专题04 四边形综合问题（压轴题专练，8大题型+强化训练）（江苏专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题04 四边形综合问题 命题预测 四边形作为初中数学常考的压轴知识点之一，是中考最喜欢考查的知识点；江苏十三市中考四边形压轴，以平行四边形、矩形、菱形、正方形为核心，紧扣考纲。常结合折叠、旋转、动点综合考查，融合全等、相似、勾股定理。高频考查线段计算、面积最值、特殊四边形存在性问题，辅以坐标与函数结合，注重分类讨论与几何推理，综合性强。 高频考法 1.平行四边形的判定与性质压轴 2.特殊平行四边形的判定与性质压轴 3.三角形中位线压轴 4.四边形的存在性问题 5.四边形中的最值问题 6.四边形中的翻折、旋转问题 7.四边形与圆结合 8.四边形与函数结合 典例·靶向·突破 题型01 平行四边形的判定与性质压轴 1．（2025·江苏无锡·一模）如图，中，，，点在上，交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在上，，，分别交，于点，，找出图中与相等的线段，并证明； (3)在（2）的条件下，若，求的值． 【答案】(1)见详解 (2)，见详解 (3) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，垂直的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是构造出辅助线，并熟练运用以上性质定理． （1）利用平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂直的性质即可求得结果； （2）构造角平分线，利用平行四边形的性质和平行线的性质得出相关线段和角相等，证出，，进而可求得相等线段； （3）构造辅助线，根据题目条件、平行四边形和等腰直角三角形的性质得出，设，表示出相关的线段长，利用勾股定理表示出和求出比值即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 中，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 如图，过点作平分，交于点， 中，，， 中，，， ∴，， ∵， ∴（ASA）， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 中，， ∴， ∵， ∴， ∴（ASA） ∴． （3）解： 如图，过点作于点， 由（2）知，中，，， ∴，， 中，， 又∵， ∴， ∵，， ∴，， 设，则，， ∴中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴中，， 中，， ∴． 2．（2025·江苏南通·模拟预测）如图①，在中，点、分别与的中点．则与的关系是 (1)如图②，在矩形中，O为的中点，M为边上一动点，N 为 的中点，连接、、．若，则与的数量关系是 ． (2)如图③，中，，，、是的中线，、分别是和的中点，求的长． (3)如图④，在中，E为边上一点，连接，点 P 在上，，G是的中点，连接并延长，交 于点 F．若 F 为的中点，，连接，求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，从而证得四边形是平行四边形，进一步得到四边形是矩形，则，即可得； （2）连接，并延长交于点，延长交于点，由勾股定理得，可得是的中位线，则，，证明，则，则，可得是的中位线，，证明四边形是平行四边形，则，，则，可得是的中位线，则； （3）连接，作交延长线于，是等边三角形，利用等边三角形的性质与解直角三角形求得，再证明是等边三角形，是直角三角形，求得，代入即可求解． 【详解】（1）解：点为的中点，点为的中点， ，， ，即， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接，并延长交于点，延长交于点，   ，， ， 、是的中线， ，， 点是的中点， ，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴； （3）解：连接，作交延长线于，如图，   ， 是的中点，， 点为的中点， ，， 点是的中点，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中，，， 在中，， 由勾股定理得， ，，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形中位线的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质．本题属四边形的综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 题型02 特殊平行四边形的判定与性质压轴 3．（2025·江苏泰州·三模）如图，在正方形中，点是对角线的中点，是线段上一动点（不包括两个端点），连接． (1)如图1，过点作交于点，连接交于点． ①求证：； ②若，则_____． ③若正方形的边长为，在运动的过程中，是否是定值；若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (2)在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以为边的菱形． 【答案】(1)①见解析；②；③ (2)见解析 【分析】（1）过作，交于，交于，易证得四边形为矩形，则，可证得是等腰直角三角形，则有，即，再根据等角的余角相等可证得，根据全等三角形的判定证得即可得出结论； ②将绕点顺时针旋转，得到，由旋转的性质和等腰直角三角形的性质可证得，，，进而可证明，则，再由勾股定理即可得； ③根据正方形的边长为，得出，设，，则，，根据勾股定理得出，化简得出，代入，即可求解； （2）连接，延长交于，连接交于，连接交于点，连接，，则四边形是菱形． 【详解】（1）证明：①如图1，过作，交于，交于， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 中，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②将绕点顺时针旋转，得到， ，，，， ， ，， ， ， ， ，且，， ， ， ， ， ③∵正方形的边长为， ∴ 设，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ （2）如图，连接，延长交于，连接交于，连接交于点，连接，，则四边形是菱形， 理由如下，，，， ， ， 同理可得， ，，， ， ，，且， ，且， 四边形是平行四边形， ， ，且，， ， ，且， 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、同角的余角相等、勾股定理、基本作图等知识，是四边形的综合题，难度较难，熟练掌握相关知识的联系，借助适当的辅助线解决问题是解答的关键． 4．（2025·江苏常州·二模）综合与实践 在正方形中，，M是边上一点，E是线段上一点，过点A作的平行线，过点D作的平行线，得平行四边形，如图1． 【思考尝试】 如图2，若，且，则与的数量关系为______，平行四边形的面积为______． 【深入探究】 若，且． ①请在图3中用无刻度直尺与圆规作出点E，M（不写作法，保留作图痕迹）； ②平行四边形的面积为______． 【拓展延伸】 如图4，若，，作的平分线，交于点N，求的长，并直接写出平行四边形的面积． 【答案】思考尝试：； 深入探究：①见详解；②； 拓展延伸：96 【分析】对于（1），先说明四边形是矩形，再证明，可得，进而得出四边形是正方形，接下来求出，最后根据面积公式得出答案； 对于（2），连接，在上取，连接，并延长交于点M，则点E，M即为所求作；连接，结合正方形的性质根据勾股定理求出，即可得，然后根据得出答案； 对于（3） ，延长交的延长线于点H，连接，交于点K，先说明四边形是菱形，再证明，可得，接下来根据平行线的性质可得，进而说明，，可知，然后根据平行线的性质得，由等腰三角形的性质得，设，，则， 根据勾股定理求出，再根据求出，即可得出； 接下来求出，再根据勾股定理求出，最后根据得出答案． 【详解】∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． ∵, ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 在中，， ∴， 解得， ∴正方形的面积等于． 故答案为：，75； 【深入探究】如图所示，点E，M即为所求作； ②连接， ∵四边形是正方形， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． ∵， ∴． 故答案为：； 【拓展延伸】如图所示，延长交的延长线于点H，连接，交于点K， ∵，且平分， ∴是的垂直平分线，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 设，，则， 根据勾股定理，得， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴； 则， 过点D作， ∵， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，正方形的性质和判定，勾股定理，菱形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，作出辅助线构造特殊平行四边形是解题的关键． 题型03 三角形中位线压轴 5．（2025·江苏宿迁·一模）阅读理解，并完成下列问题： 【阅读】如图，是的中线，点是上一点，连接交于点，若，求的值． 解：过点作，交于点F； ， ， ， 点是的中点， 是的中位线， 设，则， ， ． 【理解】某数学兴趣小组在研究上面问题时，发现如下结论： （1）当时，则 ，； （2）当时，则 ； （3）当时，则 ，并说明理由． 【拓展】如图，在中，，动点从点出发，沿、以每秒1个单位长度的速度向终点匀速运动，连接交于点，设运动时间为的面积为．求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】理解：（1）；（2）；（3）；拓展： 【分析】理解： （1）过点P作，交于点F，利用题干中的方法解答即可； （2）过点P作，交于点F，利用题干中的方法解答即可； （3）过点P作，交于点F，利用题干中的方法解答即可； 拓展： 利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①点P在边上时，过点D作于点F，利用平行四边形的性质，直角三角形的边角关系定理求得的面积，利用相似三角形的判定与性质和题干中的方法求得，再利用同高的三角形的面积比等于底的比的性质解答即可；②点P在边上时，过点B作于点H，类比①的方法解答即可． 【详解】解：理解：（1）过点P作，交于点F，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； （2）过点P作，交于点F，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； （3）过点P作，交于点F，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； 拓展：①点P在边上时，过点D作于点F，如图， 由题意得：． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴； ②点P在边上时，过点B作于点H，如图， 由题意得：， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴． 综上，y与t的函数关系式为． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质比例的性质，平行四边形的性质，三角形的面积公式，解直角三角形，分类讨论的思想方法，本题是阅读型题目，正确连接题干中的方法并熟练运用是解题的关键． 6．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接．若分别为的中点，则线段长的最小值为___________． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了勾股定理、中位线、三角形的三边关系，首先根据勾股定理求出，取的中点，连接，以构造中位线，根据中位线的性质求出的长度，在中利用三角形的两边之差小于第三边得到，当三点共线，且点在点之间时，线段长最小，最小值即为． 【详解】解：由旋转的性质得， 在中，由勾股定理得． 如图，取的中点，连接 为的中点，为的中点， ， 同理可得， 根据三角形的三边关系可知， 当三点共线，且点在点之间时，线段长最小， 最小值为． 故答案为：． 题型04 四边形的存在性问题 7．（2025·江苏无锡·二模）如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分． (1)①线段的长为_______． ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，对称轴，勾股定理，矩形的性质，解本题的关键是用角平分线得到直线解析式． （1）①令，求出抛物线与轴的交点坐标； ②根据抛物线解析式确定出对称轴，和轴交点坐标； （2）先设出点的坐标，分两种情况计算，利用矩形的对角线互相平分来确定出点的坐标，再用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：①令，则， 或， ，， ， 故答案为：； ②二次函数， ，对称轴， ， 平分， 点关于轴的对称点，在直线上， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，， 点是抛物线和直线的交点， ． （2）解：设， ，． 以、、、为顶点的四边形是矩形， ①以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去，或， ， ②以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去或 ， ③以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ，此方程无解， 即：存在，或． 8．（2025·江苏连云港·一模）在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转，旋转角为，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，． (1)如图①，当点落在边上时，线段的长度为_____； (2)如图②，点恰好落在的延长线上时，此时与相交于点， ①求证：； ②求的面积． (3)如图③，设点为边的中点，连接，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请直接写出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见详解② (3)存在最大值，最大值为，理由见详解 【分析】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，三角形面积最大值等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质，并灵活应用． （1）利用旋转的性质和勾股定理即可得出，然后利用线段的和差即可求得结果； （2）①利用旋转的性质和矩形的性质以及对顶角可得出； ②假设，则，利用勾股定理求得，利用三角形面积公式求解即可； （3）根据旋转的性质可得，当时，的面积最大，利用勾股定理分别求出的长即可求解． 【详解】（1）解：根据旋转的性质可得， 在中，由勾股定理得， 根据矩形的性质可得， ， 故答案为：； （2）解：①证明：根据旋转的性质和矩形的性质可得， 又 ； ②由①得 ∴ 假设，则， 在中，由勾股定理得，， 即 解得， ∴； （3）解：的面积存在最大值，最大值为，理由如下： 根据旋转的性质可得，当时，的面积最大， 因为为定值，点到线段的距离为三角形的高，此时，高的值最大， 根据矩形的性质，, 又∵， ，且点在同一条直线上， ∵点为边的中点， ， 在中，由勾股定理得， 同理，， ， ． 题型05 四边形中的最值问题 9．（2026·江苏徐州·一模）如图，在正方形中，，点O是边的中点，若点E是直线上一动点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值为_______． 【答案】1 【分析】根据旋转的性质和正方形的性质证明 ，从而得出 ，确定点的运动轨迹，利用垂线段最短，结合三角函数求解的最小值． 【详解】解：连接， 由旋转的性质可知， 四边形是正方形 ，， 在和 中 ， 当时，的长度最小，如图： 四边形是正方形 ∴ ∵，， ∴ 在中，，是的中点， 由勾股定理得， ∴在中， ∴线段长的最小值为1． 10．（2026·江苏扬州·一模）如图，在矩形中，，，点是对角线上一点，交于点． (1)若，求的长； (2)若点在上运动，试探究的比值是否变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请说明理由； (3)线段的最小值是___________． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【分析】（1）连接，先证明，得到，进而得到，根据同角的余角相等可得，则，列式计算即可； （2）过点作，交于，交于，易证，再证明，即可得到的比值； （3）根据的比值不变，故当线段取最小值时，线段取最小值，根据垂线段最短可得，当时，取最小值，然后根据等面积法求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 四边形是矩形，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， （2）解：如图，过点作，交于，交于，则四边形是矩形， ，即， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 设，则，，， ， 即的比值不变，为； （3）解：由（2）可知，，即， 当线段取最小值时，线段取最小值， 根据垂线段最短可得，当时，取最小值，此时点与点重合，如图所示， 在中，， ， ， 即线段的最小值是． 题型06 四边形中的翻折、旋转问题 11．（2026·江苏无锡·一模）如图1，在中，，，，分别是，边上的动点，将四边形沿直线翻折，点，的对应点分别是点，，其中点始终落在边上． (1)如图2，当点恰好落在直线上，且时，求的长； (2)如图3，当点与点重合时，求的值； (3)当直角三角形时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，，，求出，作交于点，则，解直角三角形得出，由勾股定理可得，从而得出，即可得出结果； （2）设，则，连接，作交于点，设，则，由勾股定理可得，从而得出，，由勾股定理可得，由题意可得点、关于对称，从而可得，进而得出，求解可得，从而可得，，即可得出结果； （3）分两种情况：当时，延长交的延长线于点；当时，延长交于点，分别结合平行四边形的性质、折叠的性质、解直角三角形、相似三角形的性质以及勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴，， ∴， ∵将四边形沿直线翻折，点，的对应点分别是点，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 如图，作交于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在中，， ∴设，则， 如图，连接，作交于点， ， ∵， ∴设，则， ∴， ∴，， 由勾股定理可得：， ∵将四边形沿直线翻折，点，的对应点分别是点，，点与点重合， ∴点、关于对称， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴； （3）解：∵直角三角形时， ∴当时，如图，延长交的延长线于点， ， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∴，， ∴， ∵， ∴由折叠的性质可得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，延长交于点， ， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 12．（2026·江苏扬州·一模）综合与探究 学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图1，在中，取的中点O，连接并延长，使得，连接、，四边形为平行四边形． 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将保持固定，绕点A按逆时针方向旋转，其中，若，当点E落在AB边上时，连接并延长，使得，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图3，当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接、，取的中点P，连接交于点Q，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接，M是射线上的一点，连接，过点A作的垂线交于点G，若G是的三等分点，请直接写出的值． 【答案】(1)矩形，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3)或2 【分析】（1）由旋转证明 是等边三角形，再证明，进而得到，证明，则四边形是平行四边形．证明 ，则问题可证； （2）延长至点 ，使 ，连接，证明，从而证明，C、B、F共线，再证明，得到，再由角度的互余关系证明，则问题可证； （3）延长交延长线于点F，证明，得到，再有，和证明，再证明，由，故得到，最后分别利用G是BE的三等分点，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：，，， ，， 点 落在 边上， 中，，， 是等边三角形， ，， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ∴E 是 中点，， 在 和 中： ，， （SAS）， ，， ∴， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． （2），且 ， 理由：延长至点 ，使 ， 连接， 是的中点， ， 在 和 中： ， ， ， （SAS）， ，， ， 是绕点 逆时针旋转 得到， ，， ， ∴C、B、F共线， ， 在 和 中： ， ， ， ， ，， ， ，即 ， ， ． （3）解：延长交延长线于点F， 是绕点 逆时针旋转 得到， ，， ， ， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ， ， ∵ ， ， ∵G是的三等分点 ∴当 时，， 当 时，， 或 ． 【点睛】本题需要运用"倍长中线法"构造全等三角形和相似三角形， 通过证明全等三角形，转化边的数量关系是解题的关键． 题型07 四边形与圆结合 13．（2026·江苏宿迁·二模）如图，菱形的边长为，，点、分别在边、上，且，，点从点出发，沿折线以的速度向点匀速运动(不与点重合)，的外接圆交边于点，连接、．设点运动时间为． (1)当点在边．上运动时，证明：； (2)当点在边上运动时，试判断的形状，并说明理由； (3)在运动过程中，若点在内部，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 (3)或 【分析】（1）易知和都是等边三角形，利用同弧所对的圆周角相等，得到，从而得到，继而得到； （2）利用证明得到，继而得到，故是等边三角形； （3）画出当点E和点N重合时的图形，设的外接圆与、分别交于点，则当点P在线段上(含端点M，不含端点)或线段上(不含端点)时，点N在内部，分别利用（1）（2）的结论求出点的位置，即和的长度，结合图形即可得解． 【详解】（1）解：证明：在菱形中，，，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∵的外接圆交边于点， ∴， ∴， ∴； （2）是等边三角形，理由如下： ∵四边形是的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， 又由（1）得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）当点E和点N重合时，设的外接圆与、分别交于点， 则当点P在线段上(含端点M，不含端点)或线段上(不含端点)时，点N在内部， ①由（1）的， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵点从点出发，沿折线以的速度向点匀速运动(不与点重合)， ∴当时，点P与点重合， ∴当时，点在内部，此时点P在线段上(含端点M，不含端点)； ②由（2）得， ∴， ∴当时，点P与点重合， 又∵当时，点P与点重合， ∴当时，点在内部，此时点P在线段上(不含端点)； 综上所述：当或时，点在内部． 14．（2026·江苏南京·二模）如图，在中，连接，是的外接圆，交于点，连接． (1)求证：． (2)若． 求证：与相切． 若，．则的半径为 ． 【答案】(1)见解析； (2)见解析；． 【分析】（）由平行四边形性质可得，所以，然后通过弧、弦、圆心角的关系即可求证； （）连接并延长，交于点，连接，通过弧、弦、圆心角的关系得，由垂径定理得，即，又四边形是平行四边形，所以，所以，再由切线的判定方法即可求证； 由（）得，又四边形是平行四边形，则，，证明，所以，即，解得，再求出，设的半径为，则，由勾股定理得，即，求出的值即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接并延长，交于点，连接， ∵， ∴， 由垂径定理得，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴与相切； 由（）得， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 设的半径为，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴的半径为． 题型08 四边形与函数结合 15．（2026·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点的坐标为．平行于对角线的直线从原点出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线与矩形的两边分别交于点、，直线运动的时间为秒)． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ； (2)当 秒时，； (3)设的面积为，求与的函数关系式； (4)在（3）中得到的函数有没有最大值？若有求出最大值；若没有，要说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)； (4)有最大值，最大值为． 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算、分段函数的构建以及二次函数的图象与性质，关键是根据直线运动时间的不同取值范围进行分类讨论，确定直线与矩形的交点位置，再结合几何性质和函数知识逐步求解． （1）利用矩形的顶点在坐标轴上且对边与坐标轴重合的性质，结合点的坐标直接得出点、的坐标； （2）先通过勾股定理求出对角线的长度，再用待定系数法求出直线的解析式，结合直线与平行得到直线的解析式，分和两种情况，利用相似三角形的对应边成比例的性质列方程，求解出满足的值； （3）分和两种情况，前者借助相似三角形的性质求出线段的长度，再用三角形面积公式推导面积与的关系式，后者利用割补法将的面积转化为与的面积差，计算推导得出对应关系式，进而整合得到分段函数； （4）针对分段函数中两个不同的二次函数，分别根据其开口方向和对称轴的位置，分析各自在对应的取值范围内的最值变化情况，综合两次分析的结果确定出的最大值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为； 故答案为：，． （2）解：由，，得， ∴． 设直线的解析式为， 将点和点代入，得，解得， ∴直线的解析式为． ∵平行于对角线的直线从原点出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动， ∴直线的解析式为． 分两种情况讨论： ①当时，直线交于，交于， ∵， ∴， ∴，即，解得； ②当时，直线交于，交于，交轴于点． 令，得， ∴． 同理可得， ∴，即， ∴，解得； 综上，的值为或； 故答案为：或． （3）解：分两种情况讨论： ①当时，由，得，即， ∴， ∴； ②当时， ∵直线的解析式为， 令，得；令，得， ∴，， ∴， 故当时，． 综上，与的函数关系式为 （4）解：①当时，是开口向上的二次函数，对称轴为， ∴当时，取得最大值，； ②当时，是开口向下的二次函数，对称轴为， ∴在范围内，随的增大而减小，即； 综上，的最大值为． 1．（2025·江苏南京·中考真题）如图，点，在矩形内，．若，，，则的长为____________． 【答案】 【分析】延长，交于点，利用勾股定理求得，计算和，借助矩形内角为直角、全等三角形的角相等，证得，，利用和得出、长，进而得、，利用勾股定理即可求的长． 【详解】解：如图，延长，交于点， 在中，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的性质、勾股定理、三角函数的应用，利用全等三角形转移角的关系，结合矩形内角为直角推导直角三角形是解题的关键． 2．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在正方形中，E为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的面积的面积 D．四边形的面积的面积 【答案】D 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等．过点作，分别交、于点、，由折叠的性质得，求得，推出，由是的外角，可求得，即可判断选项A；设，，则，，证明，利用相似三角形的性质列式求得，求得，，，再根据勾股定理和三角形面积公式求得即可判断其余选项． 【详解】解：过点作，分别交、于点、， 由折叠的性质得，， ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵正方形， ∴，， 设， ∵E为边的中点， ∴， 由折叠的性质得，，， ∵， ∴四边形和为矩形， ∴，， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴，， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵的面积，的面积， ∴的面积的面积，故选项C正确，不符合题意； ∵四边形的面积等于的面积的面积， 的面积， ∴四边形的面积的面积，故选项D不正确，符合题意； 故选：D． 3．（2025·江苏扬州·中考真题）问题：如图1，点为正方形内一个动点，过点作，，矩形的面积是矩形面积的2倍，探索的度数随点运动的变化情况． 【从特例开始】 （1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅用无刻度的直尺连接一条线段，由此可得此图形中______； （2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中，，，求此图形中的度数； 【一般化探索】 （3）利用图1，探索上述问题中的度数随点运动的变化情况，并说明理由． 【答案】（1）作图见解析，45；（2）；（3）随点的运动，的度数不变，且为 【分析】（1）连接与格线的交点记为，先确定点为格点，然后由勾股定理以及逆定理证明为等腰直角三角形，即可求解的度数； （2）延长至点，使得，连接，先证明，则，，那么，可得四边形是矩形，四边形为矩形，求出，由勾股定理得，则，那么，则，即可求解； （3）延长至点，使得，连接，同理，同（2）可得四边形是矩形，四边形为矩形，设正方形的边长为，，则，，由，得到，在中，由勾股定理得，求出，则，再同（2）即可． 【详解】解：（1）如图，即为所求： 连接与格线的交点记为， 由网格可得，， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴为格点，同理为格点， ∵，，， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 故答案为：45； （2）延长至点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 同理可得四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （3）随点的运动，的度数不变，且为，理由如下： 延长至点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， 同（2）可得四边形是矩形，四边形为矩形， 设正方形的边长为，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∵在中，， ∴ ， ∴（舍负）， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的定义，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 4．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图1，在矩形中，，点是边上一个动点，点在射线上，．线段的垂直平分线分别交直线于点、、、． (1)直接写出___________°，___________； (2)当时，求的值； (3)如图2，连接并延长交直线于点． ①求证：； ②如图3，过点作直线的垂线，分别交直线于点，连接，求线段的最小值． 【答案】(1)， (2) (3)①见解析  ② 【分析】（1）过点E作于点K，即可得到四边形是矩形，然后证明，即可求出的值，然后根据正切的定义求出的度数即可； （2）根据勾股定理求出长，利用（1）的结论求出长，然后证明是等边三角形，根据正弦的定义求出长解答即可； （3）①根据（2）的证明得到，过点M作交于点L，则有，得到，即可得到，然后根据平行线分线段成比例得到结论即可； ②连接，，根据直角三角形斜边上的中线性质和平行线分线段成比例得到，进而判断，即可得到点Q在与线段夹角为的射线上，然后根据垂线段最短解答即可． 【详解】（1）解：过点E作于点K， ∵是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴    ，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴    ， 根据（1）中结论可得， 又∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）①证明：根据（1）中结论可得， 又∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 过点M作交于点L， 则，， 又∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， ②连接，， ∵，， ∴， 又∵垂直平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即点Q在与线段夹角为的射线上， ∴过点D作于点， 当点Q在时，最小， 这时． 【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理和等边三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 【答案】（1）相等，垂直 （2）证明见解析 （3） （4） 【分析】（1）根据图形进行猜想即可； （2）过点作于，过点作分别交、于、， 证明四边形为矩形，四边形为正方形，结合正方形性质证明，则可得，证明，得出，，再利用，得出，即可证明； （3）证明，得出，，再证明，在中，利用勾股定理求出，由等面积法得求出，在中，利用勾股定理求出，再证明为等腰直角三角形，得出，利用线段和差即可求解； （4）构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于，证明是等腰直角三角形，得出，求得，则当最小时，的面积最小，则最小时，的面积最小，由，可知当最小时，的面积最小，由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小，此时，点与重合，再进行计算即可． 【详解】解：（1）相等，垂直； （2）过点作于，过点作分别交、于、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形，四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）在正方形中，由，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 得， 由等面积法得， 即， ∴， 在中，， 由（2）可知，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （4）如图，构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵正方形中，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴当最小时，的面积最小， ∴最小时，的面积最小， ∵， ∴当最小时，的面积最小， 由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小， 此时如图，点与重合， 则， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，外接圆，二次根式，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 6．（2025·江苏南通·模拟预测）取一张正方形的纸片进行折叠，具体操作过程如下： 第一步：如图1，先把正方形对折，折痕为． 第二步：点在线段上，将沿翻折，点恰好落在上，记为点，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)作点关于直线的对称点，连接、． ①在图2中补全图形，并求出的度数； ②猜想的度数，并加以证明；（温馨提示：当你遇到困难时，不妨连接、，研究图形中特殊的三角形） 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)①图见解析；；②，证明见解析 【分析】（1）由正方形的性质得出，由折叠的性质得：，得出，在中，由三角函数得出，求出，得出，即可得出结论； （2）①根据题意补全图形，由①得：，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，求出，再由得出的性质得出； ②由对称的性质得：，证出是等边三角形，得出，证明，得出，由，即可得出结果． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 四边形是正方形， ， 由折叠的性质得：，， ，， ∴在中，， ， ， 是等边三角形； （2）解：①补全图形如图2所示： 由①得：， ∵四边形是正方形， ，， ， 由（1）可知，， ， ， ， 关于直线的对称点为， ； ②，证明如下： 连接，如图3所示， 由对称的性质得：， 由①可知，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角函数、折叠的性质、轴对称的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 7．（2025·江苏南通·三模）如图①，有一张菱形纸片，，折叠该纸片，使得点A，均与点重合，折痕分别为，，设两条折痕的延长线交于点． (1)请在图②中将图形补充完整，并求的度数； (2)四边形是菱形吗？请说明理由． 【答案】(1)补充图形见解析， (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】本题主要考查了翻折变换、菱形的判定和性质、三角形全等的判定与性质等知识点，灵活运用折叠的性质是本题的关键． （1）由菱形的性质可得，即，由折叠的性质可得，即，再根据四边形的内角和定理求解即可； （2）由题意可证，可证四边形是平行四边形，由“”可证，可得，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，延长交于点O． ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵折叠菱形纸片，使得点A，C均与点D重合，折痕分别为， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∵折叠菱形纸片，使得点A，C均与点D重合，折痕分别为， ∴，，，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵，，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 8．（2025·江苏扬州·二模）在正方形中，点是射线上的一个点，以为边向右侧作正方形． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点为线段的中点，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）通过证明三角形全等得到线段相等，再结合线段的和差关系求证； （2）同样先证三角形全等，再依据线段的和差推导数量关系； （3）建立平面直角坐标系，确定点的坐标，得出点的运动轨迹，利用垂线段最短求线段最小值． 【详解】（1）证明：∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，以为原点，和所在的直线为坐标轴建立坐标系，则，作于，交于点G，则，， ∴， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 设， ∴， 又∵点为线段的中点， ∴， 即， ∴， ∴点在直线上运动，当直线时，最小， 设直线交直线于，交轴于，作于， 由得， ， ∴， ∴， 由得， ， ∴最小， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及一次函数的应用，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 9．（2025·江苏南京·三模）如图，正方形的边上有一点，将沿翻折，使得点落在点处，射线，相交于点，若，，则 ______． 【答案】 【分析】作于点，于点，由正方形的性质，折叠的性质，证明，得到，，由，得，由，求得，则，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查正方形性质、翻折变换的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：作于点，于点，则， 四边形是正方形，点在边上，，， ，， 将沿翻折，点落在点处， ，，，， ，， ， ， ，， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（2025·江苏无锡·二模）如图，在正方形中，点是上的一点，是边的中点，连接． (1)请用无刻度的直尺及圆规，在上找一点，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由于和分别在正方形一组对边上，所以考虑先在边上作，最后利用“两直线平行，内错角相等”，易得； （2）延长交的延长线于点，过点作于点，根据已知边长，易求出正方形的边长，根据正方形对边平行，利用平行的性质易证，即可求出的长；设，则，求出的长，再根据“等角对等边”证得，再证四边形为矩形，得出直角三角形两直角边长，最后根据勾股定理列方程即可求出的长． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，延长交的延长线于点，过点作于点， ， ，， 四边形是正方形， ，， 点是的中点， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图——结合平行线的性质作一个角等于已知角，正方形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 11．（2025·江苏常州·三模）【推理】如图1，在正方形中，点E是上一动点，将正方形沿着折叠，点C落在点F处，连结，，延长交于点G． （1）求证：； 【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长交于点H．若，，求的长； 【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着折叠，连结，延长，交直线于G，H两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】（1）见解析（2）（3）或 【分析】（1）由折叠结合正方形的性质推出，再根据可证明结论； （2）连接．由全等的性质结合折叠以及正方形的性质推出，在 与 中根据勾股定理得出等式即可推出结果； （3）分①当点在点的左侧时，②当点在点的右侧时，两种情况画出图形分别求解． 【详解】（1）证明：∵是由折叠得到， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ． （2）解：如图，连接． ， ， 由折叠可知， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， 或（舍去）， ； （3）解：如图，连接， 由题意， 设， 设． ①当点在点的左侧时， ∵， ∴， 由折叠可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍弃）， ∴； ②当点在点的右侧时，如图， 设，同理， ∵， ∴， ∴， 即， ∴或（舍弃）， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 12．（2025·江苏南京·一模）如图，在矩形中，，点M，N分别在边上，且．连接，过点N作，垂足为P，连接，则的长的最小值为 _____ ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了最值问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，矩形的性质等，正确作出辅助线构造相似三角形，从而确定点P的轨迹是解题的关键．延长到H，使得，连接，可证明，得到，再导角证明，得到P、N、H三点共线；取的中点O，连接，则可得到当点P在线段上时，有最小值，最小值为的值，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴P、N、H三点共线； 如图所示，取的中点O，连接， ∵， ∴， ∵， ∴当点P在线段上时，有最小值，最小值为的值， 在中，， ∴， 故答案为：2． 13．（2025·江苏南京·模拟预测）用一张矩形纸片剪一个等边三角形． 第一步，如图（1），对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 第二步，如图（2），再一次折叠纸片，使点D落在上的M处，并使折痕经过点A，得到折痕； 第三步，如图（3），沿折叠纸片，得到折痕． 第四步，沿，裁剪矩形纸片，得到． (1)说明是等边三角形． (2)已知矩形纸片一边长为3，另一边长为a．对于每一个确定的a的值，都能剪出最大的等边三角形．画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围． (3)如图（4），用一张边长为4的正方形纸片剪一个等边三角形，使这个等边三角形的三个顶点都在正方形的边上．设这个等边三角形的面积为，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由矩形的性质可得，，得出，由折叠的性质可得，，从而可得，由等角对等边可得，由题意可得为和边的对称轴，且，由平行线分线段成比例定理可得，推出，证明，得出，即可得证； （2）分三种情形：如图：当为等边三角形，一边位于边长为的边上时；如图，当为等边三角形，一边位于边长为的边上时；如图，为等边三角形时，各边位于矩形的内部时；分别利用矩形的判定与性质、等边三角形的性质、解直角三角形，计算即可得解； （3）当等边中，、分别在正方形的两对边上，且时，此时最小，作于；当等边三角形中，点与点重合，、分别在正方形两邻边上时，此时最大；分别利用等边三角形的性质、矩形的判定与性质以及正方形的性质计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， 由题意可得为和边的对称轴，且， ∴由平行线分线段成比例定理可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形； （2）解：如图：当为等边三角形，一边位于边长为的边上时， ， 作于，则，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图，当为等边三角形，一边位于边长为的边上时， ， 作于，则，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 如图，为等边三角形时，各边位于矩形的内部时， ， 当与重合时，如图，， 作于，则，， ∴四边形为矩形，， ∴，此时最小，则， 当与重合时，如图，， 作于，则，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴，此时最大，则， ∴； （3）解：如图，当等边中，、分别在正方形的两对边上，且时，此时最小，作于， ， 由题意可得：，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴，， 故此时为； 如图，当等边三角形中，点与点重合，、分别在正方形两邻边上时，此时最大， ， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：，， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴，， 故此时为； 综上所述，． 【点睛】本题考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 14．（2025·江苏连云港·模拟预测）从特殊到一般是研究数学的重要方法，在一次数学课上，某学习小组的同学运用这一方法探究矩形的折叠．已知矩形纸片中，点为射线上一点，将沿折叠得，点的对应点为，延长，交直线于点，． 【尝试初探】已知，， （1）如图，若点与点重合，求线段的长度； （2）如图，若点与点不重合，当时，求线段的长． 【拓展延伸】若，连接，当为直角三角形时，直接写出的值．（用的代数式表示）． 【答案】【尝试初探】（1）3；（2）或；【拓展延伸】或 【分析】（1）先根据勾股定理求出，根据折叠得出，，根据勾股定理求出，最后求出结果即可； （2）分两种情况：当点在线段上或点在线段的延长线上时，分别画出图形求出结果即可； （3）分三种情况讨论：当点在线段上，且时，此时和重合，令，则，当点在线段上，且时，由得，，当点在延长线上，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：（1），， ， 沿折叠得， ，， ， ， 在中，， 即， 解得； （2）情况一：如图，点在线段上， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 由折叠得， ， 点在上，与重合， ； 情况二：如图，点在线段的延长线上， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， 作于点，则， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为或． （3）拓展延伸：或； 当点在线段上，且时，如图，此时和重合，令，则， ， 由得，， ， 当点在线段上，且时，如图，由得，， ， ， ， ，， ， ，令，则，， ， 当点在延长线上， ，且， 是钝角三角形，不可能为直角三角形，故此情况不存在． 综上，或． 故答案为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形的相关计算，勾股定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 15．（2025·江苏盐城·三模）如图1，在正方形中，，点分别在边上，．将绕点逆时针旋转，连接所在直线交直线于点，连接． (1)如图2，写出与的数量关系和位置关系并写出证明过程； (2)如图2，当时，求证：； (3)若，当点为中点时．直接写出的值． 【答案】(1)，，过程见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）由正方形的性质可得，，由旋转的性质可得，证明，得出，，令交于，再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）过点作与的延长线交于点，则，由正方形的性质可得，，证明，得出，，从而可得是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得，即可得解； （3）由等腰直角三角形的性质可得，分两种情况：当时，连接、，作交于，作交于，作交于；当时，连接、，作交于，作交的延长线于，作交于；分别求解即可． 【详解】（1）解：，，证明如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转的性质可得：， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， 令交于， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点作与的延长线交于点， 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵旋转， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， 当时，， ∴， 如图，当时，连接、，作交于，作交于，作交于， 由（1）可得：， ∵点M为中点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴； 如图，当时，连接、，作交于，作交的延长线于，作交于， 同理可得：，， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的判定由性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 四边形综合问题 命题预测 四边形作为初中数学常考的压轴知识点之一，是中考最喜欢考查的知识点；江苏十三市中考四边形压轴，以平行四边形、矩形、菱形、正方形为核心，紧扣考纲。常结合折叠、旋转、动点综合考查，融合全等、相似、勾股定理。高频考查线段计算、面积最值、特殊四边形存在性问题，辅以坐标与函数结合，注重分类讨论与几何推理，综合性强。 高频考法 1.平行四边形的判定与性质压轴 2.特殊平行四边形的判定与性质压轴 3.三角形中位线压轴 4.四边形的存在性问题 5.四边形中的最值问题 6.四边形中的翻折、旋转问题 7.四边形与圆结合 8.四边形与函数结合 典例·靶向·突破 题型01 平行四边形的判定与性质压轴 1．（2025·江苏无锡·一模）如图，中，，，点在上，交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在上，，，分别交，于点，，找出图中与相等的线段，并证明； (3)在（2）的条件下，若，求的值． 2．（2025·江苏南通·模拟预测）如图①，在中，点、分别与的中点．则与的关系是 (1)如图②，在矩形中，O为的中点，M为边上一动点，N 为 的中点，连接、、．若，则与的数量关系是 ． (2)如图③，中，，，、是的中线，、分别是和的中点，求的长． (3)如图④，在中，E为边上一点，连接，点 P 在上，，G是的中点，连接并延长，交 于点 F．若 F 为的中点，，连接，求 的值． 题型02 特殊平行四边形的判定与性质压轴 3．（2025·江苏泰州·三模）如图，在正方形中，点是对角线的中点，是线段上一动点（不包括两个端点），连接． (1)如图1，过点作交于点，连接交于点． ①求证：； ②若，则_____． ③若正方形的边长为，在运动的过程中，是否是定值；若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (2)在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以为边的菱形． 4．（2025·江苏常州·二模）综合与实践 在正方形中，，M是边上一点，E是线段上一点，过点A作的平行线，过点D作的平行线，得平行四边形，如图1． 【思考尝试】 如图2，若，且，则与的数量关系为______，平行四边形的面积为______． 【深入探究】 若，且． ①请在图3中用无刻度直尺与圆规作出点E，M（不写作法，保留作图痕迹）； ②平行四边形的面积为______． 【拓展延伸】 如图4，若，，作的平分线，交于点N，求的长，并直接写出平行四边形的面积． 题型03 三角形中位线压轴 5．（2025·江苏宿迁·一模）阅读理解，并完成下列问题： 【阅读】如图，是的中线，点是上一点，连接交于点，若，求的值． 解：过点作，交于点F； ， ， ， 点是的中点， 是的中位线， 设，则， ， ． 【理解】某数学兴趣小组在研究上面问题时，发现如下结论： （1）当时，则 ，； （2）当时，则 ； （3）当时，则 ，并说明理由． 【拓展】如图，在中，，动点从点出发，沿、以每秒1个单位长度的速度向终点匀速运动，连接交于点，设运动时间为的面积为．求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 6．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接．若分别为的中点，则线段长的最小值为___________． 题型04 四边形的存在性问题 7．（2025·江苏无锡·二模）如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分． (1)①线段的长为_______． ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由． 8．（2025·江苏连云港·一模）在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转，旋转角为，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，． (1)如图①，当点落在边上时，线段的长度为_____； (2)如图②，点恰好落在的延长线上时，此时与相交于点， ①求证：； ②求的面积． (3)如图③，设点为边的中点，连接，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请直接写出这个最大值；若不存在，请说明理由． 题型05 四边形中的最值问题 9．（2026·江苏徐州·一模）如图，在正方形中，，点O是边的中点，若点E是直线上一动点，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值为_______． 10．（2026·江苏扬州·一模）如图，在矩形中，，，点是对角线上一点，交于点． (1)若，求的长； (2)若点在上运动，试探究的比值是否变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请说明理由； (3)线段的最小值是___________． 题型06 四边形中的翻折、旋转问题 11．（2026·江苏无锡·一模）如图1，在中，，，，分别是，边上的动点，将四边形沿直线翻折，点，的对应点分别是点，，其中点始终落在边上． (1)如图2，当点恰好落在直线上，且时，求的长； (2)如图3，当点与点重合时，求的值； (3)当直角三角形时，求的值． 12．（2026·江苏扬州·一模）综合与探究 学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图1，在中，取的中点O，连接并延长，使得，连接、，四边形为平行四边形． 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将保持固定，绕点A按逆时针方向旋转，其中，若，当点E落在AB边上时，连接并延长，使得，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图3，当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接、，取的中点P，连接交于点Q，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接，M是射线上的一点，连接，过点A作的垂线交于点G，若G是的三等分点，请直接写出的值． 题型07 四边形与圆结合 13．（2026·江苏宿迁·二模）如图，菱形的边长为，，点、分别在边、上，且，，点从点出发，沿折线以的速度向点匀速运动(不与点重合)，的外接圆交边于点，连接、．设点运动时间为． (1)当点在边．上运动时，证明：； (2)当点在边上运动时，试判断的形状，并说明理由； (3)在运动过程中，若点在内部，求的取值范围． 14．（2026·江苏南京·二模）如图，在中，连接，是的外接圆，交于点，连接． (1)求证：． (2)若． 求证：与相切． 若，．则的半径为 ． 题型08 四边形与函数结合 15．（2026·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点的坐标为．平行于对角线的直线从原点出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线与矩形的两边分别交于点、，直线运动的时间为秒)． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ； (2)当 秒时，； (3)设的面积为，求与的函数关系式； (4)在（3）中得到的函数有没有最大值？若有求出最大值；若没有，要说明理由． 1．（2025·江苏南京·中考真题）如图，点，在矩形内，．若，，，则的长为____________． 2．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在正方形中，E为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的面积的面积 D．四边形的面积的面积 3．（2025·江苏扬州·中考真题）问题：如图1，点为正方形内一个动点，过点作，，矩形的面积是矩形面积的2倍，探索的度数随点运动的变化情况． 【从特例开始】 （1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅用无刻度的直尺连接一条线段，由此可得此图形中______； （2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中，，，求此图形中的度数； 【一般化探索】 （3）利用图1，探索上述问题中的度数随点运动的变化情况，并说明理由． 4．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图1，在矩形中，，点是边上一个动点，点在射线上，．线段的垂直平分线分别交直线于点、、、． (1)直接写出___________°，___________； (2)当时，求的值； (3)如图2，连接并延长交直线于点． ①求证：； ②如图3，过点作直线的垂线，分别交直线于点，连接，求线段的最小值． 5．（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 6．（2025·江苏南通·模拟预测）取一张正方形的纸片进行折叠，具体操作过程如下： 第一步：如图1，先把正方形对折，折痕为． 第二步：点在线段上，将沿翻折，点恰好落在上，记为点，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)作点关于直线的对称点，连接、． ①在图2中补全图形，并求出的度数； ②猜想的度数，并加以证明；（温馨提示：当你遇到困难时，不妨连接、，研究图形中特殊的三角形） 7．（2025·江苏南通·三模）如图①，有一张菱形纸片，，折叠该纸片，使得点A，均与点重合，折痕分别为，，设两条折痕的延长线交于点． (1)请在图②中将图形补充完整，并求的度数； (2)四边形是菱形吗？请说明理由． 8．（2025·江苏扬州·二模）在正方形中，点是射线上的一个点，以为边向右侧作正方形． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点为线段的中点，连接，若，则的最小值为 ． 9．（2025·江苏南京·三模）如图，正方形的边上有一点，将沿翻折，使得点落在点处，射线，相交于点，若，，则 ______． 10．（2025·江苏无锡·二模）如图，在正方形中，点是上的一点，是边的中点，连接． (1)请用无刻度的直尺及圆规，在上找一点，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，则的长为 ． 11．（2025·江苏常州·三模）【推理】如图1，在正方形中，点E是上一动点，将正方形沿着折叠，点C落在点F处，连结，，延长交于点G． （1）求证：； 【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长交于点H．若，，求的长； 【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着折叠，连结，延长，交直线于G，H两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）． 12．（2025·江苏南京·一模）如图，在矩形中，，点M，N分别在边上，且．连接，过点N作，垂足为P，连接，则的长的最小值为 _____ ． 13．（2025·江苏南京·模拟预测）用一张矩形纸片剪一个等边三角形． 第一步，如图（1），对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 第二步，如图（2），再一次折叠纸片，使点D落在上的M处，并使折痕经过点A，得到折痕； 第三步，如图（3），沿折叠纸片，得到折痕． 第四步，沿，裁剪矩形纸片，得到． (1)说明是等边三角形． (2)已知矩形纸片一边长为3，另一边长为a．对于每一个确定的a的值，都能剪出最大的等边三角形．画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围． (3)如图（4），用一张边长为4的正方形纸片剪一个等边三角形，使这个等边三角形的三个顶点都在正方形的边上．设这个等边三角形的面积为，直接写出的取值范围． 14．（2025·江苏连云港·模拟预测）从特殊到一般是研究数学的重要方法，在一次数学课上，某学习小组的同学运用这一方法探究矩形的折叠．已知矩形纸片中，点为射线上一点，将沿折叠得，点的对应点为，延长，交直线于点，． 【尝试初探】已知，， （1）如图，若点与点重合，求线段的长度； （2）如图，若点与点不重合，当时，求线段的长． 【拓展延伸】若，连接，当为直角三角形时，直接写出的值．（用的代数式表示）． 15．（2025·江苏盐城·三模）如图1，在正方形中，，点分别在边上，．将绕点逆时针旋转，连接所在直线交直线于点，连接． (1)如图2，写出与的数量关系和位置关系并写出证明过程； (2)如图2，当时，求证：； (3)若，当点为中点时．直接写出的值． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $