利用导数研究函数的单调性 专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

利用导数研究函数的单调性 题型归纳 题型一：不含参型一次型单调性问题 题型三 含参型一次型单调性问题 题型二 不含参型二次型单调性问题 题型四 含参型二次型单调性问题 题型通关 题型一：不含参型一次型单调性问题 1.（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知函数. (1) 求函数的单调区间. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 【详解】（1）由题函数的定义域为，， 令，解得， 则当时，，故函数在上单调递增， 当时，，故函数在上单调递减. 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 2．（2026高二下·福建漳州·专题练习）已知函数． (1)求函数在点处的切线方程． (2)试判断函数的单调性并写出单调区间； 【答案】(1) (2)单调增区间是，单调减区间是． 【分析】（1）根据函数的导函数的几何意义可得； （2）根据导函数的正负即可判断其单调性及单调区间. 【详解】（1）由函数，所以函数的定义域为， ， 所以，，∴函数在点处的切线方程为：，即． 所以函数在点处的切线方程为. （2）因为函数的定义域为，且， 令，得；令，得， 因此函数的单调增区间是，单调减区间是． 3.（2026高二·全国·专题练习）已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 【答案】(1)； (2)单调递减区间为，单调递增区间为. 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）由（1）中导数，解导数大于0，小于0的不等式求出函数的单调区间. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以函数的图象在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为，由（1）知， 由，得或；由，得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 题型二：不含参型二次型单调性问题 1．（25-26高二下·河南信阳·月考）已知函数，且． (1)求a的值； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)的单调递减区间为，单调递增区间为 【分析】（1）借助导数运算即可求解； （2）求导，令和，可求得的单调区间． 【详解】（1）由，可得， 因为，所以，解得； （2）由（1）得，函数的定义域为. ， 令，得，所以， 又，解得，所以函数在上单调递增. 令，得，所以， 又，解得，所以函数在上单调递减. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 2．（25-26高二下·河北邢台·月考）已知函数，且直线是曲线的切线． (1)求的值； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间，单调递减区间． 【详解】（1），设直线与曲线相切于点，， 所以，解得． 将代入切线方程，可得，所以切点坐标为， 因为切点在曲线上，所以，解得． （2）的定义域为，， 令，解得；令，解得， 所以单调递增区间为，单调递减区间为． 3.（25-26高二下·全国·课堂例题）讨论函数的单调性. 【答案】函数在和上单调递增，在上单调递减. 【分析】求导，根据导数判断即可. 【详解】求导可得， 当时，，当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 题型三：含参型一次型单调性问题 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）求函数的单调区间． 【答案】的单调递减区间是，单调递增区间是 【分析】由导数判断单调性，从而得出单调区间. 【详解】．令，得．当x变化时，与的变化情况如表： x 0 + 所以的单调递减区间是，单调递增区间是． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，，当时，讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】先求导，分、两种情况讨论的正负性即可. 【详解】当时，，定义域为， 得， 当时，，则函数在上单调递减； 当时，令，得；令，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）求导得，分、分别讨论即可. 【详解】（1）若，则， 所以．又， 所以， 故曲线在处的切线方程为， 即； （2）的定义域为，． 当时，， 故在上单调递增； 当时，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减； 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 4．（25-26高三上·江西吉安·期末）已知函数，. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若，设函数的导函数为，讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）代入，对函数求导得出斜率再利用直线的点斜式方程可求得切线方程； （2）求出，并对求导根据参数的取值范围进行分类讨论，即可得出其单调性. 【详解】（1）当时，，， 所以，， 故切线方程为， 即. （2）易知， 所以， ①若，则，，此时在上单调递增； ②若，则， 当时，，此时在上单调递减； 当时，，此时在上单调递增； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数的单调增区间为，减区间为. 5．（2026高三·天津·专题练习）已知， (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数，求切点处切线的方程； （2）利用导数，分类讨论函数的单调性. 【详解】（1）当时，，定义域为 ，则， 又， 则切线的斜率， 所求切线方程为，即． （2）函数的定义域为， ． ①当时， ，在上单调递增． ②当时， 令，即，解得：， 时，，函数在上单调递增； 时，，函数在上单调递减． ③当时， 令，解得， 时，，函数在上单调递增； 时，，函数在上单调递减． 综上可得， 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减． 题型四：含参型二次型单调性问题 1．（25-26高三下·四川绵阳·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)当时，在和上递增，在上递减；当时，在上递增；当时，在和上递增，在上递减． 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出； （2）分别对时，时，时讨论，利用导数判断可得答案. 【详解】（1）由，知 ， 所以当时，有，， 故曲线在处的切线经过，且斜率为， 所以其方程为，即． （2）当时，对有， 对，有，故在和上递增，在（）上递减； 当时，对，有，故在上递增； 当时，对，有， 对，有，故在和上递增，在上递减． 综上，当时，在和上递增，在上递减； 当时，在上递增； 当时，在和上递增，在上递减． 2．（25-26高二下·福建厦门·月考）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当 时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【分析】（1）求出切点、由导数几何意义求出切线斜率即可由点斜式求解； （2）利用导数工具分、、和四种情况分析导函数正负情况即可求解函数单调性. 【详解】（1）若，函数， 所以， 所以切点为，切线斜率为， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）由题可得函数定义域为，， 令或， 所以当 时，则时，时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，则时，时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上恒成立，当且仅当时， 所以函数在上单调递增； 当时，则时，时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 综上：当 时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 3．（25-26高二下·广东江门·月考）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减 【分析】（1）求在处的切线斜率以及点坐标，写出切线方程即可； （2）计算，分类讨论法讨论取不同值时的正负，得出函数的单调性. 【详解】（1）由，得， 则切线斜率为，又，即切点为， 所以切线方程为. （2）由， 得， 当时，， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，， 当，即时，，则函数在上单调递增； 当，即时，令得，或， 令得，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当，即时，令得，或， 令得，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 4．（25-26高二下·河北雄安·月考）已知函数． (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，求得，得到，，利用导数的几何意义，即可求解； （2）求得，分，和，三种情况讨论，进而求得函数的单调区间. 【详解】（1）当时，，可得， 则，，即切线的斜率为，切点为， 所以的图象在点处的切线方程为，即． （2）由函数，可得其定义域为， 且． 令，可得或， 当时，，在上单调递增； 当时，令，可得或，令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当时，令，得或，令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上可得，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 5．（2026·四川成都·二模）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】(1)利用导数的几何意义求解； (2)利用导函数研究函数的单调性. 【详解】（1）当时，， ，则， 又，∴曲线在点处的切线方程为． （2），， ，，由，得，由，得． 的单调递增区间为，单调递减区间为． 6．（25-26高三上·山西晋中·期末）已知函数，. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求导，结合一元二次函数的性质讨论的正负性即可； 【详解】（1）由题可得. 令，则， 当时，，此时，，故在上单调递减； 当时，，记两根为，， 此时，，则两根均为负，得， 故在上单调递减； 当时，，此时，，则两根均为正，且， 故或时，，在、上单调递减， 时，，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减； 当时，在，上单调递减， 在上单调递增. 7．（25-26高二下·山西太原·月考）已知函数，． (1)求函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）应用分类讨论，利用导数研究的区间单调性，即可解得； 【详解】（1）由已知，，， 当时，， 令的图象开口向下，且， 所以时，，即，则在上单调递增， 时，，即，则在上单调递减； 当时，，则， 所以时，，则在上单调递增， 时，，则在上单调递减； 当时，的图象开口向上，且， 或时，，即， 则在，上单调递增， 时，，即， 则在上单调递减． 当时，的图象开口向上，且且不恒为0， 此时，即，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增； 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $利用导数研究函数的单调性 题型归纳 题型一：不含参型一次型单调性问题 题型三含参型一次型单调性问题 题型二不含参型二次型单调性问题 题型四含参型二次型单调性问题 题型通关 题型一：不含参型一次型单调性问题 1.(25-26高二上·安徽安庆期末)己知函数f(x)=2n(x+2) 3 (1)求函数f(x)的单调区间. 2.(2026高二下福建漳州专题练习)已知函数f(x)=血-1， (1)求函数在点(1，f1)处的切线方程 (2)试判断函数∫(x)的单调性并写出单调区间； 试卷第1页，共3页 题型二：不含参型二次型单调性问题 1.(25-26高二下河南信阳月考)已知函数f=x+2-nxa∈R),且f'1=-2. (1)求a的值： (2)求f(x的单调区间. 2.(25-26高二下.河北邢台·月考)己知函数f(x)=lnx-x2+a,且直线x+y+2=0是曲线 y=fx)的切线. (1)求a的值； (2)求f(x)的单调区间. 试卷第1页，共3页 3.(25-26高二下·全国课堂例题)讨论函数f(x)=2x3-3x2-36x+16的单调性 题型三：含参型一次型单调性问题 1.(25-26高二下·全国·课堂例题)求函数f(x)=(x-k)e的单调区间. 2.(2026高三·全国.专题练习)已知函数f(x)=alnx-bx,(a,b∈R),当b=1时，讨论函 数f(x)的单调性 试卷第1页，共3页 3.(2026高三全国.专题练习)己知函数f(x)=2lnx-ax. (1)若a=1,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程； (②)讨论∫(x)的单调性； 4.(25-26高三上江西吉安期末)已知函数fx)=(2+ax)ln(1+x-2x,(a∈R) (1)若a=0,求函数f(x在点1，f(1)处的切线方程； (2)若a>0,设函数f(x)的导函数为gx),讨论gx)的单调性 试卷第1页，共3页 5.(2026高三天津.专题练习)己知fx=x+ax.Inx(a∈R), ()当a=2时，求f(x在点(e,f(e)处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性. 试卷第1页，共3页 题型四：含参型二次型单调性问题 1.(2526高三下四川绵阳月考)己知函数f=(x-2e-mr2+alaeR). (1)当a=0时，求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程； (2)当a>0时，求函数f(x的单调区间. 试卷第1页，共3页 2.(25-26高二下福建厦门月考)已知函数f(x=。x2+(a-2列nr-(a-)x. 2 (1)若a=2,求函数在(2，f(2)处的切线方程： (2)讨论f(x的单调性. 3.(25-26高二下·广东江门月考)已知函数f(x=x-lnx-2 (I)求曲线y=∫(x在x=1处的切线方程； (2)若a≥0，gx=lnx+ax2-2a+1x,讨论函数gx)的单调性. 试卷第1页，共3页 4.（25-26高二下河北雄安月考)已知函数f(x)=x2+(a+1x2+4r+1. 3 (1)当a=1时，求函数f(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程； (2)讨论函数∫(x)的单调性. 试卷第1页，共3页 5.(2026四川成都.二模)已知函数f(x)=2a2nx-x2(a>0) (1)当a=1时，求曲线y=f()在点(1，f)处的切线方程 (2)求函数f(x)的单调区间. 6.(2526高三上山西晋中期末)已知函数f八=r-+,。eR. (1)讨论∫(x)的单调性； 试卷第1页，共3页 7.(25-26高二下：山西太原月考)）已知函数f(=hx,8()=0r+2x, (I)求函数h(x)=f(x-gx的单调性： 试卷第1页，共3页