阶段应用专题：长方体的表面积与体积（专项训练）-2025-2026学年数学五年级下册北师大版

**基本信息** 聚焦长方体表面积与体积的期中应用，通过分层题型构建“概念理解-公式应用-实际迁移”的方法体系，强化空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |表面积计算|11题（如贴商标纸、粉刷教室）|侧面积=（长+宽）×2×高；无盖表面积=底面积+侧面积；组合体表面积=各面面积和-重叠面积|从完整表面积到实际场景中的部分表面积（无盖/侧面），结合展开图与立体图形转换，培养空间想象| |体积计算|9题（如排水法测土豆体积）|规则体积=长×宽×高；不规则体积=容器底面积×水面上升高度；容积=体积（单位换算）|从直接计算到间接测量（排水法），联系生活实际（油箱、鱼缸），体现应用意识| |棱长综合应用|2题（如铁丝围框架）|棱长总和=（长+宽+高）×4；正方体棱长=棱长总和÷12|通过棱长关联表面积与体积，构建三维特征的整体认知|

期中应用专题：长方体的表面积与体积-2025-2026学年数学五年级下册北师大版 1．一个长方体的饼干盒，长10厘米，宽6厘米，高12厘米。如果围着它贴一圈宽5厘米商标纸（上、下面不贴），这张商标纸的面积至少有多少平方厘米？ 2．学校要粉刷新教室。已知教室的长是9米，宽是7米，高是3米，门窗的面积是12平方米。如果每平方米需要花4.5元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少钱？ 3．航航在爸爸的帮助下用烤箱做了一个蛋糕作为生日礼物送给妈妈，他们将蛋糕放入一个包装盒中（如图）。 （1）航航用硬纸板制作了个包装盒，他至少需要多少平方厘米的硬纸板？ （2）航航最后用彩带进行了装饰（如图），打结部分的长度为12厘米，他至少需要多少厘米长的彩带？ 4．下图是淘气的一辆玩具汽车，他计划给这个玩具汽车设计一个刚好能容纳它的长方体包装盒。 （1）以下是此长方体包装盒的草图，请在图上清晰标注出与容纳玩具汽车对应的长、宽、高数据。（纸板厚度忽略不计） （2）计算制作这个长方体包装盒，至少需要多少平方厘米的纸板？（纸板厚度忽略不计） 5．一个长方体无盖玻璃水箱，长是2米，宽是0.6米，高是1.5米。这个水箱占地面积有多大？制作这个水箱至少需要玻璃多少平方米？ 6．淘气用两根同样长的铁丝，一根刚好围成一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体框架，另一根刚好围成一个正方体框架，围成的正方体框架的棱长是多少厘米？ 7．如图是一个无盖长方体纸盒的展开图。做这个纸盒至少需要多少材料？ 8．把一块正方体木块锯成三个完全一样的长方体，表面积比原来增加了96平方分米。原正方体的表面积是多少平方分米？ 9．大小不同的两个正方体积木粘在一起，构成下图所示的立体图形，其中小积木的下底面的四个顶点，恰好是大积木的上底面各边的中点。如果大积木的棱长为4分米，那么这个立体图形的表面积是多少平方分米？ 10．如图，一个正方体茶盒和一个长9厘米，宽5厘米，高7厘米的长方体茶盒的棱长总和相等。 （1）这个正方体茶盒的棱长是多少厘米？ （2）如果要在这个正方体茶盒的表面全部贴上包装纸，至少需要多少平方厘米的包装纸？ 11．蛋黄酥是现下糕点界的网红，每一颗蛋黄酥金黄诱人的酥皮下都包着一颗细腻绵沙的咸蛋黄，其口口酥心，层层松软的特点让人难忘。某食品商家为参加“五一”大促，推出一款包装为长方体形状食品盒的蛋黄酥，长5厘米，宽4厘米，高0.8分米。 （1）如果沿食品盒的四周贴一圈商标纸（上、下面不贴），商标纸的面积至少是多少平方厘米？ （2）这个食品盒的体积是多少立方厘米？（食品盒厚度忽略不计） 12．请结合生活中的实际情况想一想，电视机包装箱的长是60米，60分米还是60厘米？宽和高呢？箱子的体积是多少？ 13．一个长方体容器，底面长2分米、宽1.5分米，放入一个土豆后水面升高了0.2分米，这个土豆的体积是多少？ 14．某汽车油箱的长、宽、高如右图所示。（单位：厘米） （1）这个油箱能装多少升汽油？ （2）如果每升汽油可行驶10千米，这箱油最多可以供这辆汽车行驶多少千米？ 15．笑笑、淘气和妙想三人学习了“有趣的测量”后，张老师让他们尝试测量一个不规则物体的体积，他们进行了如下实验。 （1）淘气准备了一个从里面量长和宽都是8厘米，高是15厘米的长方体玻璃缸。 （2）妙想往缸里倒入一些水，此时水面高6厘米。 （3）笑笑把红薯完全浸入水中，此时水面高10厘米。 请根据以上信息，求这个红薯的体积。 16．为了更好地利用空间，会制作洗衣机柜来摆放滚筒洗衣机（如图所示）。制作洗衣机柜时，洗衣机上面和背面（背面空间用来装进、排水管：以及两边都会各预留5厘米的空位。李阿姨现购买了尺寸为高85厘米，长、宽都是60厘米的滚筒洗衣机，要放下这款法机，洗衣机柜预留出的空间有多大？ 17．工人良叙计划粘贴一个无盖的玻璃鱼缸，现有下面7块玻璃，编号为①－⑦。《玻璃厚度和粘贴处忽略不计，单位：厘米） （1）要想粘贴这个玻璃鱼缸，应该选用（    ）号玻璃。（填序号） （2）粘贴这个鱼缸，至少需要多少平方分米的玻璃？ （3）将这个鱼缸平放在桌面上，注入72立方分米的水，水面的高度是多少？ 18．将如图中的铁皮折弯后焊接成一个无盖的长方体铁桶，这个铁桶最多可以装多少升水？（铁皮厚度不计） 19．AI智能模块化鱼缸是一款科技感十足的智能鱼缸，它拥有自动定时喂食、自动清洁等多种功能，让养鱼这件事变得更加简单。张大爷家的智能鱼缸是长60厘米，宽和高都是40厘米的长方体。 （1）鱼缸的四周是钢化玻璃，为了防止玻璃自爆，需要在玻璃上贴一层防爆膜，一共需要贴多少平方米的防爆膜？（损耗忽略不计） （2）鱼缸中放有一块高为24厘米，体积为1100立方厘米的假山石（如图），如果向鱼缸内注水，那么至少需要注入多少立方分米的水才能将假山石完全淹没？ 20．如下图，现有空的长方体容器A和水深24厘米的长方体容器B（单位：厘米）。如果将容器B中的水倒一部分给容器A，使两容器中水的体积相等。这时容器A中的水深是多少厘米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《期中应用专题：长方体的表面积与体积-2025-2026学年数学五年级下册北师大版》参考答案 1．160平方厘米 【分析】围着长方体贴一圈宽5厘米商标纸（上、下面不贴），把这圈商标纸沿着长方体的高剪开，会得到一个长方形，长方形的宽是5厘米，长是长方体一个面的周长，求这张商标纸的面积至少有多少平方厘米，即以长方体最小的面（由两条短边围成的面）的周长为商标纸的长即可，再根据，长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可。 【详解】 （平方厘米） 答：这张商标纸的面积至少有160平方厘米。 2．661.5元 【分析】先求出粉刷的面积，粉刷的面积就是长是9米，宽是7米，高是3米的长方体5个面的面积和再减去门窗面积；根据五个面的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出粉刷的面积，再乘每平方米的费用，即可解答。 【详解】9×7＋（9×3＋7×3）×2－12 ＝63＋（27＋21）×2－12 ＝63＋48×2－12 ＝63＋96－12 ＝159－12 ＝147（平方米） 147×4.5＝661.5（元） 答：粉刷这个教室需要花费661.5元。 3．（1）1300平方厘米 （2）122厘米 【分析】（1）求制作包装盒所需硬纸板的面积，就是求长方体包装盒的表面积。根据长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，代入数据计算即可解答。 （2）求彩带的长度，需要考虑长方体的长、宽、高以及打结部分的长度；彩带的长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋打结部分的长度，代入数据计算即可解答。 【详解】（1）（20×15＋15×10＋20×10）×2 ＝（300＋150＋200）×2 ＝（450＋200）×2 ＝650×2 ＝1300（平方厘米） 答：他至少需要1300平方厘米的硬纸板。 （2）20×2＋15×2＋10×4＋12 ＝40＋30＋40＋12 ＝70＋40＋12 ＝110＋12 ＝122（厘米） 答：他至少需要122厘米长的彩带。 4．（1）见详解 （2）1710平方厘米 【分析】（1）要设计刚好能容纳玩具汽车的长方体包装盒，那么长方体包装盒的长、宽、高应分别对应玩具汽车的长、宽、高。由图可知，玩具汽车的长是25厘米、宽是12厘米、高是15厘米，所以长方体包装盒的长是25厘米、宽是12厘米、高是15厘米，将其标注在长方体草图对应的位置即可。 （2）求需要纸板的面积，就是求这个长是25厘米，宽是12厘米，高是15厘米的长方体的表面积，根据“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”，代入数据，即可解答。 【详解】（1）标注如下： （2）（25×12＋25×15＋12×15）×2 ＝（300＋375＋180）×2 ＝（675＋180）×2 ＝855×2 ＝1710（平方厘米） 答：至少需要1710平方厘米的纸板。 5．1.2平方米；9平方米 【分析】第一问就是要求长方体的底面积，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算；第二问根据长方体的表面积知识可知，需要玻璃的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算即可。 【详解】（平方米） （平方米） 答：这个水箱占地面积有1.2平方米；制作这个水箱至少需要玻璃9平方米。 6．6厘米 【分析】根据题意，结合长方体的棱长和公式：（长＋宽＋高）×4，算出一根铁丝的长度，再结合正方体的棱长和公式：棱长×12，算出正方体框架棱长的长度即可。 【详解】（8＋6＋4）×4 ＝18×4 ＝72（厘米）   72÷12＝6（厘米） 答：围成的正方体框架的棱长是6厘米。 7．110平方厘米 【分析】从图中可知：这个长方体长是10厘米，宽是5厘米，高是2厘米。从“一个无盖长方体纸盒”可知，这个纸盒由下面、前面、后面、左面、右面共五个面组成。根据长方体五个面的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，即可求出做这个纸盒至少需要多少材料。据此解答。 【详解】10×5＋（10×2＋5×2）×2 ＝50＋（20＋10）×2 ＝50＋30×2 ＝50＋60 ＝110（平方厘米） 答：做这个纸盒至少需要110平方厘米的材料。 8．144平方分米 【分析】正方体锯成三个完全一样的长方体，表面积多了四个正方形的面积。用除法求出一个正方形的面积，再根据“正方体表面积＝正方形面积×6”计算即可。 【详解】96÷4×6 ＝24×6 ＝144（平方分米） 答：原来正方体的表面积是144平方分米。 【点睛】本题考查的是正方形表面积的计算，明确正方体锯成长方体，表面积增加的面积是几个正方形的面积，是解答本题的关键。 9．128平方分米 【分析】如图，因为小积木的下底面的四个顶点，恰好是大积木的上底面各边的中点，所以大正方体一个面的面积是小正方体一个面的面积的2倍，因此，这个立方体图形的表面积＝大正方体的表面积＋小正方体四个侧面的面积；据此解答。 【详解】由分析得： 6×4×4＋4×（4×4÷2） ＝96＋4×8 ＝96＋32 ＝128（平方分米） 答：那么这个立体图形的表面积是128平方分米。 【点睛】本题主要考查组合体的表面积计算，关键是明确大正方体一个面的面积是小正方体一个面的面积的2倍。 10．（1）7厘米 （2）294平方厘米 【分析】（1）根据长方体棱长总和公式：（长＋宽＋高）×4，把数代入公式即可求出长方体的棱长总和，由于长方体棱长总和和正方体相等，根据正方体棱长总和公式：棱长×12，把数代入公式即可求出正方体茶盒的棱长； （2）由于要在这个正方体茶盒的表面全部贴上包装纸，即相当于求正方体的表面积，根据正方体的表面积公式：棱长×棱长×6，把数代入公式即可求解。 【详解】（1）（9＋5＋7）×4 ＝21×4 ＝84（厘米） 84÷12＝7（厘米） 答：这个正方体茶盒的棱长是7厘米。 （2）7×7×6 ＝49×6 ＝294（平方厘米） 答：至少需要294平方厘米的包装纸。 【点睛】本题主要考查长方体正方体的棱长总和公式以及正方体表面积公式，应熟练掌握它们的公式并灵活运用。 11．（1）144平方厘米 （2）160立方厘米 【分析】（1）根据1分米＝10厘米，可得0.8分米＝8厘米。求商标纸的面积就是求长方体的侧面面积，即前后、左右四个面的面积之和，根据公式：长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，即可求出商标纸的面积。 （2）根据公式：长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出这个食品盒的体积。 【详解】（1）0.8分米＝8厘米 5×8×2＋4×8×2 ＝80＋64 ＝144（平方厘米） 答：商标纸的面积至少是144平方厘米。 （2）5×4×8＝160（立方厘米） 答：这个食品盒的体积是160立方厘米。 12．60厘米，宽50厘米，高40厘米；体积120立方分米 【分析】一庹的长度大约是1米，一拃的长度大约是1分米，一个指头的宽度大约是1厘米，根据对长度单位的认识，以及生活经验确定电视机包装箱的长、宽、高，根据长方体体积＝长×宽×高，求出箱子的体积。 【详解】60×50×40，指的是电视机包装箱的长60厘米，宽50厘米，高40厘米。 60×50×40＝120000（立方厘米）＝120（立方分米） 答：电视机包装箱的长60厘米，宽50厘米，高40厘米，箱子的体积是120立方分米。 13．0.6立方分米 【分析】由题意可知，这个土豆的体积等于上升部分水的体积，上升部分水的体积＝容器的长×容器的宽×上升部分水的高度，据此解答。 【详解】2×1.5×0.2 ＝3×0.2 ＝0.6（立方分米） 答：这个土豆的体积是0.6立方分米。 14．（1）60升 （2）600千米 【分析】（1）已知汽车油箱长50厘米、宽40厘米、高30厘米，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，以及进率“1升＝1000立方厘米”，求出这个油箱能装汽油的升数。 （2）用每升汽油可行驶的距离乘油箱装汽油的升数，即是这箱油最多可供这辆汽车行驶的距离。 【详解】（1）50×40×30 ＝2000×30 ＝60000（立方厘米） 60000立方厘米＝60升 答：这个油箱能装60升汽油。 （2）10×60＝600（千米） 答：这箱油最多可以供这辆汽车行驶600千米。 15．256立方厘米 【分析】题意可知，把红薯完全放入水中，水面上升了10－6＝4厘米，上升部分的水的体积（长和宽都是8厘米，高是4厘米的一个长方体）即是红薯的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，把数据代入公式计算即可。 【详解】10－6＝4（厘米） 8×8×4 ＝64×4 ＝256（立方厘米） 答：这个红薯的体积是256立方厘米。 16．409500立方厘米 【分析】由题意可知，因为洗衣机的上面、背面以及两边都会各预留5厘米的空位，则这个洗衣机柜的长为60＋5×2＝70厘米，宽为60＋5＝65厘米，高为85＋5＝90厘米，再根据长方体的容积公式：V＝abh，据此代入数值进行计算即可。 【详解】60＋5×2 ＝60＋10 ＝70（厘米） 60＋5＝65（厘米） 85＋5＝90（厘米） 70×65×90 ＝4550×90 ＝409500（立方厘米） 答：洗衣机柜预留出的空间有409500立方厘米。 17．（1） （1）132平方分米 （3）15厘米 【分析】 （1）想要粘贴一个玻璃鱼缸，鱼缸相对的两个面必须大小相等，题干中两个相等的面只有与，与，能与这四个面围成鱼缸的底面就只能是，所以应该选用、、、、； （2）由所选玻璃可知，此鱼缸长80厘米，宽60厘米，高30厘米；要求至少需要多少平方分米的玻璃，就是求无盖的长方体鱼缸的表面积；无盖的长方体鱼缸的体积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，据此解答； （3）长方体的体积＝底面积×高，长方体的高＝体积÷底面积，据此用注入的水的体积除以长方体鱼缸的底面积即可解答。 【详解】 （1）两个相等的面只有与，与，能与这四个面围成鱼缸的底面就只能是，所以应该选用号玻璃。 （2）80×60＋（80×30＋60×30）×2 ＝4800＋（2400＋1800）×2 ＝4800＋4200×2 ＝4800＋8400 ＝13200（平方厘米） 13200平方厘米＝132平方分米 答：至少需要132平方分米的玻璃。 （3）72立方分米＝72000立方厘米 72000÷（80×60） ＝72000÷80÷60 ＝900÷60 ＝15（厘米） 答：水面的高度是15厘米。 18．32升 【分析】通过观察图形可知，这个无盖长方体的底面是正方形，底面周长是80厘米，根据正方形的周长公式可以求出底面边长，底面边长加上高是100厘米，据此可以求出高，然后根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【详解】底面边长：80÷4＝20（厘米） 高：100－20＝80（厘米） 20×20×80 ＝400×80 ＝32000（立方厘米） 32000立方厘米＝32升 答：这条铁桶最多可以装32升水。 19．（1）0.8平方米 （2）56.5立方分米 【分析】（1）求四周需要贴防爆膜的面积，就是求这个长方体鱼缸的侧面积，根据长方体侧面积公式：侧面积＝（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答，注意单位名数的换算； （2）水能将假山石完全淹没，鱼缸中水的高度等于假山石的高度；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出高是24厘米的长方体的体积，再减去假山石的体积，即可求出水的体积，注意单位名数的换算。 【详解】（1）（60×40＋40×40）×2 ＝（2400＋1600）×2 ＝4000×2 ＝8000（平方厘米） 8000平方厘米＝0.8平方米 答：一共需要贴0.8平方米的防爆膜。 （2）60×40×24－1100 ＝2400×24－1100 ＝57600－1100 ＝56500（立方厘米） 56500立方厘米＝56.5立方分米 答：至少需要注入56.5立方分米的水才能将假山石完全淹没。 20．6厘米 【分析】根据公式：长方体体积＝长×宽×高，求出容器B中水的体积，倒入容器A的水应该水的总体积的一半。求容器A中的水深即为长方体的高度，根据长方体体积（容器A中水的体积）÷长÷宽＝高，代入数据进行计算即可。 【详解】30×20×24÷2 ＝600×24÷2 ＝14400÷2 ＝7200（立方厘米） 7200÷40÷30 ＝180÷30 ＝6（厘米） 答：这时容器A中的水深是6厘米。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $