河南许昌第二高级中学等四校2025-2026学年高二下学期4月期中数学试题

高二数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. 20 B. 21 C. 27 D. 42 2. 已知在等差数列中，，则其前17项和（ ） A. 85 B. 68 C. 51 D. 34 3. 已知随机变量的分布列如表所示，且满足，则（ ） 0 3 A. B. C. 4 D. 5 4. 双曲线和抛物线的公共焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若中点的横坐标为5，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 5. 现有18个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一、二班每班至少4个名额，三、四、五班每班至少2个名额，则名额分配方式共有（ ） A. 35种 B. 70种 C. 126种 D. 210种 6. 函数在区间内存在单调递减区间的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，且，则（ ） A. 223 B. 233 C. 243 D. 253 8. 如图，已知椭圆与双曲线（，）有相同的焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. 8 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 是直线的一个方向向量 C. D. 若点是点在平面内的射影，则 10. 寒假期间，甲同学早上去博物馆有三种出行方式：步行、坐轻轨、坐出租车，概率分别为，，.当他步行、坐轻轨和坐出租车时，到达博物馆能立即找到讲解器的概率分别为，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 甲同学今天早上步行出行与坐轻轨出行是互斥事件 B. 甲同学今天早上坐轻轨出行与坐出租车出行相互独立 C. 甲同学到达博物馆能立即找到讲解器的概率大于 D. 若甲同学今天早上到达博物馆立即找到了讲解器，则他是步行出行的概率为 11. 已知直线与函数和的图象分别交于点，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则_________. 13. 已知数列的前项和为，且满足，，则为_________；满足的最小整数为_________. 14. 为迎接国庆佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的4个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球，若摸到一红球一白球，可获得价值百元代金券；若摸到两红球，可获得价值百元代金券；若摸到两白球，可获得价值百元代金券（，均为正整数）.已知每位员工平均可得6百元代金券，则运气最好者至多获得_________百元代金券. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设数列满足，，且. （1）求证：数列为等差数列； （2）求数列的通项公式. 16. 已知（为正整数）展开式的所有项的二项式系数和为128. （1）求展开式中的第4项； （2）求展开式中有理项的个数； （3）求展开式中系数最大的项. 17. 如图，在三棱锥中，平面，，，点是的中点，点为线段上一动点，点在线段上. （1）若为的中点，求证：平面； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为. （1）若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； （2）已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； （3）经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 19. 已知，，是自然对数的底数. （1）求函数的单调区间； （2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； （3）当时，若满足，求证：. 高二数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 4 【14题答案】 【答案】18 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） 已知，移项可得， 设，则，那么， 又，所以数列是以5为首项，5为公差的等差数列； （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）共有4个有理项 （3）5103和 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【18题答案】 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 . （3）数学期望为8，方差为7. 【19题答案】 【答案】（1）当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2） （3）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $