2025--2026学年第二学期高二数学导数与单调性测试卷

2025--2026学年第二学期高二数学导数与单调性测试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 2．函数定义在区间，则 “在上恒成立” 是 “在区间单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不必要也不充分条件 3．函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 4．函数的单调递减区间为，则（    ） A． B．1 C． D． 5．设函数在区间上单调递减，则的最大值是（    ） A． B． C． D．3 6．设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．若函数的单调递减区间为，则的值为（   ） A．6 B．3 C．-3 D．-6 8．函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．题图为的图像，下列判断中正确的是（    ）． A．函数在区间上是严格减函数 B．函数在区间上是严格减函数 C．函数在区间上是严格增函数 D．函数在区间上是严格增函数 10．若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 11．若函数在区间上不单调，则实数的可能取值是（ ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知函数，若对于任意，都有，则实数取值范围是______. 13．函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，则________． 14．已知函数，则的单调增区间为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）已知在R上是减函数，求a的取值范围. 16．(本小题15分）已知函数. (1)若在R上为增函数，求a的取值范围； (2)若在上为增函数，求a的取值范围； (3)若在上为减函数，求a的取值范围； (4)若的单调递减区间为，求a的值； (5)若在上不单调，求a的取值范围． 17．(本小题15分）已知函数，如果在区间上是增函数，求实数的取值范围． 18．(本小题17分）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值，并求函数的单调区间； (2)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围. 19．(本小题17分）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在上单调，求实数a的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年4月25日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A B A A B B AC BD 题号 11 答案 CD 1．C 【分析】根据原函数单调性和导函数正负的关系，结合图象，即可得到答案． 【详解】根据的图象可知在上的单调递增区间是， 所以不等式的解集为． 故选：C 2．A 【详解】若在上恒成立，则在区间单调递增，充分性满足； 若在区间单调递增且可导，则在上（等号在某些点处取得），不能得到， 比如在单调递增，但，以及还有不可导的情况，必要性不满足， 因此“在上恒成立” 是 “在区间单调递增”的充分不必要条件. 3．A 【分析】对函数求导，令导函数为负，求解不等式即可确定函数的单调减区间. 【详解】因为函数，求导得， 令，因此，函数的单调减区间是，故A正确. 4．B 【分析】根据的单调递减区间为，而的定义域为，的一个极值点为1，利用即可得解，然后再代入验证是否满足题意即可. 【详解】， 因为的单调递减区间为，而的定义域为， 所以的一个极值点为1， 所以，解得． 所以，， 令，，解得， 所以的单调递减区间为，符合题意， 综上， 故选：B． 5．A 【分析】求出函数的导函数，依题意在上恒成立，即可得到在上恒成立，从而求出的范围. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上是减函数， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立，因为时，，所以， 所以的最大值是. 故选：A. 6．A 【分析】利用导数求出函数的单调减区间，即可求解． 【详解】的定义域为， 由，解得． 由题意知， 解得． 故选：A 7．B 【分析】先求出导函数，再根据减区间求. 【详解】由题意得， 因为函数的单调递减区间为， 所以的解集为， 即方程的两根为， 所以，解得， 故选:B. 8．B 【分析】根据函数的导数大于0可得增区间. 【详解】因为，. 则， 由，解得，此时单调递增. 故选：B 9．AC 【分析】借助导函数的正负即可得原函数的单调性. 【详解】对A：在区间上，则函数在区间是严格减函数，故A正确； 对B：在区间上有正有负，故B错误； 对C：在区间上，则函数在区间是严格增函数，故C正确； 对D：在区间上有正有负，故D错误； 故选：AC. 10．BD 【分析】将问题转化为导函数有两个零点问题，由判别式可解． 【详解】当时，，显然不满足题意； 当时，依题意知，有两个不相等的零点， 所以，解得且， 故选：BD． 11．CD 【分析】求出函数的极值点，分析可知，函数在区间内存在极值点，可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由可得，由可得或， 所以，函数的增区间为,，减区间为， 所以，函数的极大值点为，极小值点为， 因为函数在区间上不是单调函数， 则该函数在区间内存在极值点，即或， 解得或， 所以，实数的取值范围是. 故选：CD. 12． 【详解】函数的定义域为，， 由题意可知，对于任意，都有， 则函数在上单调递减， 所以当时，恒成立，即恒成立， 由幂函数性质可知，当时，，所以， 故实数取值范围是. 13． 【分析】对函数求导，可求解值，分析导函数符号即可得到函数的单调递增以及递减区间，即可求解. 【详解】根据题意可知， 则可得，令，即， 解之可得或， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以可知，，所以. 故答案为： 14．当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为 【分析】求导，按，，讨论即可. 【详解】函数的导函数， ①，若，；若，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． ②，，此时函数在上单调递增． ③，若，；若，， 此时函数在上单调递减，在上单调递增． 综上所述：当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为. 故答案为：当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为 15．. 【分析】在R上单调递减对恒成立，即恒成立，则从而可求出a的取值范围， 【详解】函数的导数. 等价于对恒成立.即， 即得 综上，所求a的取值范围是. 16．(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）利用导数的正负与函数的单调性之间关系，即可由导数的正负确定单调性. 【详解】（1）因为在R上为增函数，所以在R上恒成立． 所以对恒成立．因为，所以. 又因为时，，在R上为增函数， 所以的取值范围是． （2）因为，且在上为增函数， 所以在上恒成立，所以在上恒成立， 因为，所以，即的取值范围是. （3）因为，且在上为减函数， 所以在上恒成立， 因为，所以， 所以，所以a的取值范围是. （4）. ①当时，，故在R上为增函数，不满足题意； ②当时，由得，解得. 故的递减区间为. 由题意得，解得. （5）. ①当时，，故在R上为增函数，不满足题意； ②当时，因为在上不单调， 所以在内有解，所以，解得； 所以a的取值范围是. 17．． 【分析】根据题意，求得，转化为 恒成立，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意得，函数在区间上是增函数， 可得在恒成立，即在恒成立， 因为函数在上为增函数，则在上为增函数， 可得，所以，所以实数的取值范围是． 18．(1)的单调递增区间为,单调递减区间为. (2) 【分析】（1）由题可知在点处的切线的斜率为2，根据切线的几何意义即可求解的值，然后利用导数研究函数的单调性即可; （2）根据题意在上恒成立，只需，利用基本不等式即可求解最小值. 【详解】（1）,曲线在点处的切线与直线平行, , 当或时，,当时，, 函数的单调递增区间为,单调递减区间为. （2）由题可知在上恒成立， 只需即可, 因为，所以, 当且仅当，即时等号成立， 所以，解得. 19．(1)单调递增区间是，单调递减区间是． (2)． 【分析】（1）求出，利用导数求出单调区间即可； （2）由题意知，当时，恒成立或恒成立，分别求解恒成立问题即可. 【详解】（1）函数的定义域为，当时，． 当时，单调递减； 当时，单调递增． 故的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）由，得． 由题意知，当时，恒成立或恒成立． 若，则在恒成立， 令，则， 因为，所以在单调递减， 所以，故； 若，则在恒成立， 因为当时，故这不可能恒成立， 所以不可能恒成立． 综上，实数a的取值范围是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $