专题02平行四边形复习讲义(知识梳理+15大题型+突破题型)2025-2026学年沪教版五四制八年级数学下册

专题02平行四边形复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透定义：两组对边分别平行的四边形 2.牢记 4 大性质：对边平行且相等、对角相等邻角互补、对角线互相平分、中心对称3.掌握 5 种判定：定义法、两组对边相等、一组对边平行且相等、两组对角相等、对角线互相平分 1.能灵活运用性质进行角度计算、线段求值与证明。 2.会根据已知条件，合理选择判定定理证明四边形为平行四边形。 3.提升几何推理、逻辑证明和数形结合解题能力。 1.吃透选择、填空基础考点，快速秒杀基础题型。 2.熟练解答平行四边形证明题、计算题，掌握经典考法。 3.适应几何综合题型，稳步拿分，规避易错陷阱。 题型01.等腰梯形的定义 题型02.由平行四边形的性质求解 题型03.平行四边形个数计数问题 题型04.由平行四边形性质证明 题型05.平行四边形性质的应用 题型06.求平行线间的距离 题型07.由平行线间距离解决问题 题型08.四边形的不稳定性 题型09.证明四边形是平行四边形 题型10.判断能否构成平行四边形 题型11.添条件成为平行四边形 题型12.三点构平行四边形计数问题 题型13.由平行四边形的判定与性质求解 题型14.由平行四边形性质与判定证明 题型15.平行四边形性质与判定的应用 解答题5题 知识点01.定义（既是性质，也是判定） 1.定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作，读作 “▱ABCD”； ★核心：定义兼具判定和性质双重作用 —— 既是判定平行四边形的基本方法，也是平行四边形的首要性质。 2.基本元素：边（4 条，分对边、邻边）、角（4 个，分对角、邻角）、对角线（2 条，互相相交）、对称中心（对角线的交点）。 平行四边形基本元素：边、角、对角线。 3.平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，叫做这两条平行线间的距离； ★延伸性质：①平行线间的距离处处相等；②夹在两条平行线间的平行线段相等； 已知：直线 l1∥l2，点A.C在l1上，AB⊥l2于 B，CD⊥l2于 D 结论：AB=CD，AC=BD 知识点02:平行四边形核心性质(必考.知平行四边形推边角特征) 维度 性质 几何语言 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 知识点03:平行四边形的判定定理（核心，知边角特征推平行四边形） 判定方法 文字条件 几何语言 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 高频易错点 1.误用 “一组对边平行，另一组对边相等” 作判定 2.面积计算底高不对应 3.混淆对称性（误认是轴对称图形） 4.对角线计算忽略 “互相平分”，直接用全长计算 题型01.等腰梯形的定义 【典例】下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 【跟踪专练1】.如图，在梯形中，，连接，已知梯形的面积为17，的面积为12，那么的面积____． 【跟踪专练2】在如图的几何体中，上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形，那么图形中与平行的线段有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 题型02.由平行四边形的性质求解 【典例】在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，四边形是平行四边形，O是对角线与的交点，，若，则的长是________． 【跟踪专练2】如图，中，，，平分交于点，平分交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型03.平行四边形个数计数问题 【典例】如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【跟踪专练1】如图，，，，图中共有___________个平行四边形． 【跟踪专练2】如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型04.由平行四边形性质证明 【典例】如图，在中，点O是对角线，的交点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在纸板上剪出一个平行四边形，作出其对角线的交点O．我们进行如图操作：用大头针把一根平放在平行四边形纸板上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，它可以停留在任意位置，如果设细木条与一组对边，的交点分别为点E，F，则下列结论：①；②；③；④．一定成立的是_____（填写序号即可）． 【跟踪专练2】如图，在中，，相交于点O．下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的有（） . A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型05.平行四边形性质的应用 【典例】如图，在ABCD中，AC与BD交于O点，则下列结论中不一定成立的是（   ） A．AB=CD B．AO=CO C．AC=BD D．BO=DO 【跟踪专练1】为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 【跟踪专练2】嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作，请用一条直线平分与组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出，，，对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 题型06.求平行线间的距离 【典例】点，分别在直线，上，且，点到的距离为，则点到的距离（   ） A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【跟踪专练1】如图，直线，且，，，则直线与直线之间的距离是_____． 【跟踪专练2】如图，，和的夹角，且，于点，则与之间的距离为___________． 题型07.由平行线间距离解决问题 【典例】如图，，与相交于点，若的面积等于8，则的面积等于_____． 【跟踪专练1】如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，，，，的面积为6，则四边形的面积为_____． 题型08.四边形的不稳定性 【典例】下列物体应用了四边形的不稳定性的是（   ） A．木质梯子 B．学校门口的伸缩门 C．矩形门框 D．正方形地砖 【跟踪专练1】以下生活现象利用四边形的不稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了______． 题型09.证明四边形是平行四边形 【典例】如图1，战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支架（“轸”）为平行四边形的技术：“凡察车之道，必自载于地者始也．合矩以为方，中规乃行”．如图2，实际操作为：构成轮轴支架四边形的顶点分别为A，B，C，D，若，且，则轮轴支架形成的四边形是平行四边形的最简明理由是（    ） A．对角线互相平分 B．两组对边分别相等 C．一组对边平行且相等 D．两组对边分别平行 【跟踪专练1】如图，小明借助直尺和三角尺，作，然后再作，进而得到，四边形是平行四边形的依据是（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练2】在四边形中，由下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型10.判断能否构成平行四边形. 【典例】如图，四边形的对角线，相交于点O，下列条件中，一定能判定四边形是平行四边形的是（  ） A．， B． C．， D． 【跟踪专练1】下面给出四边形中，，，的度数之比，其中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型11.添条件成为平行四边形 【典例】如图，在四边形中，若在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______，使四边形是平行四边形．（填一个即可） 【跟踪专练1】如图，若增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形为平行四边形，则这条线段为______． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 题型12.三点构平行四边形计数问题 【典例】以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作____个不同的平行四边形． 【跟踪专练1】以不共线的三点为平行四边形的其中三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【跟踪专练2】已知平面直角坐标系中、、，若以A、B、C、D点为顶点作平行四边形，则点D的坐标为______． 题型13.由平行四边形的判定与性质求解 【典例】如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的角，则光线与纸板左上方所成的角∠2的度数是_____________． 【跟踪专练1】在四边形中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接交于点，连接，，若，，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．1 【跟踪专练3】如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若．则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 题型14.由平行四边形性质与判定证明 【典例】如图，将两个宽为的直尺交叉叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，转动其中一个直尺，另一个保持不动，下列结论：①四边形 始终是平行四边形； ②； ③四边形的周长保持不变； ④当时， 四边形的面积为，其中一定正确的是（   ） A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【跟踪专练1】如图所示，在四边形中，，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是______．（填序号） 【跟踪专练2】如图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长；⑤，其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 题型15.平行四边形性质与判定的应用 【典例】为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的加在铁轨之间的枕木长相等就可以了，请你说出这样判断的依据是______． 【跟踪专练1】如图，中，过对角线上一点作，，图中面积分别相等的四边形共有________对． 【跟踪专练2】如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点P处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点Q，在处的法线交于点N，处的法线为．若，，则液面从上升至的高度为______． 解答题 1．如图，在中，，于点D，延长到点E，使．过点E作交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，则的长为____________． 2．如图，在中，点分别在的延长线上，且．连接，交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 3．定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”． (1)请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称； (2)如图，在中，点、分别在边、边上，且满足，线段、交于点， 求证：． 4．已知：如图①，直线直线，垂足为，点在射线上，点在射线上（、不与点重合），点在射线上且，过点作直线，点在点的左边且． (1)求出的面积． (2)如图②，若，作的平分线交于点，交于点，求证：． 5．【问题背景】在中，连接，若，点E为边上一点，连接，交于点F． (1)如图1，若点E为中点，对角线与相交于点O，连接，且的面积为，，求的长； (2)【深入探究】如图2，若，，点N在边上，，且平分，线段（点P在点Q的左侧）在线段上，且，连接，过点N作，交于点G，连接，请判断与之间的数量关系并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02平行四边形复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透定义：两组对边分别平行的四边形 2.牢记 4 大性质：对边平行且相等、对角相等邻角互补、对角线互相平分、中心对称3.掌握 5 种判定：定义法、两组对边相等、一组对边平行且相等、两组对角相等、对角线互相平分 1.能灵活运用性质进行角度计算、线段求值与证明。 2.会根据已知条件，合理选择判定定理证明四边形为平行四边形。 3.提升几何推理、逻辑证明和数形结合解题能力。 1.吃透选择、填空基础考点，快速秒杀基础题型。 2.熟练解答平行四边形证明题、计算题，掌握经典考法。 3.适应几何综合题型，稳步拿分，规避易错陷阱。 题型01.等腰梯形的定义 题型02.由平行四边形的性质求解 题型03.平行四边形个数计数问题 题型04.由平行四边形性质证明 题型05.平行四边形性质的应用 题型06.求平行线间的距离 题型07.由平行线间距离解决问题 题型08.四边形的不稳定性 题型09.证明四边形是平行四边形 题型10.判断能否构成平行四边形 题型11.添条件成为平行四边形 题型12.三点构平行四边形计数问题 题型13.由平行四边形的判定与性质求解 题型14.由平行四边形性质与判定证明 题型15.平行四边形性质与判定的应用 解答题5题 知识点01.定义（既是性质，也是判定） 1.定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作，读作 “▱ABCD”； ★核心：定义兼具判定和性质双重作用 —— 既是判定平行四边形的基本方法，也是平行四边形的首要性质。 2.基本元素：边（4 条，分对边、邻边）、角（4 个，分对角、邻角）、对角线（2 条，互相相交）、对称中心（对角线的交点）。 平行四边形基本元素：边、角、对角线。 3.平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，叫做这两条平行线间的距离； ★延伸性质：①平行线间的距离处处相等；②夹在两条平行线间的平行线段相等； 已知：直线 l1∥l2，点A.C在l1上，AB⊥l2于 B，CD⊥l2于 D 结论：AB=CD，AC=BD 知识点02:平行四边形核心性质(必考.知平行四边形推边角特征) 维度 性质 几何语言 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 知识点03:平行四边形的判定定理（核心，知边角特征推平行四边形） 判定方法 文字条件 几何语言 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 高频易错点 1.误用 “一组对边平行，另一组对边相等” 作判定 2.面积计算底高不对应 3.混淆对称性（误认是轴对称图形） 4.对角线计算忽略 “互相平分”，直接用全长计算 题型01.等腰梯形的定义 【典例】下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 【答案】D 【分析】本题考查了梯形定义，熟练掌握梯形的特征是解题的关键． 根据梯形的定义：梯形是只有一组对边平行的四边形，进行判断即可. 【详解】解：A、因为有一组对边平行的四边形可能为平行四边形（两组对边平行），不一定是梯形，该选项说法错误，不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，该描述不是梯形的定义，且当其为平行四边形时，不符合梯形只有一组对边平行的特点，故该选项说法错误，不符合题意； C、因为有两组对边平行的四边形是平行四边形，不是梯形，该选项说法错误，不符合题意； D、只有一组对边平行的四边形是梯形，符合梯形定义，符合题意. 故选：D． 【跟踪专练1】.如图，在梯形中，，连接，已知梯形的面积为17，的面积为12，那么的面积____． 【答案】5 【分析】本题考查平行线之间的距离相等，涉及梯形面积公式、三角形面积公式等知识，过点作，过点作，如图所示，根据题意，表示出梯形面积与，数形结合即可得到的面积．熟记平行线之间的距离相等，数形结合表示出相关面积之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，过点作，如图所示： 在梯形中，，则， 梯形的面积为17， , 的面积为12， , ， 解得， 故答案为：5． 【跟踪专练2】在如图的几何体中，上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形，那么图形中与平行的线段有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，梯形的性质，平行公理的推理，根据平行四边形和梯形的性质可得，，，进而由平行公理的推理可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，∵几何体的上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴图形中与平行的线段有，，，共条， 故选：． 题型02.由平行四边形的性质求解 【典例】在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练1】如图，四边形是平行四边形，O是对角线与的交点，，若，则的长是________． 【答案】 【分析】先求出，，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵，， ∴在中，， ∴． 【跟踪专练2】如图，中，，，平分交于点，平分交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，结合平行线的性质得出，，根据角平分线的定义得出，，即可得出，，根据等角对等边得出，，根据线段的和差关系即可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 题型03.平行四边形个数计数问题 【典例】如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的定义即可得到平行四边形有：平行四边形，平行四边形，平行四边形．解题的关键是掌握：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 【详解】解：∵，，， ∴四边形，四边形和四边形都是平行四边形， ∴图中平行四边形共有个． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，，，，图中共有___________个平行四边形． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据题意找出两组对边分别平行的四边形，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴图中的平行四边形有，共三个， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握利用中点条件结合平行四边形性质，有序找出所有满足判定的四边形是解题的关键． 利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点条件，有序找出所有满足平行四边形判定的四边形，避免遗漏． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，分别是的中点 ∴ ， ， ， ∴ 根据平行四边形的判定定理，图中的平行四边形有： 四边形：已知条件； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：且； 四边形：且； 综上，图中共有个平行四边形． 故选：D． 题型04.由平行四边形性质证明 【典例】如图，在中，点O是对角线，的交点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．根据平行四边形的性质判断即可. 【详解】解：∵， ∴，，， 不一定成立，结论A错误，符合题意． 故选：A． 【跟踪专练1】在纸板上剪出一个平行四边形，作出其对角线的交点O．我们进行如图操作：用大头针把一根平放在平行四边形纸板上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，它可以停留在任意位置，如果设细木条与一组对边，的交点分别为点E，F，则下列结论：①；②；③；④．一定成立的是_____（填写序号即可）． 【答案】①②④ 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据平行四边形的性质得到，，得到，然后证明出，进而判断即可． 【详解】∵四边形是平行四边形，其对角线的交点O ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴，，故①②④正确； ∵和不一定平行 ∴和不一定相等，故③错误； 故答案为：①②④． 【跟踪专练2】如图，在中，，相交于点O．下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的有（） . A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用平行四边形的性质判断所给结论即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， 无法根据已知条件得到， 所以正确的是①②④⑤． 题型05.平行四边形性质的应用 【典例】如图，在ABCD中，AC与BD交于O点，则下列结论中不一定成立的是（   ） A．AB=CD B．AO=CO C．AC=BD D．BO=DO 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角线互相平分即可作出判断． 【详解】解：A、根据平行四边形的对边相等可得AB＝CD正确； B、根据平行四边形的对角线互相平分可得AO＝CO正确； C、平行四边形的对角线不一定相等，则AC＝BD错误； D、根据平行四边形的对角线互相平分可得BO＝DO正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角线互相平分，理解性质定理是关键． 【跟踪专练1】为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：由平行四边形的性质结合题意得：小路除了经过点外，还经过的中点， 故选：B． 【跟踪专练2】嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作，请用一条直线平分与组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出，，，对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 【答案】B 【分析】根据平行四边形为中心对称图形，得到过对称中心的任意一条直线平分平行四边形的面积，进行判断即可． 【详解】解：∵平行四边形为中心对称图形， ∴过对称中心的任意一条直线平分四边形的面积， 甲方案：直线既平分的面积，也平分的面积，符合题意；正确； 乙方案：直线平分的面积，所以下面阴影部分的面积大于上面的阴影部分的面，不符合题意；错误； 丙方案：直线既平分的面积，也平分，所以直线上方和下方的阴影部分面积也相等，符合题意；正确． 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．熟练掌握过平行四边形的中心的直线平分四边形的面积，是解题的关键． 题型06.求平行线间的距离 【典例】点，分别在直线，上，且，点到的距离为，则点到的距离（   ） A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据平行线之间的距离此处相等即可解题． 本题考查了平行线间的距离，属于简单题，熟悉平行线间距离的概念是解题关键． 【详解】解：∵，点到的距离为， ∴到的距离等于． 故选C． 【跟踪专练1】如图，直线，且，，，则直线与直线之间的距离是_____． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，求平行线间的距离等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 设直线与直线之间的距离是h，根据勾股定理的逆定理得到是，由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设直线与直线之间的距离是h， ∵，，， ∴， ∴是， ∴， ∴， ∴直线与直线之间的距离是， 故答案为：12． 【跟踪专练2】如图，，和的夹角，且，于点，则与之间的距离为___________． 【答案】50 【分析】先根据平行线性质及三角形内角和定理说明，可得，再结合已知条件得出答案． 【详解】解：，， ． ， ， ， ， ． ， ， 与之间的距离为． 题型07.由平行线间距离解决问题 【典例】如图，，与相交于点，若的面积等于8，则的面积等于_____． 【答案】8 【分析】题目主要考查平行线间的距离及三角形面积计算，理解平行线间的距离相等是解题关键． 过点D作的延长线于点F，过点C作，根据平行线间的距离相等得出，结合三角形等底，即可得出结果． 【详解】解：如图所示，过点D作的延长线于点F，过点C作， ∵， ∴， ∵的面积等于8， ∴， ∴， ∴的面积等于8． 故答案为：8． 【跟踪专练1】如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线之间的距离，设和之间的距离为h，然后表示出，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴设和之间的距离为h， ∴，，， ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，，，，，的面积为6，则四边形的面积为_____． 【答案】20 【分析】本题考查了平行四边形的判定与面积计算，以及三角形面积公式的应用，掌握利用平行线间的距离相等，通过三角形面积求出平行四边形的高是解题的关键． 先判定四边形为平行四边形，求出的长度，再通过的面积求出平行线间的高，最后计算平行四边形的面积． 【详解】解：∵ 且 ∴ 四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ 设点到直线的距离为 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 题型08.四边形的不稳定性 【典例】下列物体应用了四边形的不稳定性的是（   ） A．木质梯子 B．学校门口的伸缩门 C．矩形门框 D．正方形地砖 【答案】B 【详解】解：四边形的不稳定性是指四边形边长固定时形状容易改变，只有需要灵活改变形状的场景才会利用该性质． A选项木质梯子需要保持固定形状保障安全，利用的是结构稳定性，不符合要求； B选项学校门口的伸缩门需要改变形状实现伸缩开合，正是利用了四边形的不稳定性，符合要求； C选项矩形门框和D选项正方形地砖都需要保持固定形状，不符合要求． 【跟踪专练1】以下生活现象利用四边形的不稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、木窗框与对角钉的木条形成的三角形，三边和三角固定，防止安装变形，是利用三角形的稳定性，不符合题意； B、活动梯子，张开的梯腿与地面形成三角形，三边和三角固定，防止登上梯子变形，是利用三角形的稳定性，不符合题意； C、伸缩门的结构是平行四边形，四角活动可以变形开关门，是利用四边形的不稳定性，符合题意； D、使用梯子的过程中，墙壁、地面和梯子形成三角形，三边和三角固定，防止登上梯子变形，是利用三角形的稳定性，不符合题意． 【跟踪专练2】2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了______． 【答案】平行四边形的不稳定性 【分析】本题考查了四边形的特性，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握四边形的特性是解此题的关键． 【详解】解：机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了平行四边形的不稳定性， 故答案为：平行四边形的不稳定性． 题型09.证明四边形是平行四边形 【典例】如图1，战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支架（“轸”）为平行四边形的技术：“凡察车之道，必自载于地者始也．合矩以为方，中规乃行”．如图2，实际操作为：构成轮轴支架四边形的顶点分别为A，B，C，D，若，且，则轮轴支架形成的四边形是平行四边形的最简明理由是（    ） A．对角线互相平分 B．两组对边分别相等 C．一组对边平行且相等 D．两组对边分别平行 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题关键． 【详解】解：由题意可知，，且， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，小明借助直尺和三角尺，作，然后再作，进而得到，四边形是平行四边形的依据是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【跟踪专练2】在四边形中，由下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐个分析各选项是否满足判定条件即可． 【详解】解：A、由，不能判定四边形是平行四边形，等腰梯形也可满足此条件，故此选项不符合题意； B、由，不能判定四边形是平行四边形，直角梯形也可满足此条件，故此选项不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故此选项符合题意； D、由，不能判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； 题型10.判断能否构成平行四边形. 【典例】如图，四边形的对角线，相交于点O，下列条件中，一定能判定四边形是平行四边形的是（  ） A．， B． C．， D． 【答案】A 【详解】解：A、由，，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形，故符合题意； B、由无法判定四边形是平行四边形，故不符合题意； C、由，无法判定四边形是平行四边形，故不符合题意； D、由无法判定四边形是平行四边形，故不符合题意． 【跟踪专练1】下面给出四边形中，，，的度数之比，其中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用到“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理，只需判断四个选项中，对角所占的份数是否相等，即可得出结论． 【详解】解：两组对角分别相等的四边形是平行四边形， 若四边形为平行四边形，需要满足，，即四个角度数之比中，与的份数相等，与的份数相等， 观察四个选项，只有选项D满足上述条件，因此能判定四边形是平行四边形． 【跟踪专练2】如图，四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，无法判定这个四边形是平行四边形，符合题意； B、∵， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形，不符合题意； C、，，对角线互相平分的四边形为平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，不符合题意； D、∵， ∴，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，不符合题意． 题型11.添条件成为平行四边形 【典例】如图，在四边形中，若在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______，使四边形是平行四边形．（填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的判定方法添加一个条件即可． 【详解】解：①根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以添加条件； ②根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以添加条件； ③添加条件， ， ． 又， 四边形是平行四边形； ④添加条件， ， ． 又， 四边形是平行四边形； ⑤添加条件， ， ． ， ， ． 又， 四边形是平行四边形； ⑥添加条件， ， ． ， ， ． 又， 四边形是平行四边形． 【跟踪专练1】如图，若增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形为平行四边形，则这条线段为______． 【答案】 【分析】根据已知条件结合平行线的判定得出，要使四边形为平行四边形，则需满足，即可求解． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】2或3 【分析】分两种情况讨论：①设t秒后四边形是平行四边形；根据题意得：厘米，厘米，由得出方程，解方程即可；②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米，由得出方程，解方程即可． 【详解】解：①设经过t秒四边形是平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 即经过2秒四边形为平行四边形； ②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴ 解得． 综上，经过2秒或3秒直线将四边形截出一个平行四边形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．注意要分情况讨论，不要漏解． 题型12.三点构平行四边形计数问题 【典例】以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作____个不同的平行四边形． 【答案】3 【分析】连接三点，分别以三边作为平行四边形的对角线，作图即可得3个平行四边形． 【详解】解：如图， 以点，，能做三个平行四边形：，，． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 【跟踪专练1】以不共线的三点为平行四边形的其中三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．做题时需要分类讨论，以防漏解．如图，三点不共线，连接、、，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个不同的平行四边形． 【详解】解：如图，三点不共线，连接、、， 分别以、、为平行四边形的对角线，另外两边为边， 可构成的平行四边形有三个：，，； 综上所述，可以作3个平行四边形， 故选：B． 【跟踪专练2】已知平面直角坐标系中、、，若以A、B、C、D点为顶点作平行四边形，则点D的坐标为______． 【答案】或或 【分析】分情况讨论：设点D的坐标为，当、为平行四边形对角线或当、为对角线或、为对角线时，根据两条对角线的中点坐标相同，据此列方程求解即可． 【详解】解：设点D的坐标为， 当、为平行四边形对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 当、为对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 当、为对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 题型13.由平行四边形的判定与性质求解 【典例】如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的角，则光线与纸板左上方所成的角∠2的度数是_____________． 【答案】/72度 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定方法是解题关键．根据两组对边平行的四边形是平行四边形可证得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可解答． 【详解】解：如图所示， 根据题意得，，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】在四边形中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对角相等，由此即可得到答案． 【详解】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【跟踪专练2】如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接交于点，连接，，若，，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．1 【答案】C 【分析】由题意先判断四边形和四边形都是平行四边形，再根据，可得，再根据比例关系即可求解． 【详解】解：∵,, ∴, ∵ ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ， ∴． 【跟踪专练3】如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若．则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过点作交于，交于，由是平行四边形可得，；进而得到四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及三角形面积间的关系即可解答． 【详解】解：如图，过点作交于，交于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，， ∵ ， ， ． 题型14.由平行四边形性质与判定证明 【典例】如图，将两个宽为的直尺交叉叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，转动其中一个直尺，另一个保持不动，下列结论：①四边形 始终是平行四边形； ②； ③四边形的周长保持不变； ④当时， 四边形的面积为，其中一定正确的是（   ） A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，直角三角形的性质， 先说明四边形是平行四边形，可得，判断①②；再根据随着直尺转动，边长变化，判断③；然后作，求出，再结合宽为可求出面积，并判断④． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则①②正确； 随着直尺转动，边长变化，可知四边形周长发生变化， ∴③不正确； 过点A作，交于点E， 在中，， ∴， ∴四边形的面积为，则④正确， 可知正确的有①②④． 故选：C． 【跟踪专练1】如图所示，在四边形中，，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是______．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 根据题意易证，进而得到，根据、，证得四边形是平行四边形，同理证得四边形是平行四边形，根据平行四边形对角线的性质得到． 【详解】解：、， ， ， ， ， 在和中 ， ， 故①正确； 、， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故②③正确； ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 【跟踪专练2】如图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长；⑤，其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 利用全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质逐一判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ，， ， ， ， ，，故①正确； ， ， ∴， ，即， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ，而不一定等于，故③错误； ，， ， ∴平分的周长，故④正确； 如图，过点E作，并延长交于点N， ∵， ， ∴， ， ， ，故⑤正确， 综上，正确的有4个． 故选；C． 题型15.平行四边形性质与判定的应用 【典例】为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的加在铁轨之间的枕木长相等就可以了，请你说出这样判断的依据是______． 【答案】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形进行判定，然后结合平行四边形的性质证明即可． 【详解】解：如图所示，设与为两条铁轨，，，等均为枕木， 由题意，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同理可证，四边形等均为平行四边形， ∴ ∴保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的放在铁轨之间的枕木长相等就可以了， ∴这样判断的依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，理解并掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 【跟踪专练1】如图，中，过对角线上一点作，，图中面积分别相等的四边形共有________对． 【答案】5 【分析】本题考查了平行四边形的性质；平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形．所以三角形的面积等于三角形的面积．三角形的面积等于的面积，三角形的面积等于三角形的面积，从而可得到5对四边形的面积分别相等． 【详解】解：为平行四边形，为对角线， 的面积等于的面积， 同理三角形的面积等于三角形的面积，从而可得到的面积等于的面积， 四边形和的面积相等，四边形和四边形的面积相等，四边形和四边形的面积相等，四边形和四边形的面积相等， 共5对， 故答案为：5． 【跟踪专练2】如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点P处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点Q，在处的法线交于点N，处的法线为．若，，则液面从上升至的高度为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，关键是等腰三角形判定定理的应用． 先证明四边形是平行四边形，求得，据此求解即可． 【详解】由题意得，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 解答题 1．如图，在中，，于点D，延长到点E，使．过点E作交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，则的长为____________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由等腰三角形的性质得，由平行四边形的性质得，进而由勾股定理得的长，据此计算即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 2．如图，在中，点分别在的延长线上，且．连接，交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由平行四边形的判定与性质求证即可； （2）由平行四边形对边平行，再结合平行性质得到角度关系求解即可． 【详解】（1）证明：在中，，， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）知四边形是平行四边形， ， 则， 在中，，则， 在中，，则， ， 则． 3．定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”． (1)请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称； (2)如图，在中，点、分别在边、边上，且满足，线段、交于点， 求证：． 【答案】(1)平行四边形（答案不唯一） (2)见详解 【分析】本题考查新定义题型，涉及特殊的四边形，四边形内角和． （1）根据定义，平行四边形，菱形，矩形都符合，写出一个即可； （2）利用四边形内角和及邻补角的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：写出一个学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称，如：平行四边形； （2） , ． 4．已知：如图①，直线直线，垂足为，点在射线上，点在射线上（、不与点重合），点在射线上且，过点作直线，点在点的左边且． (1)求出的面积． (2)如图②，若，作的平分线交于点，交于点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，对顶角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点B作直线的垂线，交直线于点，根据平行线间距离处处相等，得到，利用三角形面积公式即可求解； （2）由，推出，由，推出，则，从而得到再由角平分线的定义得到，则． 【详解】（1）解：过点B作直线的垂线，交直线于点， ，， ， ∵， ， ； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 5．【问题背景】在中，连接，若，点E为边上一点，连接，交于点F． (1)如图1，若点E为中点，对角线与相交于点O，连接，且的面积为，，求的长； (2)【深入探究】如图2，若，，点N在边上，，且平分，线段（点P在点Q的左侧）在线段上，且，连接，过点N作，交于点G，连接，请判断与之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）首先由平行四边形的性质得到，，，然后得到，然后利用三角形面积公式求解即可； （2）如图所示，过点C作于点M，求出，，，得到为等腰三角形，然后利用勾股定理求出，证明出四边形是平行四边形，得到． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图所示，过点G作于点M， ∵，四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∵， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $