精品解析：山东新泰市第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

新泰一中2025级高一下学期期中考试 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 3. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，则这两个平行平面的距离为（ ）cm. A. 2 B. 14 C. 2或14 D. 6或8 6. 在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 14 7. 在中，角，，所对的边分别为，，.若，，且该三角形有两解，则的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直三棱柱中，，该三棱柱所有顶点都在球的球面上，则球的体积为（） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 下列关于空间几何体的叙述错误的是（ ） A. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B. 任何一个几何体都必须有顶点、棱和面 C. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D. 一个棱柱至少有5个面 10. 下列命题中不正确的是（ ）． A. 在中，，则 B. 在锐角中，恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 11. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 圆锥外接球体积为 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则________. 13. 如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，则该八面体的表面积为________. 14. 已知复数、分别满足：，，其中i为虚数单位，则的取值范围为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.） 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若的面积，，求边的大小. 16. 已知向量，满足，向量的夹角为60°． （1）求的值； （2）求； （3）求向量与的夹角的余弦值． 17. 如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上. （1）求处与小岛之间的距离； （2）求两座小岛之间的距离. 18. 在中，内角对应的边分别是，且． （1）若的面积是，求的周长； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新泰一中2025级高一下学期期中考试 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可. 【详解】由题意可得， 则. 故选：B. 2. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答. 【详解】向量满足， 所以. 故选：B 3. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求. 【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得. 故选：B. 4. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵， 又∵ ∴9， ∴ 故选：C. 5. 半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，则这两个平行平面的距离为（ ）cm. A. 2 B. 14 C. 2或14 D. 6或8 【答案】C 【解析】 【分析】由截面圆的面积得到截面圆的半径，然后根据求得截面到圆心的距离，再按两截面在圆心的同侧和异侧求解即可. 【详解】设两个截面圆的半径分别为、，球心到截面的距离分别为、，球的半径为. 由，得cm，cm， 由，得cm，cm， 如图所示， 当球的球心在两个平行平面的外侧时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差， 即cm. 如图所示， 当球的球心在两个平行平面之间时， 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和，即cm. 故选：C. 6. 在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】将正四棱柱的侧面展开，由直线段最短求解. 【详解】如图所示： ， 将正四棱柱（图1）的侧面展开，得到展开图（图2）， 当五点共线时，取得最小值， 且最小值为. 故选：A 7. 在中，角，，所对的边分别为，，.若，，且该三角形有两解，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因， 则当，即时，三角形有两解， 所以的取值范围是. 8. 已知直三棱柱中，，该三棱柱所有顶点都在球的球面上，则球的体积为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将直棱柱补全成长体即可知道其外接球直径，进而可求其体积. 【详解】如图所示，将直三棱柱补全成长方体， 则长方体的体对角线为该三棱柱外接球的直径， 所以其半径为 球O的体积为， 故选：． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 下列关于空间几何体的叙述错误的是（ ） A. 底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B. 任何一个几何体都必须有顶点、棱和面 C. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D. 一个棱柱至少有5个面 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据空间几何体的定义和特点逐个选项判断即可. 【详解】底面是正方形，且顶点在底面上的射影为底面正方形的中心的四棱锥是正四棱锥，A错误； 球没有顶点和棱，B错误； 将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形，但是这样的多面体不是棱台，C错误； 棱柱的底面至少有3条边，所以一个棱柱至少有5个面，D正确． 故选：ABC． 10. 下列命题中不正确的是（ ）． A. 在中，，则 B. 在锐角中，恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正弦定理边化角判断C，利用余弦定理可判断D. 【详解】对于A，在中，若，则，由正弦定理可得，A正确； 对于B，锐角中，，则， 故，B正确； 对于C，在中，若，则， 即得，故或， 故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，，，则， 故，，结合，可知是等边三角形，D正确， 故选：C 11. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 圆锥外接球体积为 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】代入圆锥的侧面积公式，判断A，根据点的位置，确定三棱锥体积的最大值，判断B，根据题中的条件，确定圆锥的外接球的球心和半径，判断C，翻折，使四点共面，即可确定的最小值. 【详解】由条件可知，，圆锥的侧面积为，故A错误； B.当是的高时，此时的面积和三棱锥的体积最大，体积的最大值是，故B正确； C.因为，所以圆锥外接球的球心即为点，半径为，所以外接球的体积为，故C正确； D. 若，则是等腰直角三角形，，， 所以是等边三角形，如图，将沿翻折，使四点共面， 此时三点共线时，的最小值是， 中，， 由余弦定理可知，，故D正确. 故选：BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，， 又因为，故. 13. 如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，则该八面体的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】八面体是由八个边长为的等边三角形所组成的，结合等边三角形的面积公式即可求解. 【详解】由题意八面体是由八个边长为的等边三角形所组成的， 故所求为. 故答案为：. 14. 已知复数、分别满足：，，其中i为虚数单位，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】设复数、在复平面内对应的点为，，利用复数的几何意义得出点，的轨迹，将问题转化为两圆上动点间距离的最值 【详解】设复数、在复平面内对应的点为，， 表示点与复数对应点的距离为2， 因此点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆； 表示点与复数对应点的距离为1， 因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆. 又因为，表示点，之间的距离， 所以 ，即. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.） 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若的面积，，求边的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）由面积公式求出，即可求出、，再由余弦定理计算可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， ∴， ∴， 在中，，得， ，， ，. 【小问2详解】 ，又， ，所以，得， 又∵，∴或， 由余弦定理得， 所以. 16. 已知向量，满足，向量的夹角为60°． （1）求的值； （2）求； （3）求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积运算律求解即可； （2）根据平面向量模长公式及数量积运算律求解即可； （3）根据平面向量的夹角和模长公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，， 则； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 由已知，， 则向量与的夹角的余弦值为． 17. 如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上. （1）求处与小岛之间的距离； （2）求两座小岛之间的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中利用正弦定理计算可得； （2）在中利用余弦定理求出，再在中利用余弦定理求出； 【小问1详解】 由题可知在中，，，所以， 由正弦定理可得：，及， 所以（海里）． 【小问2详解】 由题可知在中：，，所以． 所以（海里）， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）， 由题意可知，在中，， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）. 18. 在中，内角对应的边分别是，且． （1）若的面积是，求的周长； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理的边角互化，代入计算，即可得到角A的大小，再由三角形的面积公式可得的值，再由余弦定理可得的值，从而可得，即可得到结果； （2）由三角形的内角和将转化为关于的式子，再由三角函数的性质即可求得结果. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 即，因为，所以， 则，即. 因为，所以， 由余弦定理可得， 即，所以， 则，所以， 则的周长为. 【小问2详解】 由可得， 则 ， 且为锐角三角形，则，解得， 所以，则， 所以， 即的取值范围是. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案； （2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案. （3）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 由已知中，即， 故，由正弦定理可得， 故直角三角形，即. 【小问2详解】 由（1），所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设，由得： ，整理得， 则 . 【小问3详解】 点为的费马点，则， 设， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $