走廊”。该合作社目前有A，B两款无人机为农户提供吊运服务，据了解2架A款无人机和1架B款无人机每次满载可吊运农作物共180千克，1架A款无人机和2架B款无人机每次满载可吊运农作物共210千克。 （1）求A，B两款无人机每架满载可吊运农作物各多少千克？ （2）合作社现要吊运810千克的农作物，计划使用A，B两款无人机共12架进行吊运，为了次此吊运完成，则至少使用多少架B款无人机？ 【详解】（1）解：设A款无人机每架满载可吊运农作物x千克，B款无人机每架满载可吊运农作物y千克，根据题意得： ，解得： 答：A款无人机每架满载可吊运农作物50千克，B款无人机每架满载可吊运农作物80千克； （2）解：设使用m架B款无人机，则使用（）架A款无人机，根据题意得： 解得： 答：至少使用7架B款无人机． 【同步练习】 1、随着“双减”政策的逐步落实，某校为了加强学生的体育锻炼，准备从某体育用品店购买若干个篮球和排球。 （1）若该学校第一次到该体育用品店购买篮球和排球共100个，且购买排球数量不少于篮球数量的，那么该学校最多可以购买多少个篮球？ （2）若此体育用品店篮球的售价为每个160元，排球的售价为每个120元，学校第二次从该体育用品店一次性购买篮球和排球共60个，总费用不超过8640元，那么学校最多可以购买多少个篮球？ 【详解】（1）解：设学校购买篮球x个，则购买排球（）个， 依题意得： 解得：． 答：该学校最多可以购买60个篮球． （2）解：设学校购买篮球y个，则购买排球（）个 依题意得： 解得 答：学校最多可以购买篮球36个． 2、某中学为改善教学条件，计划采购一批智慧教学设备，有A、B两种型号的智能交互一体机可供选择。已知购买2台A型一体机和1台B型一体机共需20000元，购买3台A型一体机和2台B型一体机共需34000元。 （1）求A型一体机和B型一体机的单价各是多少元； （2）根据教学需求，该校计划采购A型和B型一体机共20台，且总预算不超过144000元，问最多可购买B型一体机多少台？ 【详解】（1）解：设A型一体机的单价是x元，B型一体机的单价是y元， 依题意，得： 解得：． 答：A型一体机单价为6000元，B型一体机单价为8000元； （2）解：设购进B型一体机m台，则购进A型一体机（）台 依题意，得： 解得：． ∵m为整数 ∴m的最大值为12． 答：最多可购买B型一体机12台。 3、某商场计划在五一期间采购A，B两款礼盒回馈顾客，已知购买1盒A款礼盒和1盒B款礼盒共需150元；购买2盒A款礼盒与1盒B款礼盒共需230元。 （1）求A款礼盒和B款礼盒的单价； （2）若该商场计划采购A，B两款礼盒共25盒，且总费用不超过1900元，则最多可以采购A款礼盒多少盒？ 【详解】（1）解：设A款礼盒单价为x元/盒，B款礼盒的单价为y元/盒，根据题意得： ， 解得， 答：A款礼盒单价为80元/盒，B款礼盒的单价为70元/盒． （2）解：设采购A款礼盒a盒，则B款礼盒（）盒，根据题意得： 解得： 答：最多可以采购A款礼盒15盒． 考点4：解一元一次不等式组 例5、解不等式组： （1） （2） 【详解】解： 解不等式①，得： 解不等式②，得： ∴不等式组的解集为． （2） 【详解】解：解不等式①得： 解不等式②得：， 因此，原不等式组的解为． 【点评】先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再根据不等式组解集的确定规则得到最终结果，掌握一元一次不等式的解法是解题的关键。 【同步练习】解不等式组： （1） 【详解】解：解不等式①得：（7分） 解不等式②得：（9分） ∴不等式组的解集为：（10分） （2） 【详解】解：解不等式①得：…………………………………1分 解不等式②得：…………………………………………………2分 则不等式组的解集为：……………………………………4分 ∴不等式组的解集在数轴上表示为： ( - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 ) ……………………………………5分 例6、若关于x的不等式组恰好有2个正整数解，则a的取值范围为______. 【答案】 【同步练习】 1、关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是（  A   ） A、 B、 C、 D、 2、已知关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是（  B  ） A、 B、 C、 D、 3、若不等式组的解集为，则的值是__________；【答案】 4、如果不等式组的解集是，则________；【答案】5 5、已知不等式组的解集是，则的值为_______；【答案】1 6、若关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是______； 【答案】 7、关于x的不等式组恰好有5个整数解，则m的取值范围是__ ___. 【答案】 例7、已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式 （1）求实数m的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数m的值。 【详解】（1）解： ，得： ∴ ∵ ∴ ∴． （2）解：不等式可变形为． ∵的解集为 ∴ ∴ 由（1）有， ∴ ∴整数m的值为，． 【同步练习】 1、已知关于x、y的方程组 （1）若该方程组的解满足，求m的值； （2）若该方程组的解满足x为正数，y为负数，求m的取值范围； （3）在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数m的值。 【详解】（1）解： 由得： ∴ 得： ∴ ∵该方程组的解满足， ∴ ∴； （2）由（1）得： ∵该方程组的解满足x为正数，y为负数 ∴，解得：； （3）解：∵ ∴ ∵不等式的解为 ∴ 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴m的整数值为0． 2、已知关于x，y的方程组的解满足以下条件： （1）若，求m的值； （2）若x为非正数，y为负数，求m的取值范围。 【详解】（1）解： 得， ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解： 得， ∴ 将代入得， ∴ ∵x为非正数，y为负数 ∴ 解得． 例8、某水果店计划在春节购进杨梅、龙眼两种水果。已知购进杨梅2斤，龙眼3斤共需69元；购进杨梅1斤，龙眼4斤共需72元。 （1）杨梅、龙眼每斤的价格分别是多少元？ （2）该水果店计划用不超过540元购进杨梅、龙眼共40斤，且杨梅的斤数不超过龙眼斤数的3倍。若杨梅的购进斤数为整数，则共有多少种进货方案？（不需要一一列出） 【详解】（1）解：设杨梅每斤的价格是a元，龙眼每斤的价格是b元， 根据题意，得，解得 答：杨梅每斤的价格是12元，龙眼每斤的价格是15元； （2）解：设杨梅购进x斤，则龙眼购进（）斤， 由题意，可得， 解得 ∵x为整数， ∴共有11种进货方案． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，正确列出二元一次方程组或一元一次不等式组是解题的关键． 【同步练习】 1、地摊经济增加了城市的烟火气，从而让城市变得更加生动和有趣。某个体户准备购买A，B两款T恤共50套摆地摊销售，预计投资不少于1800元，但不超过1830元，T恤的进价和售价如下表： A B 进价（元/件） 40 30 售价（元/件） 55 40 （1）该个体户有几种购买T恤的方案？请分别列出来； （2）该个体户能够获得的最大利润是多少？ （3）若将每套A款T恤的售价降低a元（），且所有T恤都可以售完，要使（1）中所有方案获利相同，则a的值为多少？ 【详解】（1）解：设购买A款T恤x套，则购买B款T恤（）套 由题意得 解得 ∵x为整数， ∴x的值可以为30或31或32或33 当时，；当时，，当时，，当时，， ∴有 4 种方案：方案1：A款30套，B款20套；方案2：A款31套，B款19套；方案3：A款32套，B款18套；方案4：A款33套，B款17套； （2）解：∵ ∴一套A款T恤的利润比一套B款T恤的利润高 ∴购买A款33套，B款17套时所获得的利润最大，最大利润为 元， 答：该个体户能够获得的最大利润是665元； （3）解：设购买A款T恤x套，则购买B款T恤（）套， 将每套A款T恤的售价降低a元（）后，所获得的利润为 （元） ∵要使（1）中所有方案获利相同， ∴利润的值与x值无关， ∴ ∴ 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，整式加减的应用，正确理解题意是解题的关键。 2、新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具、现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售。据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计40万元；若单次购买A型汽车超过15辆，每辆车进价打九五折；若单次购买B型汽车超过15辆，每辆汽车进价优惠0.5万元。当购买A型和B型汽车各20辆时，共需775万元。 （1）求该汽车销售公司单独购进A，B型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？ （2）因资金紧张，该公司计划以不超过285万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆A型汽车在进价的基础上提高5000元销售，每辆B型汽车在进价的基础上提高6%销售。假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利11万元，该公司有几种购进方案？ （3）为打开B型汽车的销路，该公司决定每辆B型汽车降价a万元，A型汽车的售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，则a的值为______. 【详解】（1）解：设该汽车销售公司单独购进1辆A型汽车的进价是x万元，则该汽车销售公司单独购进1辆B型汽车的进价是（）万元 根据题意得： 解得：， ∴（万元）． 答：该汽车销售公司单独购进1辆A型汽车的进价是15万元，1辆B型汽车的进价是25万元； （2）解：设购进m辆A型汽车，则购进（）辆B型汽车 根据题意得： 解得： 又∵m为正整数 ∴m可以为9，10，11 ∴该公司共有3种购进方案， 方案1：购进9辆A型汽车，6辆B型汽车； 方案2：购进10辆A型汽车，5辆B型汽车； 方案3：购进11辆A型汽车，4辆B型汽车； （3）解：根据（2）中的方案，当方案1和方案2获利相同，则： 解得：， 此时方案1和方案2获利（万元） 方案3获利（万元） ∴要使（2）中所有方案获利相同，则a的值为1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出列出方程和一元一次不等式组。 3、随着deepseek的AI技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便的服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者。同时购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的单价比乙种型号的单价多3万元，经过调研发现购买100套甲种型号的机器人和购买130套乙种型号的机器人所花费用一样。 （1）求甲、乙两种型号的机器人的单价各多少万元？ （2）图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），那么购买甲、乙两种型号的智能机器人各多少套，所花资金最少？最少资金是多少万元？ 【详解】（1）解：设乙种型号机器人的单价为x万元，则甲种型号机器人的单价为（）万元． 根据“购买 100 套甲和 130 套乙费用相同”列方程： 解得 则甲种型号单价为：（万元）． 答：甲种型号机器人单价为13万元，乙种型号为10万元． （2）设购买甲种机器人m套，则购买乙种机器人（）套（，且m为整数）． 总资金． 根据资金不低于 114 万元， 列不等式： 解得： 因为中，W随m增大而增大 所以当时，W最小． 此时乙种机器人：（套） 最少资金：（万元）． 答：购买甲、乙各 5 套时资金最少，最少资金为 115 万元． 【点评】本题考查一元一次方程的实际应用与一元一次不等式的最值问题，解题关键是根据题意建立方程或不等式模型，结合一次函数单调性求解最优方案。 4、已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨。现要将34吨货物一次性运完，且要求租用的车辆都载满。根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，共有几种租车方案？哪种方案租车费用最少？ 【详解】（1）解：设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨． 根据题意：得 解得： 答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨． （2）设租用A型车m辆，B型车n辆，依题意，租用的车辆需恰好运完34吨货物，故有 其中m、n为非负整数． 由方程得： 要求m为非负整数，则必须是3的非负倍数． 得到三组解：或或 方案1：元 方案2：元 方案3：元 共有3种租车方案，其中方案3总费用最低，为1040元． 答：共有3种租车方案，租用2辆A型车和7辆B型车时费用最少，为1040元． 【点睛】本题综合考查学生对实际运输问题建模的能力，涉及二元一次方程组的建立与求解、不定方程的整数解分析以及成本最优化比较．解题时需注意变量的非负整数限制，并逐一验证可能解，避免遗漏或误判．最终通过计算比较得出最优方案，体现了数学建模在物流运输中的实际应用价值。 5、为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩。已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元。若购买A型充电桩10个，B型充电桩5个，共需付款9万元。 （1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？ （2）该停车场计划共购买20个A，B型充电桩，购买总费用不超过13万元，且A型充电桩购买数量不超过12个，共有几种购买方案？ 【详解】（1）解：设A型充电桩单价为x万元，B型充电桩单价为y万元， 由题意知， 解得  答：A型充电桩单价为0.5万元，B型充电桩单价为0.8万元； （2）解：设A型充电桩购入a个，则有 解得 又∵a为整数 ∴或11或12． 答：共有3种购买方案． 【点评】本题考查了二元一次方程组的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键。 （1）根据题意列出方程组并求解即可； （2）根据题意列出不等式并求解即可。 6、海南自贸港某跨境物流企业，为拓展农产品冷链运输业务分两批次采购新能源冷链运输车。第一批购进1辆A型冷链车、4辆B型冷链车，共花费68万元；第二批购进2辆A型冷链车、3辆B型冷链车，共花费76万元（同类型车辆进价不变）。该企业采购经理估计：每辆A型冷链车进价约万元，每辆B型冷链车进价约万元。 （1）求A、B两种型号冷链车的进价，并判断采购经理的估计是否正确； （2）该企业计划再次采购A、B两种型号冷链车共10辆，用于自贸港热带农产品运输，且采购总费用不超过180万元，其中A型冷链车至少采购3辆，求该企业有几种可行的采购方案？ 【详解】（1）解：设A型冷链车进价为x万元，B型冷链车进价为y万元， 依题意得，解得 ∵， ∴采购经理的估计正确， 答：A型冷链车进价20万元，B型冷链车进价12万元，采购经理的估计正确． （2）解：设采购A型冷链车a辆，则采购B型冷链车（）辆， 依题意得： 解得 ∵a为整数， ∴，4，5，6，7 答：该企业有5种可行的采购方案． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键。 7、为加快复工复产，某企业需运输一批物资，据调查得知，3辆大货车与4辆小货车一次可以运输850箱；2辆大货车与5辆小货车一次可以运输800箱。 （1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； （2）计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车运输一次所需费用为4000元，每辆小货车运输一次所需费用为3000元，若大货车的数量不少于6辆，总费用小于45000元。请列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 【详解】（1）解：设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资． 由题意可得： 解得：． 答：1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资． （2）解：设有a辆大货车，（）辆小货车， 由题意可得： ∴ ∵a取正整数， ∴，7，8 ∴有三种运输方案： 方案一：有6辆大货车，6辆小货车，此时费用（元） 方案二：有7辆大货车，5辆小货车，此时费用（元）， 方案三：有8辆大货车，4辆小货车，此时费用（元）， ∵ ∴当有6辆大货车，6辆小货车时，费用最小，最小费用为42000元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键。 ( 探究应用 ) 1、对于任意一个四位数m，若它的千位数字与百位数字的和比十位数字与个位数字的和大2，则称这个四位数m为“大双数”，记为m的各个数位上的数字之和。例如：，∵，∴1632是“大双数”， ；，∵，∴6397不是“大双数”。若与都是“大双数”，且，则“大双数” 是________；已知M，N均为“大双数”，其中，，（，，，，，a，b，c，d，x是整数），已知能被6整除，且为整数，则满足条件的M的最大值与最小值之差为________.【答案】6123 5804 2、阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：∵，∴，又∵，∴，∴ 又∵，∴…………①， 同理可得…………②， 由①＋②得： ∴的取值范围是 按照上述方法，完成下列问题： （1）已知，且，，则的取值范围是____________； （2）若，，，求的取值范围。 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴①， 同理可得②， 由①②得： ∴的取值范围是 故答案为：； （2）解：∵ ∴ ∵， ∴ ∴， 又∵ ∴①， 同理可得②， 由不等式性质，②乘2得③， ①乘3得④， ③④，得 ∴的取值范围是． 【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键。 3、阅读理解题：先阅读下列材料，再解答后面的问题． 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足①，②，求和的值。 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值，再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大。 其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，由可得，由可得． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 请运用上述“整体思想”解决下列问题： 迁移应用： 已知关于x，y的方程组：（m是常数） （1）若，求m的值； （2）若，求m的取值范围． 拓展探究： 七年级某班组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买 39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需 58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元?并说明理由。 【详解】迁移应用： 解： ，得： ∴ ∵， ∴， 解得：； （2） ，得： ∴ ∴ ∵， ∴， 解得：． 拓展探究： 解： 购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需6元 理由如下： 设购买 1支铅笔需a元，1块橡皮需 b元，1本日记本需c元， 由题意得： 得： 所以购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需6元 【点睛】本题主要考查了整体思想解二元一次方程组，解不等式组，解题的关键是熟练掌握整体思想，根据等量关系列出方程组。 4、阅读理解： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”时有如下方法： 解：∵，∴，又∵，∴，∴ 又∵，∴…………①， 同理可得…………②， 由①＋②得： ∴的取值范围是 拓展应用：请按照上述方法，完成下列问题． （1）已知，，，则的取值范围是______； （2）已知关于x，y的方程组的解均为正数，且，求的取值范围。 【详解】（1）解：∵ ∴ 又∵， ∴ ∴． 又∵ ∴．① 同理可得．② 由①＋②得， 故答案为：； （2） 得：，解得： 将代入②得： 解得： ∴ ∵关于x，y的方程组的解均为正数 ∴即 解得 ∵ ∴ 即 ∴． 【点评】本题考查了不等式的性质，求二元一次方程组的解集，不等式组。 （1）仿照示例作答即可； （2）先求出二元一次方程组的解集，根据“解均为正数”列不等式组求出a的取值范围，进而求出b的取值范围，即可求出的取值范围。 5、【阅读理解】 如果是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作． 例如，，，， 那么，，其中． 例如，，， 请你解决下列问题： 【尝试运用】（1）________， ________； 【迁移运用】（2）如果，那么x的取值范围是________________； 【拓展运用】（3）如果，求x的值。 【详解】解：（1），． 故答案为：3，． （2）∵， ∴x的取值范围是． 故答案为：． （3）∵， ∴ 解得：， ∵是整数． ∴或1.5． 【点评】本题考查了新定义下的不等式的应用，关键是理解题中的意义，列出不等式求解． （1）根据表示不超过x的最大整数的定义及例子直接求解即可； （2）根据表示不超过x的最大整数的定义及例子直接求解即可； （3）根据新定义列不等式直接求解即可得到答案。 6、题目：已知关于x、y的方程组 求：（1）若，求a值；（2）若，求a值． 问题解决： （1）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，将可得，又因为，则a值为______； （2）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，若将方程组中的①与②直接进行加减，已经不能解决问题，经过思考，王磊将，，得， 再将得：，又因为，…，请根据王磊的思路，求出m、n及a的值； 问题拓展：（3）已知关于x、y的不等式组，若，求a的取值范围． 【详解】解：（1） 将可得， ∵ ∴ 解得， 故答案为：5； （2）， 将， ，得 由得： ∵ ∴， 由得，，解得 把代入⑤得，，解得， 把，代入⑦得， 解得； （3） 由，得， 由得， ∵ ∴ ∴． 【点评】本题考查含参数的二元一次方程组、含参数的一元一次不等式组，（1）由王磊解决的思路可得，把整体代入求解即可； （2）由王磊解决的思路可得，先利用加减消元法求得，，再代入求a得值即可； （3）由得，，再由得，，把代入不等式求解即可。 7、【阅读感悟】 不等式可等价转化为不等式线或，不等式也可等价转化为不等式组或，我们把不等式与称为同解不等式． 【概念理解】 （1）下列属于同解不等式的是______； ①与；②与；③与；④与． 【问题解决】（2）解不等式：； 【拓展延伸】（3）不等式的解是______． 【详解】（1）解：根据同解不等式的定义可知， ①与，故选项错误； ②与，故选项错误； ③与且，故选项错误 ； ④与，选项正确． 故选：④； （2）解：等价转化为不等式组 ①或②； 不等式组①无解，不等式组②的解为： ∴不等式的解为； （3）解：等价转化为不等式组 ①或② ∵等价转化为不等式组 ③或 ④， 不等式组③无解，不等式组④的解为： ∴的解为； ∵等价转化为不等式组 ⑤或 ⑥， 不等式组⑤的解为 ，不等式组⑥的解为： ∴的解为或 ∴ 不等式组①的解为：或，不等式组②无解， ∴不等式的解为或． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键。 8、阅读材料，解决下列问题． 【阅读材料】已知，且，求y的取值范围。 解：由，得 ∵，∴ 解得，∴y的取值范围是． 【问题探究】 （1）已知，且，求y的取值范围； （2）已知，且，求y的取值范围； （3）已知，且，，设，直接写出a的取值范围。 【详解】（1）解：由，得， ∵ ∴，解得： ∴y的取值范围是； （2）由，得， ∵ ∴，解得： ∴y的取值范围是； （3）由可得 ∵ ∴，解得： ∵ ∴y的取值范围是 ∵ ∴，即， ∴． 【点评】本题考查了不等式的性质，解题的关键是读懂材料中的例子，并掌握不等式的性质。 华东师大版第7章《一元一次不等式》考点专题复习清单（原卷版）——————第 21 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师大版第7章《一元一次不等式》考点专题复习清单 ( 考点汇编 ) 考点1：不等式的定义 例1、下列式子：①；②；③；④；⑤.其中是不等式的有（     ） A、5个 B、4个 C、3个 D、2个 【同步练习】 1、在下面的式子中，不等式有（     ） ①；②；③；④；⑤ A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 2、式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（    ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 考点2：不等式的基本性质 例2、已知，，下列判断正确的是（    ） A、 B、 C、 D、 【同步练习】 1、若，则下列式子一定成立的是（    ） A、 B、 C、 D、 2、下列说法不正确的是（    ） A、若，则 B、若，则 C、若，则 D、若，则 3、若，则下列不等式不一定成立的是（    ） A、 B、 C、 D、 考点3：解一元一次不等式 例3、解不等式： 【同步练习】 1、不等式的负整数解有（     ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、不等式的正整数解的个数是（    ） A、0 B、1 C、2 D、3 3、不等式的最小整数解是（    ） A、 B、 C、 D、0 4、解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来。 （1）； （2） 例4、为破解山区农产品出山“最后一公里”难题，某农村合作社巧用无人机为当地群众打通农产品出山的“空中走廊”。该合作社目前有A，B两款无人机为农户提供吊运服务，据了解2架A款无人机和1架B款无人机每次满载可吊运农作物共180千克，1架A款无人机和2架B款无人机每次满载可吊运农作物共210千克。 （1）求A，B两款无人机每架满载可吊运农作物各多少千克？ （2）合作社现要吊运810千克的农作物，计划使用A，B两款无人机共12架进行吊运，为了次此吊运完成，则至少使用多少架B款无人机？ 【同步练习】 1、随着“双减”政策的逐步落实，某校为了加强学生的体育锻炼，准备从某体育用品店购买若干个篮球和排球。 （1）若该学校第一次到该体育用品店购买篮球和排球共100个，且购买排球数量不少于篮球数量的，那么该学校最多可以购买多少个篮球？ （2）若此体育用品店篮球的售价为每个160元，排球的售价为每个120元，学校第二次从该体育用品店一次性购买篮球和排球共60个，总费用不超过8640元，那么学校最多可以购买多少个篮球？ 2、某中学为改善教学条件，计划采购一批智慧教学设备，有A、B两种型号的智能交互一体机可供选择。已知购买2台A型一体机和1台B型一体机共需20000元，购买3台A型一体机和2台B型一体机共需34000元。 （1）求A型一体机和B型一体机的单价各是多少元； （2）根据教学需求，该校计划采购A型和B型一体机共20台，且总预算不超过144000元，问最多可购买B型一体机多少台？ 3、某商场计划在五一期间采购A，B两款礼盒回馈顾客，已知购买1盒A款礼盒和1盒B款礼盒共需150元；购买2盒A款礼盒与1盒B款礼盒共需230元。 （1）求A款礼盒和B款礼盒的单价； （2）若该商场计划采购A，B两款礼盒共25盒，且总费用不超过1900元，则最多可以采购A款礼盒多少盒？ 考点4：解一元一次不等式组 例5、解不等式组： （1） （2） 【同步练习】解不等式组： （1） （2） 例6、若关于x的不等式组恰好有2个正整数解，则a的取值范围为______. 【同步练习】 1、关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是（    ） A、 B、 C、 D、 2、已知关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A、 B、 C、 D、 3、若不等式组的解集为，则的值是__________； 4、如果不等式组的解集是，则________； 5、已知不等式组的解集是，则的值为_______； 6、若关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是______； 7、关于x的不等式组恰好有5个整数解，则m的取值范围是__ ___. 例7、已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式 （1）求实数m的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式的解集为，请求出整数m的值。 【同步练习】 1、已知关于x、y的方程组 （1）若该方程组的解满足，求m的值； （2）若该方程组的解满足x为正数，y为负数，求m的取值范围； （3）在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数m的值。 2、已知关于x，y的方程组的解满足以下条件： （1）若，求m的值； （2）若x为非正数，y为负数，求m的取值范围。 例8、某水果店计划在春节购进杨梅、龙眼两种水果。已知购进杨梅2斤，龙眼3斤共需69元；购进杨梅1斤，龙眼4斤共需72元。 （1）杨梅、龙眼每斤的价格分别是多少元？ （2）该水果店计划用不超过540元购进杨梅、龙眼共40斤，且杨梅的斤数不超过龙眼斤数的3倍。若杨梅的购进斤数为整数，则共有多少种进货方案？（不需要一一列出） 【同步练习】 1、地摊经济增加了城市的烟火气，从而让城市变得更加生动和有趣。某个体户准备购买A，B两款T恤共50套摆地摊销售，预计投资不少于1800元，但不超过1830元，T恤的进价和售价如下表： A B 进价（元/件） 40 30 售价（元/件） 55 40 （1）该个体户有几种购买T恤的方案？请分别列出来； （2）该个体户能够获得的最大利润是多少？ （3）若将每套A款T恤的售价降低a元（），且所有T恤都可以售完，要使（1）中所有方案获利相同，则a的值为多少？ 2、新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具、现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售。据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计40万元；若单次购买A型汽车超过15辆，每辆车进价打九五折；若单次购买B型汽车超过15辆，每辆汽车进价优惠0.5万元。当购买A型和B型汽车各20辆时，共需775万元。 （1）求该汽车销售公司单独购进A，B型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？ （2）因资金紧张，该公司计划以不超过285万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆A型汽车在进价的基础上提高5000元销售，每辆B型汽车在进价的基础上提高6%销售。假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利11万元，该公司有几种购进方案？ （3）为打开B型汽车的销路，该公司决定每辆B型汽车降价a万元，A型汽车的售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，则a的值为______. 3、随着deepseek的AI技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便的服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者。同时购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的单价比乙种型号的单价多3万元，经过调研发现购买100套甲种型号的机器人和购买130套乙种型号的机器人所花费用一样。 （1）求甲、乙两种型号的机器人的单价各多少万元？ （2）图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），那么购买甲、乙两种型号的智能机器人各多少套，所花资金最少？最少资金是多少万元？ 4、已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨。现要将34吨货物一次性运完，且要求租用的车辆都载满。根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，共有几种租车方案？哪种方案租车费用最少？ 5、为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩。已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元。若购买A型充电桩10个，B型充电桩5个，共需付款9万元。 （1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？ （2）该停车场计划共购买20个A，B型充电桩，购买总费用不超过13万元，且A型充电桩购买数量不超过12个，共有几种购买方案？ 6、海南自贸港某跨境物流企业，为拓展农产品冷链运输业务分两批次采购新能源冷链运输车。第一批购进1辆A型冷链车、4辆B型冷链车，共花费68万元；第二批购进2辆A型冷链车、3辆B型冷链车，共花费76万元（同类型车辆进价不变）。该企业采购经理估计：每辆A型冷链车进价约万元，每辆B型冷链车进价约万元。 （1）求A、B两种型号冷链车的进价，并判断采购经理的估计是否正确； （2）该企业计划再次采购A、B两种型号冷链车共10辆，用于自贸港热带农产品运输，且采购总费用不超过180万元，其中A型冷链车至少采购3辆，求该企业有几种可行的采购方案？ 7、为加快复工复产，某企业需运输一批物资，据调查得知，3辆大货车与4辆小货车一次可以运输850箱；2辆大货车与5辆小货车一次可以运输800箱。 （1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； （2）计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车运输一次所需费用为4000元，每辆小货车运输一次所需费用为3000元，若大货车的数量不少于6辆，总费用小于45000元。请列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ ( 探究应用 ) 1、对于任意一个四位数m，若它的千位数字与百位数字的和比十位数字与个位数字的和大2，则称这个四位数m为“大双数”，记为m的各个数位上的数字之和。例如：，∵，∴1632是“大双数”， ；，∵，∴6397不是“大双数”。若与都是“大双数”，且，则“大双数” 是________；已知M，N均为“大双数”，其中，，（，，，，，a，b，c，d，x是整数），已知能被6整除，且为整数，则满足条件的M的最大值与最小值之差为________. 2、阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：∵，∴，又∵，∴，∴ 又∵，∴…………①， 同理可得…………②， 由①＋②得： ∴的取值范围是 按照上述方法，完成下列问题： （1）已知，且，，则的取值范围是____________； （2）若，，，求的取值范围。 3、阅读理解题：先阅读下列材料，再解答后面的问题． 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足①，②，求和的值。 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值，再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大。 其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，由可得，由可得． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 请运用上述“整体思想”解决下列问题： 迁移应用： 已知关于x，y的方程组：（m是常数） （1）若，求m的值； （2）若，求m的取值范围． 拓展探究： 七年级某班组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买 39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需 58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元?并说明理由。 4、阅读理解： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”时有如下方法： 解：∵，∴，又∵，∴，∴ 又∵，∴…………①， 同理可得…………②， 由①＋②得： ∴的取值范围是 拓展应用：请按照上述方法，完成下列问题． （1）已知，，，则的取值范围是______； （2）已知关于x，y的方程组的解均为正数，且，求的取值范围。 5、【阅读理解】 如果是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作． 例如，，，， 那么，，其中． 例如，，， 请你解决下列问题： 【尝试运用】（1）________， ________； 【迁移运用】（2）如果，那么x的取值范围是________________； 【拓展运用】（3）如果，求x的值。 6、题目：已知关于x、y的方程组 求：（1）若，求a值；（2）若，求a值． 问题解决： （1）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，将可得，又因为，则a值为______； （2）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，若将方程组中的①与②直接进行加减，已经不能解决问题，经过思考，王磊将，，得， 再将得：，又因为，…，请根据王磊的思路，求出m、n及a的值； 问题拓展：（3）已知关于x、y的不等式组，若，求a的取值范围． 7、【阅读感悟】 不等式可等价转化为不等式线或，不等式也可等价转化为不等式组或，我们把不等式与称为同解不等式． 【概念理解】 （1）下列属于同解不等式的是______； ①与；②与；③与；④与． 【问题解决】（2）解不等式：； 【拓展延伸】（3）不等式的解是______． 8、阅读材料，解决下列问题． 【阅读材料】已知，且，求y的取值范围。 解：由，得 ∵，∴ 解得，∴y的取值范围是． 【问题探究】 （1）已知，且，求y的取值范围； （2）已知，且，求y的取值范围； （3）已知，且，，设，直接写出a的取值范围。 华东师大版第7章《一元一次不等式》考点专题复习清单（原卷版）——————第 16 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $