甘肃金昌市永昌县第一高级中学2025～2026学年下学期期中考试高一11班数学

2025~2026学年度（下）半期考试 高一数学参考答案及评分意见 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1-4.ABAC 5-8.DDCB 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分 9.ABD 10.ACD 11.BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.200 13.-514.(1,4) 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 15.解：(1)法-：z=a-a_（a-m1-3列-(a2-3a）-(a+3d1 (2分) 1+3i(1+3i)(1-3i) 10 因为z为纯虚数，所以a2-3a=0,且a+3a2≠0.(4分) 解得a=3,z=-3i.(6分) 法二：设z=bi(b∈R且b≠0)，则a2-ai=bi(1+3i)=-3b十bi.(2分) 所以a2=-3b,且-a=b.（4分) 解得b=-3,a=3,z=-3i.(6分) (2)设w=x十i(x,y∈R)，则w=-i,lw=V代2+y2.(8分) 由w+1=w+z,得+1-yi=√x2+y2-3i.(9分) 所以x+1=Vx2+y2，且y=3.(11分) 故x+1=√x2+9,解得=4.(12分) 所以复数w=4+3i.(13分) 16.解：(1)由已知，A=2.(1分) 又周期T=4(-1)=6,故w=2π-亚.(2分) 、5 由f1)=2,得sin(C+)=1,解得p=2kx+亚(k∈z).(3分) 又因为<，所以g= .(4分) 6 故fe)=2sin(匹c+亚)，所以f0)=2sin亚=1，故P的坐标为(0,1).(5分) 6 6 ②法一：因为P三(-1，-)，@N三（-2.(6分】 +2 所以cosQ MP.MN 2 (8分) M@·N V2x510 第1页共5页 可见0<a<亚， 且sina= (9分) 10 10 易知cos3= 故cos2B=2cos2B-1=- 3 5 51 .(11分) 所以cos(a-2B)=cosacos2B+sinasin?2B= ,(13分) 10 51052 注意到26∈（号，又0<a<7所以a-28∈(-，0）.14分) 故g-2B=-元.(15分) 4 法二：由两点间的距离公式，得MP=V2,MM=,PN=V2四 (6分) 2+2529 由余弦定理，得cosa=44=V2 2xV2x310 (8分)（以下同法一） 2 513 法三：设点Q(1,0),易知∠PMQ=元，tan∠NMMQ= (8分) 4 24 ,3 1+ 所以tana=tan(∠PMQ+∠NMQ)=4,=7.(9分) 3 1-1× 4 易知，tanB=2,故tan2g=,2tan月 4 (11分) 1-tan2B 3 所以tan(e-28)=,tana-tan2p= 7*9 3，=-1.(13分) 1+tana tan 28 1+7×(3 注意到2e(受，小又0<a号所以a-28e(-,0.（14分) 故4-29=-子5分) 17.解：(1)由(2a+b)⊥b,得(2a+b)b=0,即2ab+b2=0.(2分) 设a与b的夹角为0，又a=|bl=1,所以2c0s0+1=0,即cos0=-. (3分) 2 又0≤≤，所以a与b的夹角大小为2”.(4分) 3 (2)由1)知，ab=-b=-}.(5分) 所以|a-2b2=(a-2b)2=a2-4ab+4b2=1+2+4=7.(6分) 又|1a+b2=(1a+b)2=2a2+21ab+b2=2-1+1.(7分) 因为a-2b=1a+bl,所以7=2-1+1，即2-1-6=0.(8分) 亦即(1+2)(1-3)=0，解得=-2或3.(9分) (3)由(2a+c)(2b+c)=1,得4ab+2(a+b)c+c2=1.(10分) 第2页共5页 由(2)知，a+b=1(令=1).（11分) 设a十b与c的夹角为p(0≤p≤π)，且|c=c,显然x>0. 故-2+200s0+x2-1,整理得c0sp=3t .(12分) 2x 因为cosp≤1，所以|3-x2|≤2x.(13分) 故-2x≤3-x2≤2c,解得-1≤x≤3，且c≤-3或x≥1.（14分) 所以c的取值范围是[1,3].(15分) 18.解：(1)在△ABC中，设AB=c,BC=y,由余弦定理，得4=x2+y2-xy.(1分) 又因为x2+≥2xy,所以x≤4.(2分) (当且仅当=y=2时取等号)(3分) 故三棱柱的体积V=(号AB ACsine60)°AA=5 ,其最大值为√5.(5分) 4 (2)设△ABC的外接圆半径为r,三棱柱外接球的半径为R. 在△ABC中，由正弦定理，得2= AC_=2V2,故r=N2.(7分) Sin∠ABC 又因为AA1=1,所以R= (9分) 2 故三棱柱外接球的体积V=4R-9x. (11分) 2 (3)由勾股定理，得AB=V√AB2+A4=2.同理，BC=2.(12分) 将△AA1B和△CAB展开到同一个平面（如图）.(13分) 在Rt△AAB中，∠AAB=60°.在正△BA1C中，∠CAB=60°， 所以∠AA1C=∠AAB+∠CA1B=120°.(14分) 在△AAC中，由余弦定理，得 4C2=1+2-2X1×2×(-)=7,故AC=V7.(16分) 因为AP+PC≥AC,所以AP+PC的最小值为√7.(17分) 10.解：(1D由，a=s血B及正弦定理，得，·=b,整理得2=+bc.（1分) b+c sinA b+c a 由余弦定理a2=b2+c2-2 bccosA,得bc=c2-2 bccosA,故b=c-2 bcosA.(2分) 再由正弦定理，得sinB=sinC-2 sinBcosA.（3分) 又因为sinC=sin(r-C)=sin(A+B)=sin AcosB+cosAsinB, 所以sinB=sinAcosB-cosAsinB,故sinB=sin(A-B).(4分) 因为-元<A-B<π，0<B<元，所以B=A一B,或元一B=A一B(舍去)· 故A=2B,所以△ABC为倍角三角形.(5分) b，所以=a2 (2)(法一)①油(1)知，c=- 66-1.(6分) 由1<8<2得xg<3,故<8<5.行分) b 第3页共5页 由正弦定理，得2<in4<5.(8分) sin B 由(1)知，A=2B,所以s4=in2B =2cosB. sin B sin B 故5<cosB<5 .(9分) 2 ,所以刀<< 6 4 此时，A=2B∈(5，T),C=元-3B∈（匹，）. 3’21 4’2 所以△ABC为锐角三角形.(10分) ②油正弦定理，得a=csi4-2in2B 2sin2B (11分) sinC sim(π-3B) sin3B 故△ABC的面积S=acsin B=-asinB= 2sin 2B sin B (12分) 2 sin3B 因为sin3B=sin(2B+B)=sin2 BcosB+cos2 BsinB, 所以S= 2sin 2B sin B (13分) sin2B cos B+cos 2B sin B 1 1· tan B tan2B 因为tan2B= 2tan B 所以1 1 3-tan2 B ,(14分) 1-tan2 B tan B tan2B 2tan B 令=tanB.由@知，<B<,故y3 <t<1.(15分) 6 4 3 又因为函数3-1-13 22)在(31)上单调递减 所以1<3<4y5,故1K1 14v3 (16分) 3 tan B tan 2B 3 所以△ABC面积S的取值范围是( ,2.(17分) 或解：（前同上）因为sin3B=sin(2B+B)=sin2 BcosB+cos2 BsinB=2 sin Bcos2B+ (1-2sin2B)sinB=2sinB(1-sin2B)+(1-2sin2B)sinB=(3-4sin2B)sinB. 所以S= 2sin 2B 4sin B cos B (13分) 3-4sin2B 3-4sin2B 故S= 4sin B cos B 4tan B 4 (14分) 3cos2 B-sin2 B 3-tan2 B 3 -tan B tan B 令t=tanB.由①知，亚<B<亚， 故V3 <t<1.（15分) 6 4 3 义因为质数在(5)上单调递减，所以3X?- 3 (16分) t 3 4 ,2).（17分) 2 3 。<2所以△ABC面积S的取值范围是( 2 --tan B tan B (法二)①由正弦定理，得-snC.由(1D知，C=-3B,所以9=n3 b sin B b sin B 第4页共5页 又1<S<2,放1<m3B<2.(6分) sin B sin3B-sin(2B+B)=sin2BcosB+cos2BsinB=2sin Bcos2B+(1-2sin2B)sinB -2sinB(1-sin2B)+(1-2sin2B)sinB=(3-4sin2B)sinB.(7) 所以1<3-4sim2B<2,解得1<sin2B<1.(8分) 2 因为b<c,所以B为锐角，故)<sin<V 2,所以亚<B<T. (9分) 2 6 (以下同法一) ②油正弦定理，得a=csin4= 2sin 2B 2sin 2B sin C sin(π-3B)sin3B 故△ABC的面积S=acsinB=-asinB.(11分) o, 又由正弦定理，得a=bsnA_bsin2B =2 bcosB,故S=2 bsin BcosB.(12分) sin B sin B 由c=2及①，得 -n3B=3-sin8,故sin2B-=3-月 (13分) b sin B Γ42b 所以cos2B=1-sin'B=1+1 ,(14分) 42b 故3=4b2(2-)(2+)=3b+北-40.(15分) 42b八42b74 由1K2和c=2,得1<6<2，放3<5<4.(16分) 4 所以△ABC面积S的取值范国是(Y3 2.r分) (对于不同解法，参照评分标准同等步骤，酌情给分或扣分) 第5页共5页 高2028届高一（下）半期考试 数学答题卡 姓名 班级 座号 准考证号 注 意 事 项 1.答题前先将姓名、班级、座号、准考证号填写清楚。 2.选择题用2B铅笔将对应题目的答案标号涂黑。 3.非选择题使用黑色字迹签字笔书写，笔迹清楚。 4.保持卡面清洁，严禁折叠，严禁做标记。 填 涂 样 例 正确填涂 错误填涂 缺 考 （考生禁涂） 第Ⅰ卷、选择题 (1-8单选，每题5分，9-11多选,每题6分，共58 分) （用2B铅笔填涂） 1 5 9 2 6 10 3 7 11 4 8 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） （须用0.5毫米的黑色字迹中性笔书写） 三、填空题 （每题5分，共15分） 12. 13. 14. 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效 四、解答题 （共77分） 15．（13分） 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效 16.（15分） 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效 17. （15分） 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效 18（17分） 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效 19.（17分） 请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效 学科网（北京）股份有限公司 $2025~2026学年度（下）半期考试 高一数学 试卷满分：150分，考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦擦干净后，再涂其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使用05毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5.考试结束后，须将答题卡交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.在复平面内，复数-3+2i和-1-4i分别对应点M,N,则MN对应的复数为 A.2-6i B.-2+6i C.4+2i D.-4-2i 2.将正方体ABCD-A1BCD截去四面体ABBC后，余下的多面体与原正方体比较， 未发生变化的是 A.顶点数 B.棱数 C.面数 D.表面积 3.己知向量a=(2-x,-6),b=(x,3),且(2a十b)∥(@-2b),则c= A.-2 B.-1 C.1 D.2 4.已知正四棱锥的底面边长为32，侧棱长为5，则它的体积为 A.18 B.21 C.24 D.27 5,如图，一张残损的纸条上写着：“在△ABC中， AB=7,AC=8, (隐约可见数字‘6’)， 在△ABC中，AB=Z,AC=8,鳞 满足条件的△ABC有两个。 满足条件的△ABC有两个.”则残损处可能是 6 A.BC-6 B.A=60° C.B=60° D.C=60° 6.设a,b是两个向量，则a∥b的充要条件是 A.la+b=a+b B.a'b|=b2al C.lab+ba=0 D.1a62=a262 第1页共3页 7.已知球的表面积为48元，圆台的上、下底面半径之比为1：3，球与圆台的两个底面及侧面 都相切，则圆台的表面积为 A.92元 B.98元 C.104元 D.110元 8.设向量a=(tan80°，4)，b=(-1,sin80°)，则ab= A.-2 B.-√5 C.3 D.2 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.设a,b分别是△ABC的内角A,B所对的边，且a>b,则 A.sinA>sinB B.cosA<cosB C.sin2A>sin2B D.cos2A<cos2B l0.欧拉公式er=cosx+ising(x∈R)巧妙地将复数、指数函数与三角函数联系起来，揭 示了它们之间的深刻关联，在复变函数论中占据核心地位，被誉为“数学中的天桥”.下列 结论中正确的有 A.了xER,使得er<0 B.e=ew当且仅当x=y时成立 C.er与eir互为共轭复数 D.Vx,yER,eir.eiv=ei(tu) 11.如图，在等腰梯形ABCD中，CD=1,E为AB的中点，点P在菱形BCDE的内部及 边界上运动.设AP=xAE十yAD,其中x,y∈R. A.若B,P,D三点共线，则2x十y=1 B.x,y的约束条件为0≤y≤1≤x+y≤2 C.若AP=1,则EP.BD的取值范围是O, D.若∠EPC-120°，则BP的取值范围是V 2w5 3 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分， 12.湖心有一座小岛C,岸边有一条南北走向的观景路.某游客在观景路上的A处测得C 在北偏东15°：沿观景路行走800米后到达B处，此时测得C在南偏东75°，则从观景路到 小岛C的最近距离为 米 13.已知向量a,b满足ab=-6,bl=3.设a在b上的投影向量为c,则(a-b)(b+c)= 14.已知函数fx)=√3sinx-2cos2X+asin(2x+T)在区间(0，π)内恰有3个零点，则a 6 的取值范围是 第2页共3页 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分) 已知aGR,z=a-m为纯虚数. 1+3i (1)求a和z: (2)设w+1=叫+2，求复数w. 16.(本小题满分15分) 如图，函数f(x)=Asin(ωc十p)（A>0,w>0,lp<π)的图象 经过点M(1,2)和N,0),且与y轴交于点P. (1)求P的坐标： (2)设LPMN=Q,∠MON=B,求&-2B. 17.（本小题满分15分) 己知a,b,c是平面内的三个向量，其中a,b为单位向量，且(2a十b)⊥b. (1)求a与b夹角的大小： (2)设a-2b=|a+bl,求1 (3)设(2a+c)(2b+c)=1,求c的取值范围. 18.(本小题满分17分) 如图，在直三棱柱ABC-A1BC中，AA=1,AC=2. (1)设∠ABC=60°，求该三棱柱体积的最大值： (2)设∠ABC=135°，且三棱柱的所有顶点都在同一个球面 上，求该球的体积： (3)设AB=BC=√3，点P在AB上运动，求AP+PC的最小值. 19.（本小题满分17分) 如果三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称它为倍角三角形.设△ABC的内 角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=inB b+c sinA (1)判断△ABC是否为倍角三角形，并说明理由； (2)己知1<C<2. ①证明：△ABC是锐角三角形： ②若c=2,求△ABC面积的取值范围. 第3页共3页