精品解析：甘肃省金昌市永昌县第一高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

永昌县第一高级中学2024-2025-2高一期中试卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：湘教版必修第一册第六章､必修第二册第一章､第二章､第三章. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数的乘法运算，再得出复数对应点即可求解. 【详解】因为在复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选:C. 2. 化简：（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量加减法则化简即可得答案. 【详解】因为. 故选：C 3. 已知角的终边位于第四象限，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角的范围，利用同角的三角函数关系式和二倍角公式计算即得. 【详解】，且角的终边位于第四象限， ， 则. 故选:B. 4. 设与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的求法求得正确答案. 【详解】依题意，在上的投影向量为. 故选：C 5. 已知角A、B是的内角，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】应用正弦定理结合充要条件判断即可. 【详解】因为中，，由正弦定理得，所以； 由，由正弦定理得，所以； 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 6. 如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：，则破裂的断点两点间距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于点，求得，根据正弦定理即可求得，进而可求得，在中，由余弦定理即可求解. 【详解】如图，延长交于点，因为，所以， 在中，由正弦定理，得， 由题意得20， 在中，由余弦定理，得， 故两点之间的距离为. 故选：D. 7. 已知 ，且 是方程 的两根，则 的值为 （ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用韦达定理及两角和的正切公式求解即可. 【详解】依题意， 所以， 因为，又, 所以， 故选：C. 8. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，，是该正五角星的中心，则（ ） A. B. 32 C. D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量数量积的定义计算可得结果. 【详解】作，垂足，如下图所示： 则为的中点， 故 . 故选：A 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列选项正确的是（ ） A. 能作为平面内所有向量的一组基底 B. C. D. 的夹角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算逐项运算即可判断每个选项的正误. 【详解】由，可得，所以不共线， 所以能作为平面内所有向量的一组基底，故A正确； 由，所以， 所以，所以，故B正确； ，所以，故C错误； ，故的夹角为，故D正确. 故选：ABD. 10. 某品牌新能源汽车2024年上半年的销量如下表： 月份t 1 2 3 4 5 6 销量y（万辆） 11.7 12.4 13.8 13.2 14.6 15.3 根据上表的数据，下列说法正确的是（ ） A. 销量的极差为3.6 B. 销量的平均数为13.5 C. 销量的第40百分位数为13.8 D. 销量的中位数为13.2 【答案】AB 【解析】 【分析】根据极差的概念，百分位数的概念，平均数与中位数的概念，即可分别求解． 【详解】解：A．根据表格数据可得销量的极差为，选项正确； B．根据表格数据可得销量的平均数为，选项正确； C．，销量的第40百分位数是从小到大排列的第3个数据，即为13.2，故选项错误； D．中位数为，故选项错误； 故选：AB． 11. 如图，在平面直角坐标系中，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 四边形的面积为 C. 外接圆的周长为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算求得即可求解选项A；根据四边形的面积为求解选项B；利用正弦定理求解选项C；利用向量数量积公式求解选项D. 【详解】由题意可得，所以，故A错误； 过点作轴的垂线，设垂足为点，过点作轴的垂线，设垂足为点 ， 则四边形的面积为 ，故B正确； 因，在直角三角形中，易得， 设外接圆的半径为，由正弦定理，，解得， 故外接圆的周长为，故C正确； 因， ，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的几何意义结合复数的模相等求解即可. 【详解】由题意可设对应的向量为对应的向量为， 由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直， 则解得. 故答案为： 13. 已知，且为第三象限角，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由已知得且，结合同角三角函数的平方关系即可求. 【详解】， ∴， 又为第三象限角， 所以， 由知： 故答案为：. 14. 在中，角的对边分别为，且.若，则对的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用三角恒等变换及三角形内角的性质求得，令，结合向量数乘的几何意义及减法法则化简向量并求其模长. 【详解】由，得， 所以， 因为，则，所以， 设，则点在直线上，所以， 当时，最小，其最小值为. 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 某机构对100名菜农去年种植销售的蔬菜重量（单位：吨）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出的频率分布直方图如图所示. （1）求m； （2）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数； （3）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）. 【答案】（1）. （2）37.5吨. （3）平均数为37吨，方差为81. 【解析】 【分析】(1)由频率直方图以及频率和1列出方程即可求得 (2)结合频率分布直方图和中位数定义先确定中位数所在区间，再列式求出中位数. (3)应用均值和方差公式可求解. 【小问1详解】 由图可得，得. 【小问2详解】 设这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数的估计值为， 因为第一组和第二组数据的频率之和为（0.01+0.03）×10=0.4<0.5， 第一组、第二组和第三组数据的频率之和为（0.01+0.03+0.04）×10=0.8>0.5. 所以，由，得. 故这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数约为37.5吨. 【小问3详解】 估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数吨， 方差 16. 已知复数和它的共轭复数满足. （1）求； （2）若是关于的方程的一个根，求复数的模长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，结合共轭复数的定义，以及复数相等的条件，即可求解． （2）根据已知条件，结合韦达定理，求出，再结合复数的模的运算法则即可求解． 【小问1详解】 设， 则， 所以，解得， 故. 【小问2详解】 是关于的方程的一个根， 是关于的方程的另一个根， ，解得， . 17. 已知中，内角的对边分别为，若向量，且向量. （1）求角的值； （2）若，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量平行得到从而利用余弦定理求解得到 （2）利用正弦定理得到进而得到从而求解出周长. 【小问1详解】 因为，所以， 即， 所以， 因为，所以. 【小问2详解】 由正弦定理，将代入，得， 因为，所以， 所以， 故的周长为. 18. 如图，在矩形中，，点为线段上的动点，与的交点为. （1）求； （2）若点为的中点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的运算律，结合向量的加法运算，计算求解即可； （2）建系，求得向量坐标，由向量的坐标运算即可求解. 【小问1详解】 因，所以 . 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示平面直角坐标系， 可得.则. 若为的中点，则，故， 又由，则. 19. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的“线性函数”，为的“线性向量”， （1）若向量为函数的“线性向量”，求 （2）若函数为向量的“线性函数”，在中，，且，求的值； （3）若函数为向量的“线性函数”，且当时，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据两角和差公式及新定义计算结合模长求解； （2）先应用正弦定理计算，再应用余弦定理求解； （3）应用辅助角公式结合三角函数值域计算求参； 【小问1详解】 因为， 则，故. 【小问2详解】 依题意，， 由可得， 因，则，故，解得， 因，则， 又，代入解得①， 由正弦定理，，可得， 代入①，可得②， 又由余弦定理，， 可得③， 于是， 解得. 【小问3详解】 ， 当时，， 由，得， 或， 由，即，而，解得或， 即在上有两个根， 方程在上存在4个不相等的实数根， 当且仅当且在上有两个不等实根， 在同一坐标系内作出函数在上的图像和直线，如图， 方程在上有两个不等实根， 当且仅当函数在上的图像和直线4）有两个公共点， 观察图像知：或， 解得或， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 永昌县第一高级中学2024-2025-2高一期中试卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：湘教版必修第一册第六章､必修第二册第一章､第二章､第三章. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 化简：（ ）． A. B. C. D. 3. 已知角的终边位于第四象限，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 设与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知角A、B是的内角，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 6. 如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：，则破裂的断点两点间距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知 ，且 是方程 的两根，则 的值为 （ ） A. B. C. D. 8. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，，是该正五角星的中心，则（ ） A. B. 32 C. D. 64 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列选项正确的是（ ） A. 能作为平面内所有向量的一组基底 B C. D. 夹角为 10. 某品牌新能源汽车2024年上半年的销量如下表： 月份t 1 2 3 4 5 6 销量y（万辆） 11.7 12.4 13.8 13.2 14.6 15.3 根据上表的数据，下列说法正确的是（ ） A. 销量极差为3.6 B. 销量的平均数为13.5 C. 销量的第40百分位数为13.8 D. 销量的中位数为13.2 11. 如图，在平面直角坐标系中，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 四边形的面积为 C. 外接圆的周长为 D. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________. 13. 已知，且第三象限角，则______. 14. 在中，角的对边分别为，且.若，则对的最小值为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 某机构对100名菜农去年种植销售的蔬菜重量（单位：吨）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出的频率分布直方图如图所示. （1）求m； （2）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数； （3）估计这100名菜农去年种植销售蔬菜重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）. 16. 已知复数和它的共轭复数满足. （1）求； （2）若是关于的方程的一个根，求复数的模长. 17. 已知中，内角的对边分别为，若向量，且向量. （1）求角的值； （2）若，求的周长. 18. 如图，在矩形中，，点为线段上的动点，与的交点为. （1）求； （2）若点为的中点，求. 19. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的“线性函数”，为的“线性向量”， （1）若向量为函数的“线性向量”，求 （2）若函数为向量的“线性函数”，在中，，且，求的值； （3）若函数为向量的“线性函数”，且当时，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$