精品解析：河南南阳市第十一完全学校等校2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题

高二数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】，∴，∴， ∴． 2. 已知是等差数列的前n项和，且，，则（ ） A. 20 B. 23 C. 26 D. 29 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：由，得到，根据得到，进而得到公差，再利用通项公式求解；方法二：列方程组求解． 【详解】方法一：由，得， 由，得， 设公差为d，则，解得， ∴． 方法二：设公差为d，由题知， 解得，， ∴． 3. 已知随机变量X服从两点分布，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【详解】因为X服从两点分布，所以，结合条件得，． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用赋值法，令、和，再列式求解即可． 【详解】解：令，得①， 令，得②， ①＋②，得， 即， 令，得， ∴． 5. 有5名护士到某医院实习，该医院将这5名护士分到心内科、心外科、骨科这三个科室，每个科室至少分1人，且每人只去一个科室，则不同的分配方案种数为（ ） A. 40 B. 90 C. 150 D. 240 【答案】C 【解析】 【详解】解：先将5名护士分成3组，每组至少1人，分组方式有；， 则不同的分配方案种数为． 6. 已知点，，在直线上存在点，满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由，可得点的轨迹方程，结合题意，由点到直线的距离小于等于半径，列不等式计算即可求解. 【详解】设．∵， ∴，化简整理，得， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， 由题意可知，直线与圆有公共点， ∴，解得． 7. 已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义得到切线方程为，设曲线的切点为，求导得，解出得到切点，再代入得到即可． 【详解】解：由题知，，，∴， ∴曲线在处的切线方程为，即． ∵，∴， 设直线与曲线的切点为， 则，得，∴， 又，∴． 8. 已知数列的前n项和（p，q，），若，且对任意的，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，可得，分析可知数列是以首项，公差的等差数列，进而可得，结合等差数列性质运算求解. 【详解】令， 则， 因为，即，则， 可得，可知数列是以首项，公差的等差数列， 又因为，则，即， 可得，解得， 则， 所以的取值范围是. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的展开式的二项式系数之和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的系数为 C. 展开式中各项系数和为1 D. 展开式中二项式系数最大的项只有第4项 【答案】AC 【解析】 【分析】由展开式的二项式系数之和为可得A；借助二项式的展开式的通项公式计算可得B；令，代入计算可得C；借助二项式系数单调性可得D. 【详解】对A：由题意可得，故，故A正确； 对B：对，有， 令，则，有， 故的系数为，故B错误； 对C：令，有，故展开式中各项系数和为，故C正确； 对D：由，则展开式中二项式系数最大的项为第和第项，故D错误. 10. 在数列中，，若，则下列结论正确的是（ ） A. 是等差数列 B. C. 数列的前n项和为 D. 数列的前n项和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】运用取倒数法，结合构造法、等比数列的定义、等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、裂项相消法逐一判断即可. 【详解】A：， 因为，所以由递推关系可知该数列每一项都为正实数， 所以由， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，故本选项说法不正确； B：由上可知：数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，故本选项说法正确； C：由上可知：， 所以数列的前n项和为 ，故本选项说法正确； D：因为， 所以数列的前n项和为，故本选项正确. 11. 某智能系统在进行数据分类时，其准确性受前一次分类结果的影响．记表示事件“第n次分类正确”，表示第n次分类正确的概率．已知，且满足以下条件：若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为；若第n次分类错误，则第次分类正确的概率为．记，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为 C. 数列是等比数列 D. 数列的前n项和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意可得，直接求出即可判断A；利用条件概率求出即可判断B；对于C，利用构造法即可判断C；对于D，结合C的结论即可得到，再利用等比数列前项和公式求解即可． 【详解】由已知得第次分类正确的概率为 ， 对于A，，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，由，得，又， 所以是首项为，公比为的等比数列，则不是等比数列，故C错误； 对于D，由C项知，，， 所以数列的前n项和为，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的单调递减区间为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数与函数单调性的关系求解即可. 【详解】函数的定义域为， 且，令，解得， 所以的单调递减区间为 13. 已知数列的前n项和为，则的通项公式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据与的关系求解． 【详解】当时，， 当时，， 又当时，不满足该式， ∴ 14. 已知数列中，，.设函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据递推式两边同除以适当因子，可构造出  的差为常数，从而得到等差数列，求出通项，然后对函数求导并代入 ，得到关于的和式，将代入后裂项相消，即得结果. 【详解】由已知，两边同时乘以得， ，所以，令，所以，. 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以 所以，即，当时，符合通项公式，所以. ，所以，所以，因为， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为响应国家“推进青少年传统文化传承”的号召，某市对高中生的传统文化经典诵读能力开展调研.研究者随机抽取了该市220名高中学生，按是否参加过“经典诵读”兴趣社团分为两组，并测试他们能否准确背诵《论语》中的经典篇目.测试结果如下表： 能准确背诵 不能准确背诵 参加过兴趣社团 75 35 未参加过兴趣社团 45 65 （1）用频率估计概率，求参加过兴趣社团和未参加过兴趣社团的学生能准确背诵的概率； （2）在犯错误的概率不超过0.001的前提下，能否认为学生准确背诵的能力与参加兴趣社团有关？ 附：. 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）参加过兴趣社团的学生能准确背诵的概率为；未参加过兴趣社团的学生能准确背诵的概率为 （2）在犯错误的概率不超过0.001的前提下，能认为学生准确背诵的能力与参加兴趣社团有关. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合古典概型求解对应概率即可； （2）计算的值，结合独立性检验的思想求解即可. 【小问1详解】 由题意知，参加过兴趣社团的学生中，能准确背诵的学生有75名，不能准确背诵的学生有35名， 所以参加过兴趣社团的学生能准确背诵的概率为， 未参加过兴趣社团的学生中，有45名同学能准确背诵，65名同学不能准确背诵， 所以，未参加过兴趣社团的学生能准确背诵的概率为. 【小问2详解】 列出列联表如下： 类别 能准确背诵 不能准确背诵 合计 参加过兴趣社团 75 35 110 未参加过兴趣社团 45 65 110 合计 120 100 220 零假设：学生准确背诵的能力与参加兴趣社团无关， 则， 所以，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，能认为学生准确背诵的能力与参加兴趣社团有关. 16. 已知数列满足，且. （1）求的通项公式； （2）求的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)构造，成等差数列计算即可； (2)运用错位相减法计算即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）， ， 所以 . 所以. 17. 某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1-16年的居民存款余额y（单位：万亿元）的散点图，如图所示： （1）已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率； （2）由散点图知，y和t的关系可用线性回归模型进行拟合，求y关于t的线性回归方程，并预测2026年的居民存款余额. 参考数据：，，. 参考公式：对于一组数据（），其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 【答案】（1） （2），151（万亿元） 【解析】 【分析】（1）16年中有4年居民存款余额超过100万亿元，根据组合知识求解概率； （2）根据最小二乘法求出和，从而得到线性回归方程，进而预测2026年的居民存款余额即可. 【小问1详解】 由题意，16年中有4年居民存款余额超过100万亿元， 故所求概率为. 【小问2详解】 ， 已知，，， 则， 所以， 所以线性回归方程为. 故2026年的居民存款余额为（万亿元）. 18. 记数列的前项和为，已知，且是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据是等差数列求得与的关系式，然后利用以及累乘法求得. （2）利用裂项求和法求得. 【小问1详解】 因为，是公差为的等差数列， 所以，即． 当时，，整理可得， 所以，，，，， 累乘得，所以（也满足该式）， 故． 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以 ． 19. 若数列满足对任意的，都有，则称这个数列为“P数列”. （1）已知数列2，，是“P数列”，求实数m的取值范围. （2）是否存在首项为1的等差数列为“P数列”，且其前n项和使得对任意的恒成立？若存在，求出其公差d的取值范围；若不存在，请说明理由. （3）已知各项均为正整数的无穷等比数列是“P数列”，数列不是“P数列”，设，若数列也是“P数列”，求满足条件且公比最小的的通项公式. 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）根据“数列”的定义列出不等式组求解即可得到答案； （2）假设等差数列的公差为，列出不等式组可求的范围； （3）设等比数列的首项为正整数，公比为正整数，可先确定，此时首项为，可求得通项为：. 【小问1详解】 根据“数列”定义，，得或； ，得；即的取值范围为. 【小问2详解】 设等差数列的公差为，根据“数列”的定义，有； 由等差数列的求和公式，等差数列的前项和， 代入，即当时，恒成立， ,此时， 两边同时除以，可得恒成立， 考虑函数，当时，单调递减， 结合,可得当时，取最大值， 可得的取值范围为. 【小问3详解】 由已知等比数列的各项均为正整数，可得首项和公比均为正整数； 设首项，公比为； 根据“数列”定义，对任意恒成立可知； 不是“数列”，即存在使得， 假设则需要存在，可以得到的所有可能取值为，，，； 可设 对于数列，； 代入，， 即随着变大，也是变大的， 若对于正整数，恒成立，只需要即可， 即，得，与之前的范围不符，不成立； 若，，是“数列”不是“数列”，则或 代入，同理可得是随增大而增大的，检验， 可得满足条件，不成立. 综上，满足条件且公比最小的数列的通项为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知是等差数列的前n项和，且，，则（ ） A. 20 B. 23 C. 26 D. 29 3. 已知随机变量X服从两点分布，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 有5名护士到某医院实习，该医院将这5名护士分到心内科、心外科、骨科这三个科室，每个科室至少分1人，且每人只去一个科室，则不同的分配方案种数为（ ） A. 40 B. 90 C. 150 D. 240 6. 已知点，，在直线上存在点，满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 8. 已知数列的前n项和（p，q，），若，且对任意的，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的展开式的二项式系数之和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的系数为 C. 展开式中各项系数和为1 D. 展开式中二项式系数最大的项只有第4项 10. 在数列中，，若，则下列结论正确的是（ ） A. 是等差数列 B. C. 数列的前n项和为 D. 数列的前n项和为 11. 某智能系统在进行数据分类时，其准确性受前一次分类结果的影响．记表示事件“第n次分类正确”，表示第n次分类正确的概率．已知，且满足以下条件：若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为；若第n次分类错误，则第次分类正确的概率为．记，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为 C. 数列是等比数列 D. 数列的前n项和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则的单调递减区间为______． 13. 已知数列的前n项和为，则的通项公式为______． 14. 已知数列中，，.设函数，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为响应国家“推进青少年传统文化传承”的号召，某市对高中生的传统文化经典诵读能力开展调研.研究者随机抽取了该市220名高中学生，按是否参加过“经典诵读”兴趣社团分为两组，并测试他们能否准确背诵《论语》中的经典篇目.测试结果如下表： 能准确背诵 不能准确背诵 参加过兴趣社团 75 35 未参加过兴趣社团 45 65 （1）用频率估计概率，求参加过兴趣社团和未参加过兴趣社团的学生能准确背诵的概率； （2）在犯错误的概率不超过0.001的前提下，能否认为学生准确背诵的能力与参加兴趣社团有关？ 附：. 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16. 已知数列满足，且. （1）求的通项公式； （2）求的前n项和. 17. 某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1-16年的居民存款余额y（单位：万亿元）的散点图，如图所示： （1）已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率； （2）由散点图知，y和t的关系可用线性回归模型进行拟合，求y关于t的线性回归方程，并预测2026年的居民存款余额. 参考数据：，，. 参考公式：对于一组数据（），其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 18. 记数列的前项和为，已知，且是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 19. 若数列满足对任意的，都有，则称这个数列为“P数列”. （1）已知数列2，，是“P数列”，求实数m的取值范围. （2）是否存在首项为1的等差数列为“P数列”，且其前n项和使得对任意的恒成立？若存在，求出其公差d的取值范围；若不存在，请说明理由. （3）已知各项均为正整数的无穷等比数列是“P数列”，数列不是“P数列”，设，若数列也是“P数列”，求满足条件且公比最小的的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $