精品解析：上海嘉定区徐行中学等校2024-2025学年下学期九年级数学期中联考试题

嘉定区部分学校2024学年九年级第二学期期中考试 数学学科 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 如果实数与互为相反数，那么是（　　） A. B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. 2 C. D. 3 3. 据2022年北京冬奥会新闻发言人透露，中国大陆地区约316000000人次收看了冬奥会的开幕式．数据316000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 小明为了解本班同学一周课外书的阅读量，随机抽取班上20名同学进行调查，调查结果如下表，那么这20名同学该周课外书阅读量的平均数是（ ） 阅读量（本/周） 0 1 2 3 4 人数 2 5 4 5 4 A. 2本 B. 2.2本 C. 3本 D. 3.2本 5. 如图，在中，，点D在边的延长线上，根据图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如果一个矩形经过一个多边形的各顶点，那么我们把这个矩形叫做这个多边形的外接矩形．如图，矩形是正六边形的外接矩形，如果正六边形的边长为2，那么矩形长边与短边的比是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 7. 一个不透明的袋子里装有3个红球和5个白球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为________． 8. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各种多少两？设黄金重两，每枚白银重两，根据题意可列方程组为____. 9. 一个正多边形，它的一个内角等于一个外角的倍，那么这个正多边形的边数是 _____． 10. 已知三角形的三边长为a、b、c．满足，如果其周长为36，那么该三角形的最大边长为________． 11. 如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，的延长线交于点F．如果，那么FC的长是_______． 12. 如果三角形一条边上的中线恰好等于这条边的长，那么我们称这个三角形为“匀称三角形”．在中，，若是“匀称三角形”，那么_______． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 13. 计算： 14. 将二次函数的图像向右平移3个单位，求所得图像的函数解析式：请结合以上两个函数图像，指出当自变量x在什么取值范围内时，上述两个函数中恰好其中一个的函数图像是上升的，而另一个的函数图像是下降的． 15. 已知在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于点，直线AB垂直于x轴，垂足为点C（点C在原点的右侧），并分别与正比例函数和反比例函数的图象相交于点A、B，且． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式： （2）求的面积． 16. 如图是某小区益智健身点中的“侧摆器”及其示意图．锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动． （1）摆臂的长度为厘米，在侧摆运动过程中，点为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点为最高点位置，＝，求踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差（精确到厘米，，，）； （2）小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了大卡，结果比原计划提早分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？ 17. 已知：如图，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：： （2）如果，求证：． 18. 如图．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为，对称轴为直线．点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交直线BC于点F，交抛物线于点E． （1）求抛物的解析式； （2）当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，求线段EF的长度： （3）如果将沿直线CE翻折，点F恰好落在y轴上点N处，求点N的坐标． 19. 如图，在中，．点E是线段AB上一动点，点G在BC的延长线上，且，连接EG，以线段EG为对角线作正方形EDGF，边ED交AC边于点M，线段EG交AC边于点N，边EF交BC边于点P． （1）求证：﹔ （2）设的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域； （3）连接NP，当是直角三角形时，求AE的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉定区部分学校2024学年九年级第二学期期中考试 数学学科 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 如果实数与互为相反数，那么是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，利用互为相反数的两个数的性质求解即可，掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵实数与互为相反数， ∴， 故选：． 2. 计算的结果是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的减法运算，先化简二次根式，再进行减法运算即可． 【详解】解：， 故选：A． 3. 据2022年北京冬奥会新闻发言人透露，中国大陆地区约316000000人次收看了冬奥会的开幕式．数据316000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】解：数字316000000科学记数法可表示为3.16×108． 故选C． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 小明为了解本班同学一周课外书的阅读量，随机抽取班上20名同学进行调查，调查结果如下表，那么这20名同学该周课外书阅读量的平均数是（ ） 阅读量（本/周） 0 1 2 3 4 人数 2 5 4 5 4 A. 2本 B. 2.2本 C. 3本 D. 3.2本 【答案】B 【解析】 【分析】根据表格及平均数可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： 这20名同学该周课外书阅读量的平均数为（本）； 故选：B． 【点睛】本题主要考查平均数，熟练掌握平均数的求法是解题的关键． 5. 如图，在中，，点D在边的延长线上，根据图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边对等角先求解 再求解 结合尺规作图可得平分 从而可得答案． 【详解】解： ， 由作图可得： 由作图可得：是的角平分线， 故选C 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，角平分线的作图，掌握“等腰三角形的等边对等角”是解本题的关键． 6. 如果一个矩形经过一个多边形的各顶点，那么我们把这个矩形叫做这个多边形的外接矩形．如图，矩形是正六边形的外接矩形，如果正六边形的边长为2，那么矩形长边与短边的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得∠EQP=∠HPQ=120°，则有∠DQE=∠CPH=60°，然后可证△DQE≌△CPH，则DQ=CP，同理可得△DQE≌△AFE，进而可得DE=AE，最后根据含30度直角三角形的性质可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴， 由正六边形可知：∠EQP=∠HPQ=120°，EQ=HP=2， ∴∠DQE=∠CPH=60°， ∴△DQE≌△CPH（AAS）， ∴DQ=CP， 同理可得△DQE≌△AFE， ∴DE=AE， ∵∠DQE=∠CPH=60°，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、正多边形的性质、勾股定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质、正多边形的性质、勾股定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 7. 一个不透明的袋子里装有3个红球和5个白球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】用红球的个数除以球的总个数即可． 【详解】解：从袋中任意摸出一个球有8种等可能结果，其中摸出的小球是红球的有3种结果， 所以从袋中任意摸出一个球是红球的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 8. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各种多少两？设黄金重两，每枚白银重两，根据题意可列方程组为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同.故可得 ，再根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，可得,因此可得二元一次方程组. 【详解】根据题意可得甲袋中的黄金9枚和乙袋中的白银11枚质量相等，可得， 再根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两.故可得. 因此 所以答案为 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，关键在于理解题意，这是中考的必考题,必须熟练掌握. 9. 一个正多边形，它的一个内角等于一个外角的倍，那么这个正多边形的边数是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角，设这个正多边的外角为，则内角为，根据内角和外角互补可得，解可得的值，再利用外角和外角度数可得边数，利用内角和定理求得答案即可，正确计算出一个外角的度数是解题的关键． 【详解】解：设正多边形的一个外角的度数为， 由题意得， 解得， ， 所以这个正多边形的边数是． 故答案为：． 10. 已知三角形的三边长为a、b、c．满足，如果其周长为36，那么该三角形的最大边长为________． 【答案】16 【解析】 【分析】设=k，根据三角形的周长列出方程即可求出k的值，从而求出结论． 【详解】解：设=k ∴a=2k，b=3k，c=4k 由题意可知：a＋b＋c=36 ∴2k＋3k＋4k=36 解得：k=4 ∴该三角形的最大边长为4×4=16 故答案为：16． 【点睛】此题考查的是比例的性质，掌握设参法是解题关键． 11. 如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，的延长线交于点F．如果，那么FC的长是_______． 【答案】10 【解析】 【分析】由OE⊥AB，得AD=BD，且OD是△ABC的中位线，OE是三角形AFC的中位线，根据勾股定理求出圆的半径即可． 【详解】∵OE⊥AB， ∴AD=BD=AB=×8=4， ∵OA=OC， ∴OD为三角形ABC的中位线， ∴OD//BC， 又∵OD=3， ∴ ∴OE=OA=5， ∵OE∥CF，点O是AC中点， ∴AE：EF=AO：OC=1， 即E为AF中点， ∴OE是三角形ACF的中位线， ∴CF=2OE=2×5=10， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线的性质是解题的关键． 12. 如果三角形一条边上的中线恰好等于这条边的长，那么我们称这个三角形为“匀称三角形”．在中，，若是“匀称三角形”，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】作的三条中线AD，BE，CF，由题中定义得当BE为的中线时，为“匀称三角形”，设AC=2a，则CE=a，BE=2a，在中，根据勾股定理得，在中，根据勾股定理得，即可得． 【详解】解：如图所示，作的三条中线AD，BE，CF， ∵， ∴， 即CF不能为匀称三角形中线， 在中，， 即AD不能成为“匀称三角形”的中线， ∴当BE为的中线时，为“匀称三角形”， 设AC=2a，则CE=a，BE=2a， 在中，根据勾股定理得， ， 在中，根据勾股定理得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义，勾股定理，解题的关键是理解新定义． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 13. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】对每一项分别进行化简，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】原式 【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、分母有理化、特殊角度的三角函数值等考点的运算． 14. 将二次函数的图像向右平移3个单位，求所得图像的函数解析式：请结合以上两个函数图像，指出当自变量x在什么取值范围内时，上述两个函数中恰好其中一个的函数图像是上升的，而另一个的函数图像是下降的． 【答案】，． 【解析】 【分析】由二次函数的平移规律：左加右减，可得平移后的解析式，再画出两个函数的图像，利用图像可得答案． 【详解】解：把二次函数的图像向右平移3个单位可得： ， ， 又 函数图像的顶点坐标为： 而 函数图像的顶点坐标为： 函数与的图像如图示； 由图像可得：当时，函数的函数图像是上升的，而函数的函数图像是下降的． 【点睛】本题考查的是二次函数的图像的平移，二次函数的增减性，掌握以上知识是解题的关键． 15. 已知在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于点，直线AB垂直于x轴，垂足为点C（点C在原点的右侧），并分别与正比例函数和反比例函数的图象相交于点A、B，且． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式： （2）求的面积． 【答案】（1）； （2）3或 【解析】 【分析】（1）根据正比例函数与反比例函数的图象，先设出函数的解析式，利用待定系数法可求出k1，k2，即可分别得到函数的表达式； （2）设点，则，根据，可分情况求得A，B，C的坐标，进而根据三角形面积公式求得面积． 【小问1详解】 解：设正比例函数解析式为 反比例函数解析式为 ∵函数和的图象经过点 将其分别代入两个函数，解得 ， ∴正比例函数的表达式为； 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：设点，则根据函数表达式 ∵ ∴ 解得 或 如图1，当时， ∴ 如图2，当时， ∴ ∴的面积为：3或． 【点睛】本题考查函数的图象与性质，待定系数法求函数表达式，函数与图形面积问题，解分式方程等知识，熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键． 16. 如图是某小区益智健身点中的“侧摆器”及其示意图．锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动． （1）摆臂的长度为厘米，在侧摆运动过程中，点为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点为最高点位置，＝，求踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差（精确到厘米，，，）； （2）小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了大卡，结果比原计划提早分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？ 【答案】（1）踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差约为7.5厘米 （2）小杰原计划锻炼1小时完成 【解析】 【分析】（1）过点作垂足为，由题意得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答； （2）先设小杰原计划小时完成锻炼，然后根据实际每小时的能量消耗原计划每小时的能量消耗，列出方程进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：过点作垂足为， 由题意得： ， 在中，， （）， （）， ∴踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差约为厘米 【小问2详解】 解：设小杰原计划小时完成锻炼， 由题意得 解得： 经检验：都是原方程的根，但不合题意，舍去， 答：小杰原计划锻炼小时完成． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 17. 已知：如图，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：： （2）如果，求证：． 【答案】（1） 证明：∵，∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴四边形AFCD是平行四边形 ∴ ∴ ∴ （2） 证明：∵ ∴ 在中， ∴ ∴ ∵， 在与中 ∴ ∴ ∵ ∴ 【解析】 【分析】（1）先通过两组平行线等角对等边，证明；再通过两组对边平行证明四边形AFCD是平行四边形，最后通过平行四边形的性质挖掘条件，即可证明全等 （2）利用平行四边形对边平行，得到，再将题目条件转化为，利用边角边证明，最后利用相似对应角相等，即可得到结论 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形全等，相似；注意第一小问平行四边形的判定和性质是重点，第二小问相似三角形的判定和性质是重点 18. 如图．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为，对称轴为直线．点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交直线BC于点F，交抛物线于点E． （1）求抛物的解析式； （2）当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，求线段EF的长度： （3）如果将沿直线CE翻折，点F恰好落在y轴上点N处，求点N的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）N的坐标是 【解析】 【分析】（1）根据抛物线过点A，对称轴为直线列方程计算即可； （2）求出B、C坐标及直线BC解析式，由可得，再设E、F的坐标，根据相似计算即可； （3）由翻折结合EF∥y轴可得，设E、F坐标计算即可． 【小问1详解】 由题意得： 解得： ∴所求的抛物线的解析式是： 【小问2详解】 由题意得：， ∴直线BC的解析式为： ∴， ∴ 设，则 当以C、E、F为顶点的三角形与相似时， ①若，则， ∴或 （舍去） ∴ ②若，则， ∴或 （舍去） ∴ 【小问3详解】 ∵是由沿直线CE翻折而得 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 设，则 ∵， 解得：或 （舍去） ∴ ∴ ∴N的坐标是 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及解析式、三角形相似的判定与性质、对称变换等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关的线段长度，根据已知列方程求解． 19. 如图，在中，．点E是线段AB上一动点，点G在BC的延长线上，且，连接EG，以线段EG为对角线作正方形EDGF，边ED交AC边于点M，线段EG交AC边于点N，边EF交BC边于点P． （1）求证：﹔ （2）设的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域； （3）连接NP，当是直角三角形时，求AE的值． 【答案】（1） 证明：过点E作交AC于H ， ∴，△EHN∽△GCN， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）；定义域为 （3）AE的值为， 【解析】 【分析】（1）过点E作交AC于H ，可得△EHN∽△GCN，根据直角三角形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据直角三角形的性质可得，．从而得到，再由△EHN∽△GCN，可得CN=2HN，从而得到，进而得到，即可求解； （3）分两种情况讨论：当时，当时，过E点作交BC边于Q点，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解∶∵ ∴． ∴， ∵， ∴．CG=x， ∴， 由（1）得：△EHN∽△GCN， ∴，即CN=2HN， ∵HN+CN=CH， ∴， ∴ ∴； 定义域为： 【小问3详解】 解∶当时，则∠PNG=90°， ∴∠PNC+∠CNG=90°， ∵AC⊥BC， ∴∠ACG=90°， ∴∠PNC+∠CPN=90°， ∴∠CPN=∠CNG， ∵∠CNG=∠ENH， ∴∠CPN=∠ENH， ∵四边形DEFG是正方形， ∴∠PEN=45°， ∴∠EPN=∠PEN=45°， ∴EN=PN， ∵∠ACB=∠EHN=90°， ∴， ∴， 由（2）得：CN=2HN， ∴， ∴，解得：， 当时，过E点作交BC边于Q点， ∴∠EPQ+∠CPN=90°， ∵AC⊥BC， ∴∠CPN+∠CNP=90°， ∴∠CNP=∠EPQ， ∵四边形DEFG是正方形， ∴∠PEN=45°， ∴∠PNE=∠PEN=45°， ∴EP=PN， ∵∠ACB=∠EQP=90°， ∴， ∴EQ=CP，PQ=CN， ∵EH⊥AC，BC⊥AC， ∴CH=EQ=AC-AH=， ∴， ∴， ∵EQ⊥BC， ∴EQ∥AC， ∴∠BEQ=30°， ∴， ∴， 解得：． 综上所述，AE的值或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正方形的性质，求函数解析式等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正方形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $