精品解析：2026年4月上海市杨浦区九年级期中数学测评卷

杨浦区初三期中数学测评卷 （测试时间：100分钟，满分：150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列实数中，无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，已知点，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r可以取的值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 6. 如图，在中，的平分线与的平分线交于点，连接，如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 计算_________． 8. 解不等式组：的解集是______． 9. 方程的解是______． 10. 正八边形的中心角等于 _______度． 11. 已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为，那么________． 12. 中国邮政于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票共计2668万套，将数据“2668万”用科学记数法表示为______． 13. 九年级（1）班羽毛球小组共有4名队员，其中两名男生，两名女生．从中随机选取两人，恰好能组成一组混双搭档的概率是______． 14. 将直线向上平移m个单位长度，如果平移后的直线经过第二象限，那么m的值可以是______．（写出一个即可） 15. 如果抛物线上的点和点B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是______． 16. 在中，点D在边上，，设，，那么可用、表示为______． 17. 已知正方形ABCD，AB＝1，分别以点A、C为圆心画圆，如果点B在圆A外，且圆A与圆C外切，那么圆C的半径长r的取值范围是_____． 18. 如图，在平行四边形中，，，，点是边上一点，，如果点关于直线的对称点恰好在边上，那么的长是______． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 解方程：． 21. 如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图像交于点C，过点B作x轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，连接． （1）求A、B两点的坐标； （2）如果，求k的值． 22. 某学校组织数学竞赛，对A、B两个班级各20名学生进行了测试，对测试成绩（百分制）进行了整理分析，下面给出了部分信息． （ⅰ）A班测试成绩的频数分布直方图如图： （数据分成4组：） （ⅱ）B班测试成绩如下： 69，69，70，70，71，73，77，78，80，81， 82，82，82，82，83，83，83，86，91，96． （ⅲ）A班、B班测试成绩的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 A班 79.6 77 p B班 79.4 m q 根据以上信息，回答下列问题： （1）m的值为______，p______q（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）如果两个班级都各去掉一个最高分和一个最低分，那么下列判断正确的是______； A．两个班测试成绩的方差都增大； B．两个班测试成绩的方差都减小； C．A班测试成绩的方差增大，B班测试成绩的方差减小； D．A班测试成绩的方差减小，B班测试成绩的方差增大． （3）为了选出冲击个人冠军的种子选手，学校对这次成绩90分以上的甲、乙、丙三位同学又单独进行了5次测试，平均数较大的选手排序靠前，如果平均数相同，那么方差较小的选手排序靠前．这5次测试的成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 方差 甲 93 90 92 93 92 1.2 乙 91 92 92 92 92 0.16 丙 94 90 90 94 k 如果丙的排序居中，那么表中k（k为整数）的值为______，______． 23. 已知：如图，是半圆O的直径，C是半圆上一点（不与点A、B重合），点D是弧的中点，过点D作，垂足为点F，连接与交于点E． （1）求证：； （2）连接并延长与弦的延长线交于点G，联结．求证：四边形是矩形． 24. 已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，顶点为点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P是对称轴右侧的抛物线上一点，过点P作垂直抛物线的对称轴，垂足为点Q，连接，设点P的横坐标为m． ①求的值（用含m的代数式表示）． ②过点Q作的平行线，交抛物线于点E（点E在对称轴右侧），求的值； 25. 综合与实践 【问题背景】折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科．通过折纸不仅能够创造出非常奇妙的图形，还可以发现一些有趣的数学问题，下面我们就利用一张正方形纸片来开展“折纸与数学”探究活动． 【操作探究】 （1）小创小组将正方形纸片（如图1）按照图2至图3的方式操作，那么图3中______°，并写出求解过程； （2）小智小组将正方形纸片（如图4）按照图5至图7的方式操作，折痕、与折痕的交点分别是H、Q，经过多次操作和测量，发现线段与的比值是一个定值，请你帮助小智小组求出的值； 【尝试应用】 （3）如图7，设正方形的边长为1，，求的值（用含m的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨浦区初三期中数学测评卷 （测试时间：100分钟，满分：150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列实数中，无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】明确无理数定义：无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，有限小数和无限循环小数都属于有理数，化简各选项后根据定义判断即可． 【详解】解：∵，2是整数，属于有理数，∴A不符合题意； ∵是分数，属于有理数，∴B不符合题意； ∵是无限不循环小数，是无理数，∴仍是无限不循环小数，是无理数，∴C符合题意； ∵是无限循环小数，属于有理数，∴D不符合题意． 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方的法则，逐一判断选项正误． 【详解】解：A、∵合并同类项时，系数相加，字母和指数不变，∴，A正确； B、∵ ，∴B错误； C、∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，∴C错误； D、∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，∴，∴D错误． 3. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解题思路为利用一元二次方程根的判别式，分别计算四个选项方程的值，根据与的大小关系判断根的情况 ．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式及根据判断根的情况是解题的关键． 【详解】解：选项A： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项B： ，，， ，有两个相等的实数根，不符合题意； 选项C： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项D： ，，， ，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 4. 下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，逐一判断各选项即可得出结果. 【详解】A、，图象过二，四象限，在每一个象限内，y随自变量x的值增大而增大，不符合题意； B、，图象过一，三象限，在每一个象限内，y随自变量x的值增大而减小，不符合题意； C、，在轴左侧，y随自变量x的值增大而减小，在轴右侧，y随自变量x的值增大而增大，不符合题意； D、，，y随自变量x的值增大而增大，符合题意. 5. 在平面直角坐标系中，已知点，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r可以取的值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心M到x轴和y轴的距离，再根据直线与圆相交相离的位置关系确定半径r的取值范围，最后匹配选项即可． 【详解】解：∵点M的坐标为， ∴圆心M到轴的距离，到轴的距离， ∵圆与轴相交，与轴相离， ∴且，即， 观察选项，只有满足该范围，因此选B． 6. 如图，在中，的平分线与的平分线交于点，连接，如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质与判定．过点作、、所在直线的垂线，利用角平分线的性质定理可得点到、的距离相等，进而判定平分，建立与的数量关系即可求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点，交于点，交的延长线于点． 平分，，， ． 平分，，（、、共线）， ． ． ，， 平分． ． 只要求出的度数，只需知道的度数．故选C． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 计算_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式直接进行计算即可 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键 8. 解不等式组：的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为． 9. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】通过两边平方将无理方程转化为一元一次方程，求解后检验得到原方程的解； 【详解】解：， 方程两边同时平方，得， 整理得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 检验：将代入原方程，左边右边， 因此是原方程的解． 10. 正八边形的中心角等于 _______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．根据正多边形中心角公式是即可解题． 【详解】解：正八边形的中心角等于； 故答案为：． 11. 已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】坡比坡角的正切值， 设竖直直角边为，水平直角边为，由勾股定理求出斜边， 进而可求出的正弦值 ． 【详解】解： 如图所示： 由题意，得：， 设竖直直角边为，水平直角边为， 则斜边， 则． 故答案为． 【点睛】此题主要考查坡比、坡角的关系以及勾股定理；熟记坡角的正切等于坡比是解决问题的关键． 12. 中国邮政于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票共计2668万套，将数据“2668万”用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：2668万 13. 九年级（1）班羽毛球小组共有4名队员，其中两名男生，两名女生．从中随机选取两人，恰好能组成一组混双搭档的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出所有等可能结果，再找出恰好组成混双搭档的结果，结合概率公式计算即可． 【详解】解：记两名男生分别为男1，男2，两名女生分别为女1，女2， 列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） 可得共有种等可能的结果，其中恰好能组成混双搭档（一男一女）的结果有种， 根据概率公式可得，恰好能组成一组混双搭档的概率为. 14. 将直线向上平移m个单位长度，如果平移后的直线经过第二象限，那么m的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】 2 【解析】 【分析】根据直线经过第二象限求参数的取值范围，根据平移规则求出平移后的直线解析式，再结合一次函数的性质得到参数的取值范围，写出一个符合要求的值即可. 【详解】解：∵向上平移m个单位长度， ∴平移后的解析式为， ∵平移后的直线经过第二象限， ∴， ∴， ∴m的值可以是2（答案不唯一）. 15. 如果抛物线上的点和点B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定抛物线的对称轴，再求出点A的坐标，最后根据对称点的性质求解即可. 【详解】解：抛物线中，，， ∴抛物线的对称轴为， 将代入抛物线解析式，得， 点的坐标为， 点和点关于抛物线对称轴对称，对称点纵坐标相等，点，点到对称轴的距离相等， 设点的横坐标为，可得， 解得， 点的坐标为. 16. 在中，点D在边上，，设，，那么可用、表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据线段比例关系得到向量与的关系，再利用平面向量的三角形法则将转化为已知向量的线性组合， 即可得到结果. 【详解】解：∵点在边上，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. 17. 已知正方形ABCD，AB＝1，分别以点A、C为圆心画圆，如果点B在圆A外，且圆A与圆C外切，那么圆C的半径长r的取值范围是_____． 【答案】﹣1＜r＜． 【解析】 【分析】首先根据题意求得对角线AC的长，设圆A的半径为R，根据点B在圆A外，得出0＜R＜1，则-1＜-R＜0，再根据圆A与圆C外切可得R+r=，利用不等式的性质即可求出r的取值范围． 【详解】∵正方形ABCD中，AB=1， ∴AC=， 设圆A的半径为R， ∵点B在圆A外， ∴0＜R＜1， ∴-1＜-R＜0， ∴-1＜-R＜． ∵以A、C为圆心的两圆外切， ∴两圆的半径的和为， ∴R+r=，r=-R， ∴-1＜r＜． 故答案为-1＜r＜． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，正方形的性质，勾股定理，不等式的性质．掌握位置关系与数量之间的关系是解题的关键． 18. 如图，在平行四边形中，，，，点是边上一点，，如果点关于直线的对称点恰好在边上，那么的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，连接，，过点作于点，先求得，证明，设，则，，，证明得出，，，在，中，根据勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∵点关于直线的对称点恰好在边上， ∴， 又∵， ∴，设交于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得： ， ∴． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】先计算分母有理化、化简二次根式、化简绝对值，再计算二次根式的加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 20. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 解得； 检验，当时，， ∴方程的解为. 21. 如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图像交于点C，过点B作x轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，连接． （1）求A、B两点的坐标； （2）如果，求k的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）分别令和即可得到答案； （2）过点作，垂足为，证明，设点，则，得到，求出，即可得到答案． 【小问1详解】 解：当时，， ， 当时，， ； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为， ， ， ， 设点，则， ， 整理得，， 解得（舍去）或， ， ． 22. 某学校组织数学竞赛，对A、B两个班级各20名学生进行了测试，对测试成绩（百分制）进行了整理分析，下面给出了部分信息． （ⅰ）A班测试成绩的频数分布直方图如图： （数据分成4组：） （ⅱ）B班测试成绩如下： 69，69，70，70，71，73，77，78，80，81， 82，82，82，82，83，83，83，86，91，96． （ⅲ）A班、B班测试成绩的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 A班 79.6 77 p B班 79.4 m q 根据以上信息，回答下列问题： （1）m的值为______，p______q（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）如果两个班级都各去掉一个最高分和一个最低分，那么下列判断正确的是______； A．两个班测试成绩的方差都增大； B．两个班测试成绩的方差都减小； C．A班测试成绩的方差增大，B班测试成绩的方差减小； D．A班测试成绩的方差减小，B班测试成绩的方差增大． （3）为了选出冲击个人冠军的种子选手，学校对这次成绩90分以上的甲、乙、丙三位同学又单独进行了5次测试，平均数较大的选手排序靠前，如果平均数相同，那么方差较小的选手排序靠前．这5次测试的成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 方差 甲 93 90 92 93 92 1.2 乙 91 92 92 92 92 0.16 丙 94 90 90 94 k 如果丙的排序居中，那么表中k（k为整数）的值为______，______． 【答案】（1）82， （2）B （3）92，3.2 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的定义分析即可； （2）根据方差的意义求解即可； （3）根据平均数、方差的定义求解即可． 【小问1详解】 解：由B班的数据可得，众数，中位数 由A班的频数分布直方图可得，第10，11个数据在这一组，因此中位数 故； 【小问2详解】 解：如果两个班级都各去掉一个最高分和一个最低分，相当于将波动最大的两个数据去掉了， 由方差的意义可得，两个班测试成绩的方差都减小； 【小问3详解】 解：由题意得，， ∵平均数较大的选手排序靠前，如果平均数相同，那么方差较小的选手排序靠前 ∴或 ∴ 解得， 当时，， 则，不成立； 当时，， 则，成立， ∴表中k（k为整数）的值为，． 23. 已知：如图，是半圆O的直径，C是半圆上一点（不与点A、B重合），点D是弧的中点，过点D作，垂足为点F，连接与交于点E． （1）求证：； （2）连接并延长与弦的延长线交于点G，联结．求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先由垂径定理的推论结合三角形中位线定理得到，然后证明即可； （2）连接，先由三角形的中位线定理证明，然后证明，得到，即可证明四边形是平行四边形，再由证明即可． 【小问1详解】 证明：∵点D是弧的中点，是半径， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：连接 ∵， ∴ ∴， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴， ∴四边形是矩形． 24. 已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，顶点为点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P是对称轴右侧的抛物线上一点，过点P作垂直抛物线的对称轴，垂足为点Q，连接，设点P的横坐标为m． ①求的值（用含m的代数式表示）． ②过点Q作的平行线，交抛物线于点E（点E在对称轴右侧），求的值； 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）①先求出，则，，那么，，再由正切的定义求解即可； ②由平行可得，过点作交的延长线于点，设，则，则，，在中，，得到方程，解得，再由求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴ 解得 ∴该抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：①如图， ， ∴， ∴对称轴为直线 设点P的横坐标为m，则， ∵过点P作垂直抛物线的对称轴， ∴， ∴，， ∴在中，； ②∵， ∴， ∴， 过点作交的延长线于点， 设，则， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵ ∴ 解得（舍负） ∵， ∴， ∴ ∴． 25. 综合与实践 【问题背景】折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科．通过折纸不仅能够创造出非常奇妙的图形，还可以发现一些有趣的数学问题，下面我们就利用一张正方形纸片来开展“折纸与数学”探究活动． 【操作探究】 （1）小创小组将正方形纸片（如图1）按照图2至图3的方式操作，那么图3中______°，并写出求解过程； （2）小智小组将正方形纸片（如图4）按照图5至图7的方式操作，折痕、与折痕的交点分别是H、Q，经过多次操作和测量，发现线段与的比值是一个定值，请你帮助小智小组求出的值； 【尝试应用】 （3）如图7，设正方形的边长为1，，求的值（用含m的代数式表示）． 【答案】（1） （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用折叠的性质求得是等边三角形，据此求解即可； （2）连接，，证明，求得，，证明和，推出是等腰直角三角形，再证明，据此计算即可求解； （3）证明、 ，分别求得，，据此求解即可． 【小问1详解】 解：连接， 由折叠的性质得，，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：连接，， ∵正方形， ∴，，， 由折叠的性质得，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接， ∵正方形的边长为1，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $