精品解析：福建龙岩第一中学等校2025-2026学年第二学期期中测试高一数学试题

福建龙岩第一中学等校2025-2026学年第二学期期中测试高一数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】，故，故虚部3. 2. 如图，点O为正六边形的中心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形特征根据平面向量的加法计算求解. 【详解】. 3. 已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面、面面平行的性质定理与判定定理判断即可. 【详解】已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面， 若，，则或，A选项错误； 若，，，则由线面平行的性质定理可知，，B选项正确； 若，，则或，C选项错误； 若，，则或与异面，D选项错误. 4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知两边及其中一边所对的角，适合使用余弦定理，把已知的，，代入余弦定理，得到关于 的一元二次方程，再结合边长必须为正数确定结果. 【详解】在中，由余弦定理得， 将已知条件代入，得， 即，化简得， 整理得，因式分解得，所以或， 因为三角形边长为正数，所以. 故选项C正确. 5. 已知向量，满足，，，则在上的投影向量等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积模的运算公式求，再代入投影向量公式求解. 【详解】，所以， 所以在上的投影向量等于. 6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S．若，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形面积公式，以及条件变形，结合三角函数恒等变换，即可求解. 【详解】由条件可知，，， 所以，根据正弦定理得， ， 因为，所以. 7. 在菱形中，，，P为菱形所在平面内的动点，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系求解 【详解】 如上图，以菱形的对角线交点为坐标原点建立平面直角坐标系 ，，，，， 设点坐标为， 由得，化简得， 由直线方程的性质知：过的中点及， 又因为三角形是等边三角形，，所以是的垂直平分线， 所以， 由两点之间直线段最短，得的最小值为，， 的最小值为. 8. 已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2，6，高为4，P，Q分别是侧棱，的中点，经过P，Q作该正四棱台外接球的截面，则截面面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找出外接球的球心位置，确定外接球的半径，再找出截面面积最小时的截面圆半径，最后根据圆面积公式计算截面面积. 【详解】由题意可知，设下底面中心为，上底面中心为， 则，又因为下底面是边长为6的正方形， 所以到下底面各顶点的距离为， 同理到上底面各顶点距离为， 设外接球球心为，它在直线上， 设到的距离为，则外接球半径满足： ，， 所以，解得：， 所以球心与下底面中心重合，半径， 因为，是侧棱和的中点， 所以过侧棱中点的截面平行于底面，为正方形， 边长等于上下底面边长的平均值，所以， 因为侧棱长， 又， 所以，同理， 在等腰中，，， 作于，则为中点，， 所以， 即球心到直线的距离为2， 过直线作球的截面，截面圆半径为， 其中为球心到截面的距离，当截面圆面积最小时，最大， 且最大值为到直线的距离2，此时， ，所以截面面积的最小值为. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，则（ ） A. z的虚部为7 B. z在复平面内对应的点位于第三象限 C. D. z是方程的一个根 【答案】AD 【解析】 【详解】，其虚部为，A选项正确， 在复平面对应的点为，在第二象限，B选项错误. ，C选项错误. ，D选项正确. 10. 已知的内角的对边分别为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则 D. 若满足，的有两个，则边长的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【详解】A选项：由正弦定理（为外接圆半径，）， 得，，. 若，则，即，故A正确. B选项：由向量数量积定义，，仅能推出， 即角为锐角，无法保证角均为锐角，故B错误. C选项：由余弦定理得，变形得. 代入已知条件，得，解得. ∵，故， ∴，故C正确. D选项：设，，角， 若有两个解，则需要满足， 代入数据得，即，故D正确. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，Q为的中点，动点P在侧面内且满足，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则四面体的体积为 B. 若，则 C. 若存在点P，使平面，则长度的最小值是 D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三棱锥体积公式计算判断A，应用向量关系证明线线平行判断B，应用线面平行及边长计算判断C，结合余弦定理计算判断D. 【详解】对于A，当时，P是线段的中点，此时点Q到平面的距离为2，所以，A正确． 对于B，当时，，取线段的中点M，则，正方体中，所以，B正确． 对于C，取线段的中点R，线段的中点S，当点P位于线段上时， 平面，平面，所以平面，又平面，平面，所以平面， 平面，所以平面平面，平面，平面， 此时有，，，，所以为直角三角形，当P位于点S时，长度的最小值是，C错误． 对于D，当时，点位于线段上，把平面翻折展开至平面，当点Q，P，A三点共线时，取最小值， 在中，，，，由余弦定理得，所以， 又为等边三角形，所以在中，，所以， 所以，所以，D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，的斜二测画法的直观图是，其中，那么的面积为____． 【答案】 【解析】 【详解】斜二测画法中直观图坐标系的夹角为， 由题意，分析可得为等腰直角三角形， 其面积. 斜二测画法中，原图形面积是直观图面积的倍， 所以原图形的面积. 13. 在梯形中，，，设（，），则____． 【答案】## 【解析】 【详解】由于，故是的中点，故, 故 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，且，则面积的最大值为____． 【答案】16 【解析】 【分析】先根据题目所给条件，找出之间的关系，再令，然后用表示出，再结合正弦定理用表示出，最后用表示出三角形的面积，利用基本不等式求解出最大值即可. 【详解】，可得，，即，． 令，易知，则， 因此可得，，，， ，， 由正弦定理可得，，又， 的面积，当且仅当，即时，等号成立，因此面积的最大值为16． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，． （1）若向量，求实数k的值； （2）若向量满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先应用向量的坐标运算得出，再根据向量平行的坐标运算计算求解； （2）先应用向量的坐标运算得出，再根据向量垂直的坐标运算计算求参数，最后计算模长即可； 【小问1详解】 由，， 得，． 因为，所以， 解得． 【小问2详解】 由，，得，， 由，得，，解得， 所以，则． 16. 已知复数（），且为实数，其中i为虚数单位． （1）求复数z； （2）在复平面内，设复数，，对应的点分别为A，B，C，若四个点A，B，C，D构成平行四边形，求点D对应的复数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数表示实数，则求解； （2）求出，，，设，由为平行四边形得到，利用向量的坐标公式得到的等式，解得，从而得到的坐标，继而得到点D对应的复数． 【小问1详解】 因为， 所以， 则，所以，所以． 【小问2详解】 由题意可知，，，所以，，． 设，又为平行四边形，所以， 即，解得，， 故，即点D对应的复数为． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若的平分线交边于点D，且，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先应用同角三角函数关系，再结合余弦定理计算求解； （2）由正弦定理得出，再应用余弦定理结合面积公式计算. 【小问1详解】 ， ， 即，即， ，，． 【小问2详解】 在中，由正弦定理得，． 在中，由正弦定理得，． 两式相除可得，即． 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得，解得，． 的面积． 18. 如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． （1）求证：D，B，F，E四点共面． （2）设平面平面，求证：． （3）棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：连接． 因为，分别为棱，的中点， 所以，又在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以，，，四点共面． （2） 证明：由（1）知，又平面，平面， 所以平面． 因为平面平面，平面，所以． （3）存在， 【解析】 【分析】（1）应用平行四边形得出，进而得出线线平行即可证明； （2）应用线面平行判定定理得出平面，再应用线面平行性质定理证明； （3）先证明四边形为平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理证明； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 存在，且． 理由如下：取的中点，连接，． 因为，分别为，的中点， 所以，， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 设为的中点，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 故存在所求的点，且． 19. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c． （1）已知． （ⅰ）求角B； （ⅱ）若，且为锐角三角形，求面积的取值范围． （2）设P为内一点，满足，若，，求实数的最小值． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）已知等式利用正弦定理和三角恒等变换求角B； （ⅱ）结合正弦定理有，结合角C的范围求面积的取值范围； （2）由利用倍角公式化简得，所以，设，，，利用余弦定理可得，又由已知得，结合基本不等式求实数t的最小值． 【小问1详解】 （ⅰ）因为， 所以由正弦定理得， 又， 所以， 由，，所以， 即，又，所以，得． （ⅱ）因为是锐角三角形，且，所以，， 又，所以， 则， 因为，所以，则， 从而，故面积的取值范围是． 【小问2详解】 因为， 所以，所以， 所以，所以为直角三角形，． ， 设，，（，，）， 则由，得， 由余弦定理得， ， ， 故由，得， 即，而，，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，所以，解得或（舍去）． 故实数t的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建龙岩第一中学等校2025-2026学年第二学期期中测试高一数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为（ ） A. 3 B. C. D. 4 2. 如图，点O为正六边形的中心，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5. 已知向量，满足，，，则在上的投影向量等于（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S．若，，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 在菱形中，，，P为菱形所在平面内的动点，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 8. 已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2，6，高为4，P，Q分别是侧棱，的中点，经过P，Q作该正四棱台外接球的截面，则截面面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，则（ ） A. z的虚部为7 B. z在复平面内对应的点位于第三象限 C. D. z是方程的一个根 10. 已知的内角的对边分别为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则 D. 若满足，的有两个，则边长的取值范围是 11. 如图，在棱长为2的正方体中，Q为的中点，动点P在侧面内且满足，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则四面体的体积为 B. 若，则 C. 若存在点P，使平面，则长度的最小值是 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，的斜二测画法的直观图是，其中，那么的面积为____． 13. 在梯形中，，，设（，），则____． 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，且，则面积的最大值为____． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，． （1）若向量，求实数k的值； （2）若向量满足，求的值． 16. 已知复数（），且为实数，其中i为虚数单位． （1）求复数z； （2）在复平面内，设复数，，对应的点分别为A，B，C，若四个点A，B，C，D构成平行四边形，求点D对应的复数． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若的平分线交边于点D，且，，求的面积． 18. 如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． （1）求证：D，B，F，E四点共面． （2）设平面平面，求证：． （3）棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 19. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c． （1）已知． （ⅰ）求角B； （ⅱ）若，且为锐角三角形，求面积的取值范围． （2）设P为内一点，满足，若，，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $