数学终极押题猜想（江苏扬州专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 以考情为导向，聚焦中考高频考点，通过“试题前瞻-分析有理-精练通关”三阶训练，系统提炼解题方法，构建从基础到综合的知识逻辑链，培养数学眼光、思维与语言能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一元二次方程根的判别式|7题|公式套用+二次项系数不为0条件|概念（判别式）→方法（参数范围求解）→应用（不等式结合）| |跨学科融合|9题|情境转化+信息筛选|数学眼光（现实问题抽象）→模型（方程/几何）→求解（知识迁移）| |翻折问题|8题|折叠性质+几何推理|性质（对应边/角相等）→工具（勾股定理/相似）→综合（图形变换计算）| |二次函数综合|4题|数形结合+分类讨论|解析式（待定系数法）→性质（顶点/交点）→综合（最值/存在性探究）|

2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 一元二次方程根的判别式 1 押题猜想二 跨学科融合 2 押题猜想三 翻折问题 5 押题猜想四 动点问题 7 押题猜想五 数据分析 9 押题猜想六 概率 12 押题猜想七 分式方程的应用 14 押题猜想八 平行四边形的性质与判定 15 押题猜想九 二次函数综合 17 押题猜想十 几何综合探究题 19 押题猜想一 一元二次方程根的判别式 试题前瞻·能力先查 限时：3min 【改编题】若关于x的一元二次方程没有实数根，则k取值范围为________。 分析有理·押题有据 该题型是扬州中考数学常年必考的基础题型，多出现在选择、填空题中。题目大多含有字母参数，主要利用根的判别式与0的大小关系，判断方程实数根的个数，从而求解参数的取值范围。解题时不仅要熟练套用公式，还要时刻注意二次项系数不为0这一隐藏条件，常常结合一元一次不等式以及分类讨论思想一起考查，整体综合性适中。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏扬州·一模）如果关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是________． 2．（2026·江苏南京·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且为正整数，则的值为______． 3．（25-26九年级下·江苏常州·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（   ） A．4 B．1 C． D．0 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 5．（2026·江苏南京·模拟预测）设，是方程的两个根，且，则______． 6．（25-26九年级上·江苏南京·期末）若，是关于的方程的两个根，且，则的值为________． 7．（2026·江苏盐城·模拟预测）二次函数的图象与一次函数的图象至少有一个交点，则实数的取值范围是________． 押题猜想二 跨学科融合 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【新情景】“抖空竹”是一项历史悠久的民俗体育活动，它凭借其独特魅力，成为我国传统文化宝库中一颗璀璨的明珠，图1表示欢欢同学抖空竹的某一瞬间，欢欢同学将其抽象成如图2所示的数学问题：在同一平面内，，若，则__________°． 分析有理·押题有据 这类题目是近几年扬州中考的热门创新题型，命题紧跟新课标方向。常常结合传统文化、生活劳动、物理化学知识等全新背景出题，不侧重其他学科难点。核心考查学生快速筛选有用数字条件，剔除无关文字信息，把陌生生活情境转化为方程、函数、几何等常规数学模型，重点锻炼阅读理解与知识迁移转化能力。 终极猜想·精练通关 1．（25-26九年级上·江苏常州·期末）如图是地球的示意图，其中和分别表示赤道和南回归线，，常州市某处位于北纬 （即）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所夹的锐角）的大小为_______． 2．（25-26九年级下·四川绵阳·期中）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为该凸透镜的焦点．若，，则的度数为__________． 3．（2026·山东枣庄·一模）将一个正方体木块静止放置在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若斜面的坡角，则支持力与重力方向的夹角的度数为____________． 4．（2026·山东日照·模拟预测）如图，太阳光线平行照射在正五边形的物体上，若，则的度数为______． 5．（2026·山东聊城·一模）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，分别表示北回归线和南回归线．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为，此时______． 6．（2026·四川绵阳·一模）如图，平行光线和经过凹面镜反射后汇聚于点E，若，，则的度数是 ________ 7．（2026·河北保定·模拟预测）如图1所示的桔槔是一种原始的汲水工具，图2是示意图，架子水平地面EF，杠杆绕点旋转，当点旋转到时，的度数为_____． 8．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像的示意图，其对应的数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是_____． 9．（2026·安徽合肥·一模）如图,小刚正在使用手电筒进行物理学实验，手电筒位于点G处，手电筒的光从平面镜上的点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，现测得米，米，米，米，已知图中点A，B，C，D在同一水平面上（物理学中入射角等于反射角），，，，则的长为______米． 押题猜想三 翻折问题 试题前瞻·能力先查 限时：6min 【改编题】如图，在中，∠B=900，，，分别是，边上一点，将沿折叠得，△CDF沿折叠得，若，则CF=_____． 分析有理·押题有据 翻折是扬州中考几何部分高频经典考题，常出现在填空压轴或中档几何解答题。一般以三角形、矩形、正方形等常见平面图形作为载体出题，始终围绕折叠前后对应边相等、对应角相等的不变性质展开计算。题目经常融合勾股定理、相似三角形、角度推导综合设问，需要观察图形折叠前后结构变化，寻找相等线段建立等量关系，对几何推理能力有一定要求。 终极猜想·精练通关 1．（2026·吉林·一模）如图，在中，，，，点在边上，，动点在边上．将沿折叠得到，则点到的最短距离为_____． 2．（2026·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，，D是的中点，连接，将沿折叠，使点A落在点E，连接，则的面积为________． 3．（2026·甘肃武威·一模）如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处，若，则的长度为_____． 4．（2026·河南开封·一模）若一个三角形三边长之比为，则称这个三角形为“勾股三角形”．如图，在矩形中，，点在边上，将沿折叠，得到．过点作于点．若是“勾股三角形”，则的长为___________． 5．（2026·江苏无锡·二模）如图所示为一张矩形纸片，点为边的中点，点在边上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与交于点，的延长线过点．若，则____． 6．（2026·河南周口·一模）如图，将，的矩形纸片放在以所在直线为x轴，边上一点O为坐标原点的平面直角坐标系中，连接，将纸片沿折叠，点C的对应点恰好落在边上，则点C的坐标为______． 7．（2026·河南·一模）如图，将边沿过点A的直线折叠，使落在边上，折痕为，展开纸片，再次折叠使点A与点D重合，折痕为，展开后连接、，测得，，当是直角三角形时，的长为______ 8．（2026·安徽马鞍山·一模）如图，在四边形中，，，，过点D作，交于点E，且，．将沿折叠，点C的对应点恰好落在上，则的长为___． 押题猜想四 动点问题 试题前瞻·能力先查 限时：6min 【改编题】如图，在中，，，，动点E，F分别在边上，且，以为边作等边三角形，且点P始终在的内部或边上．当的面积最大为______． 分析有理·押题有据 动点问题是扬州中考难度较高、区分度明显的重难点压轴题型。以单点、双点或直线平移运动为背景，随着图形位置不断变化，考查线段长度、图形周长、面积的变化规律。高频探究等腰三角形、直角三角形、特殊平行四边形是否存在等问题，解题需要根据运动范围分段分类讨论，综合运用一次函数、相似三角形、勾股定理整体分析，思维综合性较强。 终极猜想·精练通关 1．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在菱形中，，，为上一动点，为上一动点，且，连接，，，是的中点，则点从点到点的运动过程中，点运动轨迹的长为________． 2．（2026·陕西西安·三模）如图，在矩形中，，，点E、F分别为边BC、BD上的两动点，且，当取最小值时，的值是______． 3．（2026·河南信阳·一模）如图，四边形为矩形，，对角线交点为O，，点E为矩形内部一动点，且，当点E运动到矩形的对角线上时，的长为________． 4．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，正方形的面积为16，点、分别是边、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值是______． 5．（2026·山东日照·模拟预测）如图，在矩形中，，，为线段上一个动点，过作，垂足为，连接，取的中点，连接，则线段的最小值为______． 押题猜想五 数据分析 试题前瞻·能力先查 限时：8min 【改编题】某校要从A、B两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一：A、B队员的射击成绩 A：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8 B：8，9，10，9，6，7，7，9，10， 8 信息二：A、B队员射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 A 8.3 8 n 2.01 B 8.3 m 9 1.61 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m，n的值：_______，_______； (2)_______队员在射击选拔赛中发挥的更稳定（填“A”或“B”）； (3)小明认为A、B两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以．你认为他说的对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）． 分析有理·押题有据 统计大题是扬州中考每年固定不变的必考解答题，出题结构固定、设问套路统一。主要考查条形统计图、扇形统计图结合识图、补全图表数据，熟练计算平均数、中位数、众数、方差并进行对比分析，同时考查用样本数据整体估计总体情况的统计思想。题目素材贴近校园生活，计算简单无复杂变形，重点考验细心审题、准确计算和答题步骤完整规范。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏扬州·一模）为了解某校学生视力状况，调查小组随机抽取了该校部分学生进行调查，列出如下不完整的统计表． 抽取的学生视力状况统计表 视力 视力 视力 视力 视力 健康状况组别 A：视力正常 B：轻度视力不良 C：中度视力不良 D：重度视力不良 人数 4 22 8 a 百分比 b (1) ， ； (2)抽样调查数据的中位数所在组别为 组；（填A、B、C或D） (3)已知该校共有800名学生，请估计该校“重度视力不良”学生的人数． 2．（2025·江苏淮安·一模）某校举办校园投篮比赛，九年级（1）班选拔甲、乙两名同学参加集训．两人近5次投篮训练成绩（单位：个）制作成如下不完整的统计图与统计表： 投篮训练成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 甲      8 b      乙      a 8      (1)补全条形统计图； (2)表中______，______． (3)根据计算结果，请你用相关统计知识分析谁更适合代表班级参赛． 3．（2025·山西太原·二模）“学校安全教育平台”系统地、科学地从家居安全、交通安全、火灾、水灾、户外活动、社会恶性事件、校园安全等方面对安全教育所涵盖的主要内容做了全面、详尽、科学、完备的阐述，这不仅能够培养孩子的自我保护能力，教会孩子如何远离危险，而且能让孩子拥有良好的应急心态．某校政教处从全体学生中随机抽取了部分学生“学校安全教育平台”中消防安全知识的分数（满分为100分）进行了统计，以下是根据抽取学生的分数制作的不完整的频率分布表和频数分布直方图 组别 分组 频数 复率 1      9 0.18 2      m b 3      21 0.42 4      0.06 5      2 n 请根据图表，解答下列问题： (1)填空：_____，_____，_____． (2)若小勇同学的测试成绩是所抽取学生成绩的中位数，那么小勇同学的测试成绩在什么范围内？ (3)规定：得分在的为“优秀”，如果小勇同学所在学校共有2000名学生，那么估计得分为“优秀”的学生共有多少名？ 4．（2025·陕西·中考真题）为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分  满分100分  均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图： 其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： (1)B组15个成绩的平均数为______分； (2)本次被抽取的所有成绩的个数为______，本次被抽取的所有成绩的中位数为______分； (3)学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 押题猜想六 概率 试题前瞻·能力先查 限时：8min 【新情景】化学课上，高老师给同学们变了个魔术，在白纸上用无色溶液写隐形文字，然后喷上小苏打水，纸上立刻显现出红色字迹．这是因为无色酚酞溶液遇碱变红、遇酸或中性试剂不变色，常用来做化学密信．现有五个完全相同且无标签的棕色细口瓶，里面分别装有酚酞等五种液体，如图所示． (1)请一位同学随机选出一瓶溶液，选中蒸馏水的概率是_________； (2)高老师从五瓶液体中随机选取两瓶，分别取出适量溶液并在试管中充分混合，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 分析有理·押题有据 概率属于中考稳定不变的基础简单考点，大多结合日常抽奖、摸球、生活选择等情境命题。主要判断不同类型随机事件，熟练使用列表法、树状图列举所有等可能结果进行概率求解，同时严格区分放回试验与不放回试验两种易错情况。整体思路简单固定，难度偏低，答题要求条理清晰、不重不漏列举全部情况。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏无锡·一模）为传承无锡非遗文化，某校开展“非遗文化进校园”主题活动，精心选取四项特色体验项目：A惠山泥人，B锡剧，C紫砂陶瓷，D留青竹刻．活动采取随机抽签方式确定体验项目，每位学生可抽取一个项目参与体验，她们的抽取结果互不影响． (1)小丽从中随机抽取一项，抽到“惠山泥人”的概率为______； (2)请用列表法或画树状图的方法，求小丽和小慧抽到不同项目的概率． A B C D A B C D 2．（2026·江苏扬州·一模）大运河是悠久的历史之河、奔流的发展之河、清秀的生态之河、融通的开放之河，以运河为媒，促进交流互鉴，2025年10月16日在大运河原点城市扬州举行了世界运河城市论坛．从A、B、C三名志愿者中随机选取两名分别担任馆内、馆外礼仪工作． (1)A被分配担任馆内礼仪工作的概率为______； (2)用画树状图或列表的方法求A、B两名志愿者都被选中的概率． 3．（2026·江苏无锡·一模）一只不透明的袋子中装有标号分别为，1，2，3的4个小球，这些小球除标号外其它都相同． (1)将小球搅匀，从中任意摸出一个小球，该小球标号为负数的概率为_________； (2)将小球搅匀，从中任意摸出一个小球，记录标号后不放回，再从袋中任意摸出一个小球，记录标号，求摸到的两个小球标号之和为正数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 4．（2026·江苏盐城·一模）学校组织学生到中小学生综合实践基地参加研学，学生可自由选择实践基地的四个项目（A：水火箭制作；B：3D打印；C：攀岩；D：脸谱制作），小明和小超两位同学准备各自随机选择一个项目进行实践． (1)小明选择A项目的概率是_____； (2)用画树状图或列表等方法，求小明和小超选择不同实践项目的概率． 押题猜想七 分式方程的应用 试题前瞻·能力先查 限时：8min 【新情景】现有两种热门文创产品：青铜器书签和青花瓷钥匙扣．某校决定购买这两种文创产品作为运动会的奖品．已知购买4个青铜器书签的费用与购买5个青花瓷钥匙扣的费用相同，用320元购买青铜器书签的数量比用320元购买青花瓷钥匙扣的数量少2个．求青铜器书签和青花瓷钥匙扣的单价． 分析有理·押题有据 分式方程应用题是扬州中考常考实际应用大题，常设工程进度、行程路程、商品销售采购等常见生活情境。解题关键是读懂题意找准题目内在等量关系，合理设未知数列出分式方程求解。做完计算后必须两步检验，既要检验方程是否产生增根，也要检验答案是否符合现实实际意义，侧重数学建模能力与答题格式规范。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏扬州·一模）高邮市汪曾祺纪念馆现已被认证为国家AAA景区．现某校准备采购印有汪曾祺纪念馆的、两种类型文创冰箱贴作为奖品．已知个种冰箱贴和个种冰箱贴的进价之和为元，用元购进的种冰箱贴的数量和用元购进的种冰箱贴的数量相同．求和两种冰箱贴的进价． 2．（2026·江苏南京·模拟预测）某智能手机代工厂接到生产万部智能手机的订单，为了满足客户尽快交货的要求，工厂增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了，结果比原计划提前个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部？ 3．（2026·江苏连云港·一模）请根据下面对话，解答问题： 小明：今天起晚了，没能跟你一起骑自行车上学，我用了平时骑车速度的1.2倍才刚好在校门口追上你． 小丽：还好我们家离学校就，再远点你可能就要迟到了． (1)设小明原来的速度为，则小明今天的速度为 ； (2)求小明今天的速度． 4．（2026·湖南长沙·二模）年春节期间，电影《飞驰人生》的热播带动了一批汽车模型的销售．某商家推出，两种赛车模型，已知每个种赛车模型的进价比种赛车模型贵元，用元购进种赛车模型和用元购进种赛车模型的数量相同． (1)，两种赛车模型每个的进价分别是多少？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过元的资金购进，两种赛车模型共个，那么最多能购进种赛车模型多少个？ 押题猜想八 平行四边形的性质与判定 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【改编题】如图，在中，E，F分别为的中点，连接 ． (1)求证：； (2)若，判断四边形的形状，并证明你的结论． 分析有理·押题有据 平行四边形相关内容是初中几何核心基础必考知识点，试卷出现频率很高。重点考查平行四边形对边、对角、对角线对应的所有性质定理，以及多种判定定理灵活选用进行推理证明。题目经常和三角形全等、菱形、矩形综合串联考查证明与长度计算，难度中等，侧重基础定理熟练记忆与灵活运用。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏无锡·一模）如图，在中，对角线相交于点O，于点E，于点F，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 2．（2026·江苏徐州·一模）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，. (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长. 3．（2026·云南大理·一模）如图，平行四边形中，点在对角线的延长线上，于点，过点作交的延长线于点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求线段的长． 4．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，点在边上，过点作交边于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当四边形是菱形时，，，求菱形的边长． 押题猜想九 二次函数综合 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【改编题】如图，已知二次函数图象的对称轴为轴，且过坐标原点及点，过点作射线平行于轴（点在点上方），点坐标为，连接并延长交抛物线于点，射线平分，过点作的垂线交轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)判断直线与二次函数的图象的公共点的个数，并说明理由； 分析有理·押题有据 二次函数是扬州中考最后一道必考压轴大题，整张试卷难度最高、分值最重。考查待定系数法求函数解析式、开口对称轴顶点等图像基本性质、函数与坐标轴交点坐标求解。经常结合几何图形综合考查线段最值、图形面积最值、动点存在性问题，综合方程、不等式、几何相似等大量知识，全面考查综合解题思维与数形结合思想。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接． (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标． (2)若点E是直线上方的抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． (3)点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出点P的坐标． 2．（2026·湖南湘潭·一模）已知二次函数的图像与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，设抛物线的顶点为点，连接，点是线段上的动点，点为抛物线对称轴上一动点，连接、，求的最小值； (3)如图2，连接，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，交于点．设点的横坐标为，，，． ①求与的函数关系式，并写出的取值范围； ②当的值取最大时，求点的坐标． 3．（2026·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，，以为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接并延长至C，使，过C作轴于点D，交线段于点E．已知，抛物线经过三点． (1)求直线的函数表达式； (2)求抛物线的函数表达式； (3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个． 4．（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求的值． (2)若点为抛物线上一动点，的面积为8时，求点的坐标． (3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使为直角三角形的点的坐标． 押题猜想十 几何综合探究题 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【新题型】阅读理解：我们把对角线互相垂直的四边形叫做对垂四边形．    【观察发现】： (1)如图1，对垂四边形，四边、、、的数量关系为___________． 【发现应用】： (2)如图2，在中，若，是的中线，且，垂足为，，，则线段___________． 【知识应用】： (3)如图3，分别以钝角的边和边为边长向外作正方形和正方形，连接，交于点，点是中点，连接，若，，，则线段的长为___________． 【拓展应用】： (4)如图4，在平行四边形中，点、、分别是，，的中点，分别连接、、，且，，，则线段___________． 分析有理·押题有据 几何探究题属于扬州中考最后难度最高的拓展压轴题型。多以三角形、正方形、矩形为基础图形，结合旋转、平移、折叠多种图形变换层层递进设问。题目由易到难设置多小问，从简单猜想证明到复杂综合计算，常运用半角模型、一线三等角等经典几何模型解题，侧重特殊到一般探究思想，考验独立思考、逻辑推导与举一反三综合能力。 终极猜想·精练通关 1．（2026·甘肃·一模）观察发现 (1)如图1，将正方形折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别与，交于点，则折痕和的数量和位置关系分别是_____． 类比探究 (2)在（1）的条件下，设EF与交于点，连接交于点，如图2．求证：． 拓展应用 (3)如图3，正方形的边长为9，M是边上的一个动点，点在边上，且，连接，将正方形沿折叠，使点分别落在点处，当点落在直线上时，求线段的长． 2．（2026·贵州遵义·一模）综合与探究 如图1，，于点C，点D是射线上一动点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，过点E作交射线于点G，垂足为F． 【初步尝试】 (1)当点D在线段上时，与的数量关系为__________，与的数量关系为__________； 【深入探究】 (2)当点D在线段上时，求证：； 【拓展延伸】 (3)若，点D在运动过程中，当时，求的长． 3．（2026·河南周口·模拟预测）综合与实践 在以往的学习过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“豫式四边形”进行研究． 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“豫式四边形”． (1)初步判断 下列初中阶段常见的四边形中，一定属于“豫式四边形”的是________（填序号）． ①矩形  ②正方形  ③菱形  ④平行四边形 (2)性质探究 根据定义可得出“豫式四边形”的边、角的性质．下面继续进行相关探究． ①如图1，“豫式四边形”中，，．写出图中除条件外相等的线段，并说明理由； ②如图2，在四边形中，，平分，若，求证：四边形为“豫式四边形”； (3)拓展应用 如图3，中∠B=900，，在直线的右上方存在点D，使得四边形为“豫式四边形”，当该“豫式四边形”中有一内角为时，请直接写出的长． 4．（2026·山西吕梁·一模）综合与探究 问题情境：在正方形中，点是直线上的一点（不与点重合），连接，过点作于点，过点作，与所在直线交于点． 猜想证明： (1)如图1，当点在边上时，猜想与的数量关系，并说明理由． 独立思考： (2)如图2，在（1）的条件下，连接，，判断与的数量关系与位置关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)连接，若，，请直接写出的长． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 一元二次方程根的判别式 1 押题猜想二 跨学科融合 4 押题猜想三 翻折问题 10 押题猜想四 动点问题 20 押题猜想五 数据分析 27 押题猜想六 概率 32 押题猜想七 分式方程的应用 37 押题猜想八 平行四边形的性质与判定 39 押题猜想九 二次函数综合 43 押题猜想十 几何综合探究题 58 押题猜想一 一元二次方程根的判别式 试题前瞻·能力先查 限时：3min 【改编题】若关于x的一元二次方程没有实数根，则k取值范围为________。 【答案】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴ ∵，， ∴ 即 解得 分析有理·押题有据 该题型是扬州中考数学常年必考的基础题型，多出现在选择、填空题中。题目大多含有字母参数，主要利用根的判别式与0的大小关系，判断方程实数根的个数，从而求解参数的取值范围。解题时不仅要熟练套用公式，还要时刻注意二次项系数不为0这一隐藏条件，常常结合一元一次不等式以及分类讨论思想一起考查，整体综合性适中。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏扬州·一模）如果关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时，原方程化为，该方程为一元一次方程，有实数根，符合题意； ②当时，原方程是一元二次方程， 因为方程有实数根， 所以根的判别式， 即， 解得，此时． 综上，的取值范围为． 2．（2026·江苏南京·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且为正整数，则的值为______． 【答案】或 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得，又为正整数， 或． 3．（25-26九年级下·江苏常州·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（   ） A．4 B．1 C． D．0 【答案】B 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 整理得，， 解得，． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】A 【详解】解：①当时，方程为，解得，有实数根，符合题意； ②当时，方程为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴，其中，，， ∴， ∴， ∴且， 综上，的取值范围是． 故选：A． 5．（2026·江苏南京·模拟预测）设，是方程的两个根，且，则______． 【答案】 【详解】解：∵，是方程的两个根， 则，， ∴， 解得：． 6．（25-26九年级上·江苏南京·期末）若，是关于的方程的两个根，且，则的值为________． 【答案】 【详解】解：∵，是关于的方程的两个根， ∴， 解得， 当 时，方程为 ， ，方程有两个不相等的实数根，符合条件． 故答案为：． 7．（2026·江苏盐城·模拟预测）二次函数的图象与一次函数的图象至少有一个交点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：联立两个函数的解析式得 ， 整理，得， ∵两个图象至少有一个交点， ∴该一元二次方程有实数根， ∴， 解得. 押题猜想二 跨学科融合 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【新情景】“抖空竹”是一项历史悠久的民俗体育活动，它凭借其独特魅力，成为我国传统文化宝库中一颗璀璨的明珠，图1表示欢欢同学抖空竹的某一瞬间，欢欢同学将其抽象成如图2所示的数学问题：在同一平面内，，若，则__________°． 【答案】 【详解】解：设与相交于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 分析有理·押题有据 这类题目是近几年扬州中考的热门创新题型，命题紧跟新课标方向。常常结合传统文化、生活劳动、物理化学知识等全新背景出题，不侧重其他学科难点。核心考查学生快速筛选有用数字条件，剔除无关文字信息，把陌生生活情境转化为方程、函数、几何等常规数学模型，重点锻炼阅读理解与知识迁移转化能力。 终极猜想·精练通关 1．（25-26九年级上·江苏常州·期末）如图是地球的示意图，其中和分别表示赤道和南回归线，，常州市某处位于北纬 （即）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所夹的锐角）的大小为_______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是的切线， ∴， ∴ 故答案为：． 2．（25-26九年级下·四川绵阳·期中）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为该凸透镜的焦点．若，，则的度数为__________． 【答案】/度 【详解】解：如图： 由题意可得：， ∴， 由对顶角相等可得：， ∴． 3．（2026·山东枣庄·一模）将一个正方体木块静止放置在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若斜面的坡角，则支持力与重力方向的夹角的度数为____________． 【答案】/155度 【详解】如图，过作， 根据题意可知，， ， ， ， ， ． 4．（2026·山东日照·模拟预测）如图，太阳光线平行照射在正五边形的物体上，若，则的度数为______． 【答案】/度 【详解】解：如图所示， ∵五边形是五边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 5．（2026·山东聊城·一模）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，分别表示北回归线和南回归线．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为，此时______． 【答案】 【详解】解：是的切线， ∴． ∵， ∴． ∵，即， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴． ∵分别表示北回归线和南回归线，表示赤道， ∴． ∴． 故答案为． 6．（2026·四川绵阳·一模）如图，平行光线和经过凹面镜反射后汇聚于点E，若，，则的度数是 ________ 【答案】 【详解】解：过点作，如图： ，， ， ∵， ∴， ， ∴， ． 7．（2026·河北保定·模拟预测）如图1所示的桔槔是一种原始的汲水工具，图2是示意图，架子水平地面EF，杠杆绕点旋转，当点旋转到时，的度数为_____． 【答案】 #46度 【详解】解：，(为铅垂线,垂直于水平面）， ， 与是同位角， ． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像的示意图，其对应的数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是_____． 【答案】 【详解】解：∵与交于点，， ∴， ∵点到的距离为，点到的距离为， ∴， ∵蜡烛火焰的高度是， ∴，解得，即蜡烛火焰倒立的像的高度是． 9．（2026·安徽合肥·一模）如图,小刚正在使用手电筒进行物理学实验，手电筒位于点G处，手电筒的光从平面镜上的点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，现测得米，米，米，米，已知图中点A，B，C，D在同一水平面上（物理学中入射角等于反射角），，，，则的长为______米． 【答案】5 【详解】解：设，则， ∵，， ∴， ∵在点B处反射后为， ∴， ∴， ∴即， 解得，即，则， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，即， 解得． 押题猜想三 翻折问题 试题前瞻·能力先查 限时：6min 【改编题】如图，在中，∠B=900，，，分别是，边上一点，将沿折叠得，△CDF沿折叠得，若，则CF=_____． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，设， ∵将沿折叠得，沿折叠得，， ∴，， ∴，，，，， ∴， ∵∠B=900，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， 即CF=． 分析有理·押题有据 翻折是扬州中考几何部分高频经典考题，常出现在填空压轴或中档几何解答题。一般以三角形、矩形、正方形等常见平面图形作为载体出题，始终围绕折叠前后对应边相等、对应角相等的不变性质展开计算。题目经常融合勾股定理、相似三角形、角度推导综合设问，需要观察图形折叠前后结构变化，寻找相等线段建立等量关系，对几何推理能力有一定要求。 终极猜想·精练通关 1．（2026·吉林·一模）如图，在中，，，，点在边上，，动点在边上．将沿折叠得到，则点到的最短距离为_____． 【答案】 【详解】解：分别过点F，D作，，连接，如图所示： ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴折叠， ∴， 则在中，， ∵垂线段最短， ∴， ∴的最小值为， 即点到的最短距离为． 2．（2026·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，，D是的中点，连接，将沿折叠，使点A落在点E，连接，则的面积为________． 【答案】/ 【详解】解：如图，延长交的延长线于点，过C作于H，则， ∵在中，，是的中点， ∴，， ∵将沿折叠， ∴， 设，则， ∵ ∴ ∵折叠， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∵ ∴ ∴，， 由得， 在中，， ∴， ∴． 3．（2026·甘肃武威·一模）如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处，若，则的长度为_____． 【答案】 【详解】解：∵在平行四边形中，对边相等， ∴ ∵沿折叠得到， ∴； ∵点在的延长线上，共线，， ∴，即是直角三角形， 在中，， ∴， 根据角所对直角边是斜边的一半， ∴斜边 ∵， ∴． 4．（2026·河南开封·一模）若一个三角形三边长之比为，则称这个三角形为“勾股三角形”．如图，在矩形中，，点在边上，将沿折叠，得到．过点作于点．若是“勾股三角形”，则的长为___________． 【答案】或 【详解】 解：在矩形中，，， 由折叠性质得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，斜边为， 根据“勾股三角形”定义，其三边比为， 分两种情况讨论： 情况1：， ∵， ∴，， 设，则， 延长交于点， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 则，， 在中，由勾股定理： ， 解得， 因此； 情况2：， 同理得，， 设， 在中，勾股定理得： ， 解得， 因此； 综上，的长为或． 5．（2026·江苏无锡·二模）如图所示为一张矩形纸片，点为边的中点，点在边上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与交于点，的延长线过点．若，则____． 【答案】 【详解】解：连接，由题意可得：，，，， 由折叠得，，， ，，， ∵的延长线过点， ∴， 在和中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（2026·河南周口·一模）如图，将，的矩形纸片放在以所在直线为x轴，边上一点O为坐标原点的平面直角坐标系中，连接，将纸片沿折叠，点C的对应点恰好落在边上，则点C的坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵矩形纸片，， ∴， 又∵将纸片沿折叠，点C的对应点恰好落在边上， ∴， ∵矩形纸片， ∴， ∵，， ∴， ∴． 设， ∵矩形纸片，， ∴， ∴， ∵矩形纸片， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴，即． 7．（2026·河南·一模）如图，将边沿过点A的直线折叠，使落在边上，折痕为，展开纸片，再次折叠使点A与点D重合，折痕为，展开后连接、，测得，，当是直角三角形时，的长为______ 【答案】或 【详解】解：由折叠的性质可知， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形， ∴， 当时，如图： ∵ ∴ ∴ ∴， 设，则 ∴， 解得， ∵ ∴； 当时，如图： 同理可设，则 ∴， 解得， ∵ ∴， 综上：当是直角三角形时，的长为或． 8．（2026·安徽马鞍山·一模）如图，在四边形中，，，，过点D作，交于点E，且，．将沿折叠，点C的对应点恰好落在上，则的长为___． 【答案】 【详解】解： ． 由折叠得，，，． ， ， ， ， ． 又， ， ，即， ． ，， 四边形为平行四边形， ， ． 押题猜想四 动点问题 试题前瞻·能力先查 限时：6min 【改编题】如图，在中，，，，动点E，F分别在边上，且，以为边作等边三角形，且点P始终在的内部或边上．当的面积最大为______． 【答案】12 【详解】解：如图，在中，，，， 则， ∵是等边三角形， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的平分线交于点H， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴直线和直线重合， 即点在上运动， ∵的面积， 则最大时，的面积最大， 根据题意可得当点与点H重合时，最大，即的面积最大， 此时，如图， 的最大面积=×（8×2）2=12 分析有理·押题有据 动点问题是扬州中考难度较高、区分度明显的重难点压轴题型。以单点、双点或直线平移运动为背景，随着图形位置不断变化，考查线段长度、图形周长、面积的变化规律。高频探究等腰三角形、直角三角形、特殊平行四边形是否存在等问题，解题需要根据运动范围分段分类讨论，综合运用一次函数、相似三角形、勾股定理整体分析，思维综合性较强。 终极猜想·精练通关 1．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在菱形中，，，为上一动点，为上一动点，且，连接，，，是的中点，则点从点到点的运动过程中，点运动轨迹的长为________． 【答案】 【详解】解：当点和点重合时，，点和点重合，点为的中点，如下图所示， 当点和点重合时，，点和点重合，点为的中点，如下图所示， 因此点的运动轨迹为一条线段，如下图所示， 连接、交于点，如下图所示，则点的运动轨迹为的中位线， 四边形是菱形， ，、互相平分， ， 是等边三角形， ， ， ， 点运动轨迹的长为． 2．（2026·陕西西安·三模）如图，在矩形中，，，点E、F分别为边BC、BD上的两动点，且，当取最小值时，的值是______． 【答案】 【详解】解：如图，在上截取，连接， 四边形是矩形， ，，，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 作点关于的对称点，连接交于点， 此时，即取得最小值， 点与点关于对称， ， （对顶角）， ， 是的外角， ， ， ， 在中，，， ， ． 3．（2026·河南信阳·一模）如图，四边形为矩形，，对角线交点为O，，点E为矩形内部一动点，且，当点E运动到矩形的对角线上时，的长为________． 【答案】或 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点在上时， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， 当点在上时， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 4．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，正方形的面积为16，点、分别是边、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值是______． 【答案】 【详解】解：如图，连接，， 正方形的面积为， ， ， 点为的中点，点为的中点， ， 当有最大值时，有最大值， 点是边上的动点， 当点与点重合时，有最大值为， 的最大值为． 5．（2026·山东日照·模拟预测）如图，在矩形中，，，为线段上一个动点，过作，垂足为，连接，取的中点，连接，则线段的最小值为______． 【答案】 【详解】解：延长至F，使得，连接，如图: ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴点F在与成角的射线上运动， ∴当时，最短， 此时，， ∴， ∵， ∴, ∵E是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴, 故线段的最小值为． 押题猜想五 数据分析 试题前瞻·能力先查 限时：8min 【改编题】某校要从A、B两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一：A、B队员的射击成绩 A：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8 B：8，9，10，9，6，7，7，9，10， 8 信息二：A、B队员射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 A 8.3 8 n 2.01 B 8.3 m 9 1.61 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m，n的值：_______，_______； (2)_______队员在射击选拔赛中发挥的更稳定（填“A”或“B”）； (3)小明认为A、B两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以．你认为他说的对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）． 【答案】(1) (2)B (3)不对，理由见解析（答案不唯一，合理即可） 【详解】（1）解：B中数据排序后，第5个和第6个数据分别为：和， ∴； A中数据出现次数最多的是，故； 故答案为：； （2）由表格可知：A的方差大于B的方差， ∴B队员在射击选拔赛中发挥的更稳定； 故答案为：B； （3）小明说的不对，理由如下： 两人成绩的平均数相同，但是A的方差大于B的方差，故B队员发挥更稳定，故应选B队员参赛． 分析有理·押题有据 统计大题是扬州中考每年固定不变的必考解答题，出题结构固定、设问套路统一。主要考查条形统计图、扇形统计图结合识图、补全图表数据，熟练计算平均数、中位数、众数、方差并进行对比分析，同时考查用样本数据整体估计总体情况的统计思想。题目素材贴近校园生活，计算简单无复杂变形，重点考验细心审题、准确计算和答题步骤完整规范。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏扬州·一模）为了解某校学生视力状况，调查小组随机抽取了该校部分学生进行调查，列出如下不完整的统计表． 抽取的学生视力状况统计表 视力 视力 视力 视力 视力 健康状况组别 A：视力正常 B：轻度视力不良 C：中度视力不良 D：重度视力不良 人数 4 22 8 a 百分比 b (1) ， ； (2)抽样调查数据的中位数所在组别为 组；（填A、B、C或D） (3)已知该校共有800名学生，请估计该校“重度视力不良”学生的人数． 【答案】(1)6； (2)B (3)该校 “重度视力不良”学生的人数为120人． 【详解】（1）解：总人数， 故，． （2）解：样本总人数为40人， 按视力从高到低排序，中位数应为第20位和第21位数据的平均数，A组有4人，A组和B组共有人，所以第20位和第21位数据均落在B组，故中位数所在组别为B组． （3）解：（人）， ∴该校 “重度视力不良”学生的人数为120人． 2．（2025·江苏淮安·一模）某校举办校园投篮比赛，九年级（1）班选拔甲、乙两名同学参加集训．两人近5次投篮训练成绩（单位：个）制作成如下不完整的统计图与统计表： 投篮训练成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 甲      8 b      乙      a 8      (1)补全条形统计图； (2)表中______，______． (3)根据计算结果，请你用相关统计知识分析谁更适合代表班级参赛． 【答案】(1)见解析 (2)8，9 (3)甲乙两人平均数和中位数相同，乙的方差小于甲的方差，乙比甲发挥更稳定，所以乙更适合代表班级参赛答案不唯一，言之有理即可 【详解】（1）解：第5次甲的成绩：（个）， 第3次乙的成绩：（个）， 补全条形统计图： ； （2）解：把乙的成绩从小到大排列为：6，7，8，8，8， ； 甲的成绩为：5，6，8，9，9， ∴， 故答案为：8，9； （3）解：甲乙两人平均数和中位数相同，乙的方差小于甲的方差，乙比甲发挥更稳定，所以乙更适合代表班级参赛（答案不唯一，言之有理即可）． 3．（2025·山西太原·二模）“学校安全教育平台”系统地、科学地从家居安全、交通安全、火灾、水灾、户外活动、社会恶性事件、校园安全等方面对安全教育所涵盖的主要内容做了全面、详尽、科学、完备的阐述，这不仅能够培养孩子的自我保护能力，教会孩子如何远离危险，而且能让孩子拥有良好的应急心态．某校政教处从全体学生中随机抽取了部分学生“学校安全教育平台”中消防安全知识的分数（满分为100分）进行了统计，以下是根据抽取学生的分数制作的不完整的频率分布表和频数分布直方图 组别 分组 频数 复率 1      9 0.18 2      m b 3      21 0.42 4      0.06 5      2 n 请根据图表，解答下列问题： (1)填空：_____，_____，_____． (2)若小勇同学的测试成绩是所抽取学生成绩的中位数，那么小勇同学的测试成绩在什么范围内？ (3)规定：得分在的为“优秀”，如果小勇同学所在学校共有2000名学生，那么估计得分为“优秀”的学生共有多少名？ 【答案】(1)3，0.3，15； (2)小勇的测试成绩在范围内； (3)名 【详解】（1）解：（人． ，，． （2）解：抽取的学生共有50名，中位数是第25、26个数据的平均数，第25、26个数据在第3组，所以小勇的测试成绩在范围内； （3）解：， 估计得分为“优秀”的学生共有名. 4．（2025·陕西·中考真题）为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分  满分100分  均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图： 其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： (1)B组15个成绩的平均数为______分； (2)本次被抽取的所有成绩的个数为______，本次被抽取的所有成绩的中位数为______分； (3)学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 【答案】(1) (2)， (3)人 【详解】（1）解：B组15个成绩的平均数为： ； （2）解：∵， ∴本次被抽取的所有成绩的个数为， ∵，而， 所抽取的50个成绩分数排序后排在第个，第个分数落在B组， 而B组成绩排序后为： 从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80． ∴第个，第个分数， 本次被抽取的所有成绩的中位数为分； （3）解：学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，则本次竞赛的获奖人数为（人）. 押题猜想六 概率 试题前瞻·能力先查 限时：8min 【新情景】化学课上，高老师给同学们变了个魔术，在白纸上用无色溶液写隐形文字，然后喷上小苏打水，纸上立刻显现出红色字迹．这是因为无色酚酞溶液遇碱变红、遇酸或中性试剂不变色，常用来做化学密信．现有五个完全相同且无标签的棕色细口瓶，里面分别装有酚酞等五种液体，如图所示． (1)请一位同学随机选出一瓶溶液，选中蒸馏水的概率是_________； (2)高老师从五瓶液体中随机选取两瓶，分别取出适量溶液并在试管中充分混合，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：从瓶液体中选择一个，选中蒸馏水概率是； （2）解：瓶液体分别为：， 根据高老师从五瓶液体中随机选取两瓶，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两种溶液混合后溶液变红的结果有：，，，，共种情况， ∴其中两种溶液混合后溶液变红的概率为：． 分析有理·押题有据 概率属于中考稳定不变的基础简单考点，大多结合日常抽奖、摸球、生活选择等情境命题。主要判断不同类型随机事件，熟练使用列表法、树状图列举所有等可能结果进行概率求解，同时严格区分放回试验与不放回试验两种易错情况。整体思路简单固定，难度偏低，答题要求条理清晰、不重不漏列举全部情况。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏无锡·一模）为传承无锡非遗文化，某校开展“非遗文化进校园”主题活动，精心选取四项特色体验项目：A惠山泥人，B锡剧，C紫砂陶瓷，D留青竹刻．活动采取随机抽签方式确定体验项目，每位学生可抽取一个项目参与体验，她们的抽取结果互不影响． (1)小丽从中随机抽取一项，抽到“惠山泥人”的概率为______； (2)请用列表法或画树状图的方法，求小丽和小慧抽到不同项目的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意可知，共有4种项目，则抽到“惠山泥人”的概率为； （2）解：列表如下： A B C D A B C D 由表格可知，共有16种等可能的情况，其中抽到不同项目的情况有12种， 则小丽和小慧抽到不同项目的概率为． 2．（2026·江苏扬州·一模）大运河是悠久的历史之河、奔流的发展之河、清秀的生态之河、融通的开放之河，以运河为媒，促进交流互鉴，2025年10月16日在大运河原点城市扬州举行了世界运河城市论坛．从A、B、C三名志愿者中随机选取两名分别担任馆内、馆外礼仪工作． (1)A被分配担任馆内礼仪工作的概率为______； (2)用画树状图或列表的方法求A、B两名志愿者都被选中的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：从A、B、C三名志愿者中随机选取两名分别担任馆内、馆外礼仪工作，从3人中任选1人，A被分配担任馆内礼仪工作的概率为； （2）解：列表如下， 共有6种等可能结果，其中A、B两名志愿者都被选中的有种， ∴A、B两名志愿者都被选中的概率为 3．（2026·江苏无锡·一模）一只不透明的袋子中装有标号分别为，1，2，3的4个小球，这些小球除标号外其它都相同． (1)将小球搅匀，从中任意摸出一个小球，该小球标号为负数的概率为_________； (2)将小球搅匀，从中任意摸出一个小球，记录标号后不放回，再从袋中任意摸出一个小球，记录标号，求摸到的两个小球标号之和为正数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵袋子中共有4个除标号外都相同的小球，其中标号为负数的小球只有1个， ∴从中任意摸出一个小球，标号为负数的概率为； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中摸到的两个小球标号之和为正数的结果有10种， ∴摸到的两个小球标号之和为正数的概率为． 4．（2026·江苏盐城·一模）学校组织学生到中小学生综合实践基地参加研学，学生可自由选择实践基地的四个项目（A：水火箭制作；B：3D打印；C：攀岩；D：脸谱制作），小明和小超两位同学准备各自随机选择一个项目进行实践． (1)小明选择A项目的概率是_____； (2)用画树状图或列表等方法，求小明和小超选择不同实践项目的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：小明从四个项目（A：水火箭制作；B：3D打印；C：攀岩；D：脸谱制作）中随机选择一个， 小明选择项目的概率为； （2）解：画树状图如下： 共有种等可能结果，其中小明和小超选择不同实践项目的结果有种， 小明和小超选择不同实践项目的概率为． 押题猜想七 分式方程的应用 试题前瞻·能力先查 限时：8min 【新情景】现有两种热门文创产品：青铜器书签和青花瓷钥匙扣．某校决定购买这两种文创产品作为运动会的奖品．已知购买4个青铜器书签的费用与购买5个青花瓷钥匙扣的费用相同，用320元购买青铜器书签的数量比用320元购买青花瓷钥匙扣的数量少2个．求青铜器书签和青花瓷钥匙扣的单价． 【答案】青铜器书签的单价为40元，则青花瓷钥匙扣的单价为32元． 【详解】解：设青铜器书签的单价为x元，则青花瓷钥匙扣的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：青铜器书签的单价为40元，则青花瓷钥匙扣的单价为32元． 分析有理·押题有据 分式方程应用题是扬州中考常考实际应用大题，常设工程进度、行程路程、商品销售采购等常见生活情境。解题关键是读懂题意找准题目内在等量关系，合理设未知数列出分式方程求解。做完计算后必须两步检验，既要检验方程是否产生增根，也要检验答案是否符合现实实际意义，侧重数学建模能力与答题格式规范。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏扬州·一模）高邮市汪曾祺纪念馆现已被认证为国家AAA景区．现某校准备采购印有汪曾祺纪念馆的、两种类型文创冰箱贴作为奖品．已知个种冰箱贴和个种冰箱贴的进价之和为元，用元购进的种冰箱贴的数量和用元购进的种冰箱贴的数量相同．求和两种冰箱贴的进价． 【答案】、两种冰箱贴的进价分别为元/件、元/件 【详解】解：设A种冰箱贴的进价为元/件，则B种冰箱贴的进价为元/件， 依题意得：， 解得， 经检验是原方程的根，且符合题意， 当时，， 答：、两种冰箱贴的进价分别为元/件、元/件． 2．（2026·江苏南京·模拟预测）某智能手机代工厂接到生产万部智能手机的订单，为了满足客户尽快交货的要求，工厂增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了，结果比原计划提前个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部？ 【答案】每月实际生产智能手机万部． 【详解】解：设原计划每月生产智能手机万部，则实际每月生产智能手机万部， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：每月实际生产智能手机万部． 3．（2026·江苏连云港·一模）请根据下面对话，解答问题： 小明：今天起晚了，没能跟你一起骑自行车上学，我用了平时骑车速度的1.2倍才刚好在校门口追上你． 小丽：还好我们家离学校就，再远点你可能就要迟到了． (1)设小明原来的速度为，则小明今天的速度为 ； (2)求小明今天的速度． 【答案】(1) (2)小明今天的速度为 【详解】（1）解：∵小明原来的速度为，今天小明速度是平时骑车速度的1.2倍， ∴小明今天的速度为． （2）解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：小明今天的速度为． 4．（2026·湖南长沙·二模）年春节期间，电影《飞驰人生》的热播带动了一批汽车模型的销售．某商家推出，两种赛车模型，已知每个种赛车模型的进价比种赛车模型贵元，用元购进种赛车模型和用元购进种赛车模型的数量相同． (1)，两种赛车模型每个的进价分别是多少？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过元的资金购进，两种赛车模型共个，那么最多能购进种赛车模型多少个？ 【答案】(1) 种赛车模型每个的进价为元，种赛车模型每个的进价为元； (2) 最多能购进种赛车模型个． 【详解】（1）解：设种赛车模型每个的进价为元，则种赛车模型每个的进价为元， 根据题意可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴种赛车模型每个的进价为元，种赛车模型每个的进价为元． （2）解：设购进种赛车模型个，则购进种赛车模型个， 根据题意可得， 解得， ∴最多能购进种赛车模型个． 押题猜想八 平行四边形的性质与判定 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【改编题】如图，在中，E，F分别为的中点，连接 ． (1)求证：； (2)若，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形；证明见解析 【详解】（1）证明：在中， ， ∴ ， ∵点E，F分别为的中点， ∴ ， ∴ ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∵即， ∴四边形是平行四边形； 当时，如图，则是直角三角形， ∵点E为的中点， ∴， ∴四边形是菱形． 分析有理·押题有据 平行四边形相关内容是初中几何核心基础必考知识点，试卷出现频率很高。重点考查平行四边形对边、对角、对角线对应的所有性质定理，以及多种判定定理灵活选用进行推理证明。题目经常和三角形全等、菱形、矩形综合串联考查证明与长度计算，难度中等，侧重基础定理熟练记忆与灵活运用。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏无锡·一模）如图，在中，对角线相交于点O，于点E，于点F，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵，， ， ，， ， ； （2）证明：由（1）知， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ∴四边形是矩形． 2．（2026·江苏徐州·一模）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，. (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的长. 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）证明：∵是的中点，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴在中，由勾股定理得． 3．（2026·云南大理·一模）如图，平行四边形中，点在对角线的延长线上，于点，过点作交的延长线于点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ∵， ∴， ∵， 四边形是平行四边形． ∵ 平行四边形是菱形． （2）解：∵， ， ∵，， 在中，， ， ， ∵四边形是菱形， ， 又∵， 在中，， ， ． 4．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，点在边上，过点作交边于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当四边形是菱形时，，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：， ， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当四边形是菱形时， 设，由得：， ， ， ， ， 解得：， 即：菱形的边长为． 押题猜想九 二次函数综合 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【改编题】如图，已知二次函数图象的对称轴为轴，且过坐标原点及点，过点作射线平行于轴（点在点上方），点坐标为，连接并延长交抛物线于点，射线平分，过点作的垂线交轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)判断直线与二次函数的图象的公共点的个数，并说明理由； 【答案】(1) (2)个，理由见解析 【详解】（1）解：∵二次函数图象的对称轴为轴，过坐标原点及点 ∴ ∴ ∴二次函数解析式为： （2）解：如图，设与轴交于点，过点作轴于点， ∵，点坐标为， ∴， ∴，， ∴ ∵轴， ∴ ∵射线平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴即， 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 消去得，， ∵， ∴直线与二次函数的图象的公共点的个数为 分析有理·押题有据 二次函数是扬州中考最后一道必考压轴大题，整张试卷难度最高、分值最重。考查待定系数法求函数解析式、开口对称轴顶点等图像基本性质、函数与坐标轴交点坐标求解。经常结合几何图形综合考查线段最值、图形面积最值、动点存在性问题，综合方程、不等式、几何相似等大量知识，全面考查综合解题思维与数形结合思想。 终极猜想·精练通关 1．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接． (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标． (2)若点E是直线上方的抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． (3)点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点P的坐标为或 【详解】（1） 解：二次函数的图像经过点，点， ， 解得：， 该二次函数的解析式为， ， 顶点； （2）解：对称轴为直线，点，轴， ， ，， ， 设直线解析式为， 则， 解得， 直线解析式为， 过作轴交于点， 设，则， ， ， ， 当时 ，为最大值， 四边形面积的最大值为； （3）解：当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或， 理由：①当四边形为平行四边形时，． 连接，过点作轴于点，设与交于点，如图， ∵，， ∴，， ， ， ∵，， ∴， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ． 过点作轴于点， 设，则， ∵， ， ． ， ∴． ∴； ②当四边形为平行四边形时，．连接， 过点作轴于点，设与交于点，如图， ∵，， ∴， ， ， ∵， ∴， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ， 过点作轴于点， 设，则， ∵， ∴， ， ． ∴，． 综上，当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或． 2．（2026·湖南湘潭·一模）已知二次函数的图像与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，设抛物线的顶点为点，连接，点是线段上的动点，点为抛物线对称轴上一动点，连接、，求的最小值； (3)如图2，连接，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，交于点．设点的横坐标为，，，． ①求与的函数关系式，并写出的取值范围； ②当的值取最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【详解】（1）解：依题意得 解得 这个二次函数的表达式为 （2）解：， ， ∴， 点，关于抛物线对称轴对称，连接，则， 要使的值最小，则值最小，当点、、在同一直线上满足条件． 过作于， 点、均为动点 此时线段的长就是的最小值． ∵， ， ∴ （3）解：①， ∴， 令，则， 点， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 过点作轴交直线于点，如图， 设，则， ， 又， 轴，， ， ， ， ②， 当取值最大时，， ， ∴. 3．（2026·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，，以为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接并延长至C，使，过C作轴于点D，交线段于点E．已知，抛物线经过三点． (1)求直线的函数表达式； (2)求抛物线的函数表达式； (3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵为半圆的直径， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴点B为的中点， ∴点B的坐标为，即， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，，则， 设抛物线的解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （3）解：设点， ①若点在的左侧，延长交于，如图所示， 同理可得所在直线函数关系式为， 在中，当时，，即点纵坐标为， ∴， ∴ • ， ； ②若点在的右侧，延长交于，如图所示， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，即点纵坐标为， ∴， ∴   ； ∵以为顶点的四边形面积记作S，且S满足相应的点P有且只有3个， ∴关于p的方程有两个不相等的实数根，且关于p的方程有两个相等的实数根或关于p的方程有两个相等的实数根，且关于p的方程有两个不相等的实数根； 当关于p的方程有两个不相等的实数根时，则方程有两个不相等的实数根，则， 解得， 当关于p的方程有两个相等的实数根时，则方程有两个相等的实数根，则， 解得； 当关于p的方程有两个不相等的实数根时，则方程有两个不相等的实数根，则， 解得， 当关于p的方程有两个相等的实数根时，则方程有两个相等的实数根，则， 解得； 综上所述，或（此种情况不成立，舍去）， ∴． 4．（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求的值． (2)若点为抛物线上一动点，的面积为8时，求点的坐标． (3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使为直角三角形的点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或或； (3)点的坐标为或或或 【详解】（1）解：把，代入中得： ， 解得，； （2）解：由（1）知，， 设点， ∵，， ， 的面积为8， ， 当时，，即， 解得， ∴点的坐标为； 当时，，即， 解得，，， ∴点的坐标为或， 综上，点的坐标为或或； （3）解：抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴, 设， ， ，， ， 当时，则， ， 解得：， 点的坐标为或； 当时，则， ， 解得：， 点的坐标为； 当时，则， ， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，存在这样的点，使得为直角三角形，点的坐标为或或或． 押题猜想十 几何综合探究题 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【新题型】阅读理解：我们把对角线互相垂直的四边形叫做对垂四边形．    【观察发现】： (1)如图1，对垂四边形，四边、、、的数量关系为___________． 【发现应用】： (2)如图2，在中，若，是的中线，且，垂足为，，，则线段___________． 【知识应用】： (3)如图3，分别以钝角的边和边为边长向外作正方形和正方形，连接，交于点，点是中点，连接，若，，，则线段的长为___________． 【拓展应用】： (4)如图4，在平行四边形中，点、、分别是，，的中点，分别连接、、，且，，，则线段___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：，理由如下： ， ，，，， ，， ； （2）解：如图，连接，    ，是的中线， ，，是的中位线， ， ， 由（1）可知， ， ，即， ， ， ； （3）解：如图，连接、，设与相交于点，    四边形和四边形是正方形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ，， ， ， ，点是中点， ； （4）解：如图，连接、交于，与交于点，设与的交点为，    点、分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 点、分别是，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 在和中， ， ， ， ，分别是的中线， 由（2）的结论得：， ， ． 分析有理·押题有据 几何探究题属于扬州中考最后难度最高的拓展压轴题型。多以三角形、正方形、矩形为基础图形，结合旋转、平移、折叠多种图形变换层层递进设问。题目由易到难设置多小问，从简单猜想证明到复杂综合计算，常运用半角模型、一线三等角等经典几何模型解题，侧重特殊到一般探究思想，考验独立思考、逻辑推导与举一反三综合能力。 终极猜想·精练通关 1．（2026·甘肃·一模）观察发现 (1)如图1，将正方形折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别与，交于点，则折痕和的数量和位置关系分别是_____． 类比探究 (2)在（1）的条件下，设EF与交于点，连接交于点，如图2．求证：． 拓展应用 (3)如图3，正方形的边长为9，M是边上的一个动点，点在边上，且，连接，将正方形沿折叠，使点分别落在点处，当点落在直线上时，求线段的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)2或8 【详解】（1）解：如图，过点F作于点H，设与交于点O． 根据折叠的性质可得垂直平分， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）证明：如图，连接，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴在四边形中，， ∴， 又∵， ∴， ∵由（1）有， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：线段的长为2或8． 连接，设， ∵，， ∴，， 在中，， 当点Q落在线段上时，如图， 此时， 在中，， 在中，， 则， 解得， ∴； 当点Q在延长线上时，如图， 此时， 在中，， 在中，， 则， 解得， ∴； 综上，线段的长为2或8． 2．（2026·贵州遵义·一模）综合与探究 如图1，，于点C，点D是射线上一动点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，过点E作交射线于点G，垂足为F． 【初步尝试】 (1)当点D在线段上时，与的数量关系为__________，与的数量关系为__________； 【深入探究】 (2)当点D在线段上时，求证：； 【拓展延伸】 (3)若，点D在运动过程中，当时，求的长． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)的值为和． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即； （2）证明：过点D作于点M，作于点N． ， ，， ， ，， ， ， ∴四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：∵，，， ∴， ∴， ①若点D在线段上，连接， 是等腰直角三角形，且， ∴当时，垂直平分， ∴点E，C，F三点共线， ， 由（2）知平分， ， ， 是AB的中点， 是的中位线， ， ， ∴， ， ． ②若点D在射线上，连接， 同（2）可得四边形是正方形，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设，则，则，， ， 解得：， ． 综上：的值为和． 3．（2026·河南周口·模拟预测）综合与实践 在以往的学习过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“豫式四边形”进行研究． 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“豫式四边形”． (1)初步判断 下列初中阶段常见的四边形中，一定属于“豫式四边形”的是________（填序号）． ①矩形  ②正方形  ③菱形  ④平行四边形 (2)性质探究 根据定义可得出“豫式四边形”的边、角的性质．下面继续进行相关探究． ①如图1，“豫式四边形”中，，．写出图中除条件外相等的线段，并说明理由； ②如图2，在四边形中，，平分，若，求证：四边形为“豫式四边形”； (3)拓展应用 如图3，中∠B=900，，在直线的右上方存在点D，使得四边形为“豫式四边形”，当该“豫式四边形”中有一内角为时，请直接写出的长． 【答案】(1)② (2)①，理由见解析；②见解析 (3)或 【详解】（1）解：①矩形对角互补，但邻边不一定相等，故矩形不一定属于“豫式四边形”； ②正方形对角互补，邻边相等，故正方形一定属于“豫式四边形”； ③菱形对角相等，不一定互补，邻边一定相等，故菱形不属于“豫式四边形”； ④平行四边形对角相等，不一定互补，邻边不一定相等，故平行四边形不属于“豫式四边形”； 即答案为②； （2）①解：，理由如下： 四边形为“豫式四边形”， ， ， ， ，， ， ； ②证明：如图，过点作，交于点， 平分， ， ，， ， ，， ， ， ， 四边形为“豫式四边形”； （3）解：要使四边形为“豫式四边形”，则， ， ， 当时，如图，作，连接， ，， ，， ， ， ， ， 设，则，， ， 根据勾股定理可得， 可得， 解得， 当时，，不符合直角三角形边长关系，故舍去， ； 当时，如图，作，连接， 同理可得， 设，则，， ， 根据勾股定理可得， 可得， 解得， 当时，，不符合直角三角形边长关系，故舍去， ， 综上，的值为或． 4．（2026·山西吕梁·一模）综合与探究 问题情境：在正方形中，点是直线上的一点（不与点重合），连接，过点作于点，过点作，与所在直线交于点． 猜想证明： (1)如图1，当点在边上时，猜想与的数量关系，并说明理由． 独立思考： (2)如图2，在（1）的条件下，连接，，判断与的数量关系与位置关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)连接，若，，请直接写出的长． 【答案】(1)，见解析 (2)，，见解析 (3)或 【详解】（1）解：，理由如下： 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，记与交于点， 四边形是正方形， ， ， 由（1）知， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①当、在点同侧时， ， 设，则， ， ，即，解得， 即， 由（1）知， ， ； ②当、在点异侧时： 由①可知，， ， ， 综上，的长为或． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $