2025-2026学年 苏科版七年级下册数学第八周 图形变换拓展

七下数学第八周《图形变换拓展》 【考点1.图形的平移】 1．如图，在△ABE中，AB＝4cm，AE＝3cm，∠BAE＝20°，将△ABE沿着MN的方向平移2cm到△FCD的位置，则BC＝　 　 cm，CF＝　 　 cm，∠CFD的度数为　 　 ． 2．如图，直角△ABC和直角△DEF重叠在一起，将△DEF沿点B到点C的方向平移到如图位置．若AB＝14，图中阴影部分的面积为84，DH＝4，则CF的长为 　 　 ． 3．在△ABC中，AB＝2cm，AC＝3cm，BC＝4cm，将△ABC平移5cm得到△A'B'C'，则AC′的长的最大值为　 　 cm． 4．如图，AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝3cm，将△ABC沿BC方向平移acm（0＜a＜5），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为 　 　 cm． 5．如图，把边长为3cm的正方形ABCD先向右平移1cm，再向上平移1cm，得到正方形EFGH，则阴影部分的面积为　 　 ． 6．如图，将三角形ABC沿BC方向平移3cm得到三角形DEF，连接AD，若三角形ABC的周长是14cm，则四边形ABFD的周长是 　 　 cm． 7．画图并填空： 如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在方格纸的格点上． （1）将△ABC向左平移3格，再向上平移4格，得到△A1B1C1，在方格纸中画出△A1B1C1； （2）在方格纸中，画出△ABC的高AD； （3）线段BC与线段B1C1的关系为 　 　 ． 8．如图，在正方形网格中，点A、B、A1都在格点上． （1）平移线段AB，使点A与点A1重合，画出线段A1B1； （2）连接AA1、BB1，AA1与BB1的关系是　 　 ； （3）若每个小正方形边长为1，线段AB扫过的面积是　 　 ． 9．综合与实践：【问题情境】：在综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知直线a∥b，将直角三角尺ABC的直角顶点放在直线b上，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°． （1）【数学理解】：在图1中，若∠1＝42°，则∠2的度数为　 　 ； （2）【深入探究】：如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并改变∠2的位置，发现∠2﹣∠1＝120°，请说明理由； （3）【拓展应用】：缜密小组在创新小组发现的结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC平分∠BAM，你能发现∠1与∠2有怎样的数量关系？请说明理由． 【考点2.对称】 10．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．AC，BD相交于点O，请结合图形写出一个正确的数学结论　 　 ． 11．如图，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，AC＝9，AE：EC＝2：1，则点B到点E的距离是　 　 ． 12．如图，△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠BAC等于78°，则∠OBC＝　 　 °． 13．如图，将三角形纸片ABC的∠B折叠，使得点B的对应点B′落在直线AB上，折痕为DE，再将∠C折叠，使得折叠后点C的对应点C′落在直线B′D上，折痕为DF，此时可得∠EDF＝90°，若∠A＝70°，则∠CFD的度数为 　 　 °． 14．如图，l是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，E为l上任意一点，且AC＝5，BC＝8，AB＝6，则△AEC周长的最小值为　 　 ． 15．如图，线段AB，AC的垂直平分线m，n相交于点O．连接OB，OC，若∠BOC＝86°，则∠1＝ 　 　 °． 16．如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线交边AC于点D，若△ABD的周长为21，AB＝8，则AC＝ 　 　 ． 17．将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式进行折叠，EF，FG为折痕，点A，B，C的对应点分别为点A'，B'，C′，点B′在FG上，点C′在AD上，若∠AEF＝103°，则∠FGC′的度数是（　　） A．54° B．64° C．66° D．74° 18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值为 　 　 ． 19．如图，已知点O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，连接MN，与PA，PB分别相交于点E，F，已知MN＝6cm． （1）求△OEF的周长； （2）连接PM，PN．若∠APB＝α，求∠MPN．（用含α的代数式表示） 20．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点． （1）求证：BE＝AC； （2）若∠B＝35°，求∠BAC的度数． 21．如图，将长方形纸片ABCD沿MN和PQ折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角∠AMN＝∠DPQ，点A，D的对应点分别为点G，H，折叠后点B，C的对应点恰好都在点E． （1）若折痕角∠AMN＝110°，求帽子顶角∠NEQ的度数． （2）设∠GMD＝x度，∠NEQ＝y度． ①请用含x的代数式表示y，则y＝　 　 ． ②当∠MNE＝2∠GMD时，帽子比较美观，求此时y的值． 22．如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC． （1）求∠PAQ的度数． （2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长． 【考点3.旋转】 23．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，将△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到△ADE，点D恰好落在BC上，DE交AC于点F，则∠AFE＝　 　 °． 24．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝25°，则∠ADC的度数是　 　 ． 25．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝30°，△ADE是直角三角形，∠ADE＝90°，∠E＝30°，且边AB与AD重合，将△ADE绕点A以每秒6°顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 　 　 秒时，DE∥AC． 26．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点D恰好落在边BC上．若DE⊥AC，∠CAD＝24°，则旋转角α的度数为　 　 ． 第26题 第27题 第28题 第29题 27．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转38°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠B的度数是　 　 ． 28．如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得到△A′CB′，若AC⊥A′B′，连接AA′，则∠AA′B′度数为 　 　 ． 29．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转95°，得到△EBD，若点E恰好落在AD的延长线上，则∠CAD＝　 　 °． 30．如图，在△ABC中，∠B＝30°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置． （1）如图1，当AB'⊥BC时，求∠BAB′的度数； （2）如图2，连接CC'，当CC′∥AB时，∠C'AB＝130°，求∠ACB的度数． 31．如图，将△ABC绕点O按逆时针旋转得到△DEF，其中A与D是对应点，B与E是对应点，请借助于该图形用符号语言写出关于旋转的3条不同的性质． 32．如图，正方形ABCD中，点E是线段CD延长线上一点，连接AE，AB＝m，DE＝n． （1）将线段AE沿着射线AB方向运动，使得点A与点B重合，用代数式表示线段AE扫过的平面部分的面积为　 　 ． （2）将三角形ADE绕平面内某一点顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合，请在备用图中画出符合条件的4种情况，并写出旋转中心、旋转角． 33．光的反射是生活中常见的现象，图①是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． （1）如图②，已知：入射光线AO，反射光线OB．求作：法线OP． （2）如图③，已知：A为入射光线上一点，B为反射光线上一点．求作：入射点O． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 34．小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知MN∥PQ． （1）如图1，小明将含45°角的直角三角板ABC中的点A落在直线PQ上，若∠BAQ＝25°，则∠BDN的度数为　 　 ； （2）如图2，小明将含30°角的直角三角板DEF中的点D，F分别落在直线MN，PQ上，若FE平分∠DFP，则DE是否平分∠MDF？请说明理由； （3）小明将三角板ABC与三角板DEF按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且FE＞FA，若三角板ABC绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在线段FE上时停止，在旋转的过程中，当三角板的AB边与三角板DEF的某条边平行时，请直接写出满足条件的∠DFA的度数． ∴阴影部分的周长＝AD+EC+AC+DE＝a+（5﹣a）+3+4＝12（cm）， 故答案为：12． 5．如图，把边长为3cm的正方形ABCD先向右平移1cm，再向上平移1cm，得到正方形EFGH，则阴影部分的面积为　4cm2 ． 【解答】解：∵正方形ABCD向右平移1cm，向上平移1cm， ∴阴影部分是边长为3﹣1＝2cm的正方形， ∴阴影部分的面积＝22＝4cm2． 故答案为：4cm2． 6．如图，将三角形ABC沿BC方向平移3cm得到三角形DEF，连接AD，若三角形ABC的周长是14cm，则四边形ABFD的周长是 　20　 cm． 【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF， ∴AD＝CF＝3cm， ∵三角形ABC的周长为14cm， ∴AB+BC+AC＝AB+BC+DF＝14cm， ∴四边形ABFD的周长为：14+3+3＝20cm． 故答案为：20． 7．画图并填空： 如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在方格纸的格点上． （1）将△ABC向左平移3格，再向上平移4格，得到△A1B1C1，在方格纸中画出△A1B1C1； （2）在方格纸中，画出△ABC的高AD； （3）线段BC与线段B1C1的关系为 　平行且相等　 ． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求. （2）如图，AD即为所求． （3）由平移可知，BC＝B1C1且BC∥B1C1． 故答案为：平行且相等． 8．如图，在正方形网格中，点A、B、A1都在格点上． （1）平移线段AB，使点A与点A1重合，画出线段A1B1； （2）连接AA1、BB1，AA1与BB1的关系是　平行且相等　 ； （3）若每个小正方形边长为1，线段AB扫过的面积是　11　 ． 【解答】解：（1）由题意得，线段AB向右平移3个单位长度，向下平移1个单位长度得到线段A1B1， 如图，线段A1B1即为所求． （2）由平移得，AA1与BB1的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． （3）线段AB扫过的面积是4×511． 故答案为：11． 9．综合与实践：【问题情境】：在综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知直线a∥b，将直角三角尺ABC的直角顶点放在直线b上，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°． （1）【数学理解】：在图1中，若∠1＝42°，则∠2的度数为　48°　 ； （2）【深入探究】：如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并改变∠2的位置，发现∠2﹣∠1＝120°，请说明理由； （3）【拓展应用】：缜密小组在创新小组发现的结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC平分∠BAM，你能发现∠1与∠2有怎样的数量关系？请说明理由． 【解答】解：（1）∵∠1＝42°，∠BCA＝90°， ∴∠3＝180°﹣∠BCA﹣∠1＝180°﹣90°﹣42°＝48°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠3＝48°（两直线平行，同位角相等）， 故答案为：48°； （2）理由如下：过点B作BD∥a．如图所示： 则∠2+∠ABD＝180°， ∵a∥b， ∴b∥BD， ∴∠1＝∠DBC（两直线平行，内错角相等），∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝60°﹣∠1， ∴∠2+60°﹣∠1＝180°， ∴∠2﹣∠1＝180°﹣60°＝120°； （3）∠1＝∠2，理由如下：过点C作CP∥a，如图所示： ∵AC平分∠BAM， ∴∠CAM＝∠BAC＝30°，∠BAM＝2∠BAC＝60°， 【解答】解：如图，连接OA， ∵AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O， ∴OA＝OB，OA＝OC， ∴∠OBA＝∠OAB，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC， ∴∠OBA+∠OCA＝∠BAC＝78°， ∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BAC﹣（∠OBA+∠OCA）＝24°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝12°， 故答案为：12． 13．如图，将三角形纸片ABC的∠B折叠，使得点B的对应点B′落在直线AB上，折痕为DE，再将∠C折叠，使得折叠后点C的对应点C′落在直线B′D上，折痕为DF，此时可得∠EDF＝90°，若∠A＝70°，则∠CFD的度数为 　70　 °． 【解答】解：由折叠的性质可得：∠BED＝∠B′ED， ∵∠BED+∠B′ED＝180°， ∴∠BED＝∠B′ED＝90°， ∴∠EDF+∠B′ED＝180°， ∴AB∥DF， ∴∠CFD＝∠A＝70°， 故答案为：70． 14．如图，l是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，E为l上任意一点，且AC＝5，BC＝8，AB＝6，则△AEC周长的最小值为　13　 ． 【解答】解：连接BE， 由条件可知：EA＝EB， ∵△AEC的周长＝AE+CE+AC＝BE+CE+AC≥BC+AC， ∴当点E在边BC上时，△AEC的周长最小为BC+AC， ∵AC＝5，BC＝8， ∴△AEC周长的最小值为13； 故答案为：13． 15．如图，线段AB，AC的垂直平分线m，n相交于点O．连接OB，OC，若∠BOC＝86°，则∠1＝ 　43　 °． 【解答】解：连接AO并延长至M，直线AC与m交于点N， ∵线段AB，AC的垂直平分线m，n相交于点O， ∴OA＝OC＝OB，∠1+∠ONA＝90°，∠A+∠ONA＝90°， ∴∠1＝∠A，∠OBA＝∠OAB，∠OCA＝∠OAC， ∴∠MOB＝2∠OAB，∠MOC＝2∠OAC， ∵∠BOC＝∠MOB+∠MOC＝86°，∠A＝∠OAB+∠OAC， ∴， ∴∠1＝∠A＝43°， 故答案为：43． 16．如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线交边AC于点D，若△ABD的周长为21，AB＝8，则AC＝ 　13　 ． 【解答】解：由条件可知BD＝DC， ∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC， ∵已知△ABD的周长为21，AB＝8， ∴AC＝21﹣8＝13， 故答案为：13． 17．将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式进行折叠，EF，FG为折痕，点A，B，C的对应点分别为点A'，B'，C′，点B′在FG上，点C′在AD上，若∠AEF＝103°，则∠FGC′的度数是（　　） A．54° B．64° C．66° D．74° 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BC∥AD，∠C＝90°， ∵∠AEF＝103°， ∴∠BFE＝180°﹣∠AEF＝77°， 由折叠得∠B′FE＝∠BFE＝77°， ∵点B′在FG上， ∴∠BFG＝∠BFB′＝2∠BFE＝154°， ∴∠FGC′＝FGC＝∠BFG﹣∠C＝154°﹣90°＝64°， 故选：B． 18．如图，已知点O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，连接MN，与PA，PB分别相交于点E，F，已知MN＝6cm． （1）求△OEF的周长； （2）连接PM，PN．若∠APB＝α，求∠MPN．（用含α的代数式表示） 【解答】解：（1）∵点M，N分别是点O关于PA，PB的对称点， ∴EM＝EO，FN＝FO， ∴C△OEF＝OE+OF+EF＝EM+FN+EF＝MN． 又∵MN＝6cm， ∴C△OEF＝6cm． （2）连接OP， ∵点M，N分别是点O关于PA，PB的对称点， ∴PA垂直平分MO，PB垂直平分ON， ∴∠MPA＝∠OPA，∠NPF＝∠OPB， ∴∠MPN＝2∠OPA+2∠OPB＝2∠APB＝2α． 19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值为 　2.4　 ． 【解答】解：如图，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，CQ′，过点C作CH⊥AB于点H． ∵AD是△ABC的角平分线，Q与Q'关于AD对称， ∴点Q′在AB上，PC+PQ＝PC+PQ′≥CH， ∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，•AC•BC•AB•CH， ∴CH＝2.4， ∴CP+PQ≥2.4， ∴PC+PQ的最小值为2.4． 故答案为：2.4． 20．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点． （1）求证：BE＝AC； （2）若∠B＝35°，求∠BAC的度数． 【解答】（1）证明：连接AE， ∵AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点， ∴AD垂直平分CE， ∴AC＝AE， ∵EF垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴BE＝AC； （2）解：∵AE＝BE，∠B＝35°， ∴∠BAE＝∠B＝35°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣35°＝55°， ∴∠EAD＝55°﹣35°＝20°， ∵AC＝AE， ∴∠AED＝∠C， ∵∠AED+∠EAD＝∠C+∠CAD＝90°， ∴∠CAD＝∠EAD＝20°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝55°+20°＝75°． 21．如图，将长方形纸片ABCD沿MN和PQ折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角∠AMN＝∠DPQ，点A，D的对应点分别为点G，H，折叠后点B，C的对应点恰好都在点E． （1）若折痕角∠AMN＝110°，求帽子顶角∠NEQ的度数． （2）设∠GMD＝x度，∠NEQ＝y度． ①请用含x的代数式表示y，则y＝　180°﹣2x ． ②当∠MNE＝2∠GMD时，帽子比较美观，求此时y的值． 【解答】解：（1）由题意可知AD∥BC， ∴∠AMN+∠MNB＝180°， 又∵∠AMN＝110°， ∴∠MNB＝70°， 由折叠的性质得：∠MNB＝∠MNE＝70°， ∴∠ENQ＝180°﹣70°﹣70°＝40°， 由折痕角∠AMN＝∠DPQ可知：EN＝EQ， 在△NEQ中，∠NEQ＝180°﹣40°﹣40°＝100°； （2）①由题意可知AD∥BC，MG∥NE， ∴∠DMN+∠MNE+∠ENQ＝180°，∠GMD+∠DMN+∠MNE＝180°， ∴∠GMD＝∠ENQ， 设∠GMD＝x度，∠NEQ＝y度，则∠ENQ＝x度， 在△NEQ中，2x+y＝180°， ∴y＝180°﹣2x， 故答案为：y＝180°﹣2x； ②由①知，∠GMD＝∠ENQ， ∵∠MNE＝2∠GMD，∠MNE＝∠MNB， 由∠MNB+∠MNE+∠ENQ＝180°， ∴2∠GMD+2∠GMD+∠GMD＝180°， ∴∠GMD＝36°， 即x＝36°， 由①知，y＝180°﹣2x ∴y＝180°﹣2×36°＝108°． 22．如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC． （1）求∠PAQ的度数． （2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长． 【解答】解：（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z， ∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC， ∴AP＝PB，AQ＝CQ， ∴∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y， ∵∠BAC＝80°， ∴∠B+∠C＝100°， 即x+y+z＝80°，x+z+x+y＝100°， ∴x＝20°， ∴∠PAQ＝20°； （2）∵△APQ周长为12， ∴AQ+PQ+AP＝12， ∵AQ＝CQ，AP＝PB， ∴CQ+PQ+PB＝12， 即CQ+BQ+2PQ＝12， BC+2PQ＝12， ∵BC＝8， ∴PQ＝2． 23．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，将△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到△ADE，点D恰好落在BC上，DE交AC于点F，则∠AFE＝　90　 °． 【解答】解：将△ABC绕点A逆时针旋转40°， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠CAE＝40°，∠E＝∠C， ∴∠ABC＝∠ADB＝（180°﹣40°）÷2＝70°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠C＝180°﹣60°﹣70°＝50°＝∠E， ∴∠AFE＝180°﹣50°﹣40°＝90°， 故答案为：90． 24．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝25°，则∠ADC的度数是　70°　 ． 【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC． ∴根据旋转的性质可得，∠DCE＝∠ACB＝30°，AC＝CE，∠ACE＝90°， ∴∠E（180°﹣90°）＝45°． ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴∠ADC＝∠DCE+∠E＝25°+45°＝70°， 即∠ADC的度数为70°． 故答案为：70°． 25．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝30°，△ADE是直角三角形，∠ADE＝90°，∠E＝30°，且边AB与AD重合，将△ADE绕点A以每秒6°顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 　5或35　 秒时，DE∥AC． 【解答】解：当DE在AC上方时，如图， ∵DE∥AC， ∴∠ADE+∠DAC＝180°． ∵∠ADE＝90°， ∴∠DAC＝90°． ∵∠C＝∠ABC＝30°， ∴∠BAC＝120°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°， 此时旋转了30°÷6°＝5（秒）； 当DE在AC下方时，如图， ∵DE∥AC， ∴∠ADE＝∠DAC＝90°． ∵∠C＝∠ABC＝30°， ∴∠BAC＝120°， ∴旋转角度为120°+90°＝210°， 此时旋转了210°÷6°＝35（秒）． 综上所述，在旋转的过程中，第5或35秒时，DE∥AC． 故答案为：5或35． 26．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点D恰好落在边BC上．若DE⊥AC，∠CAD＝24°，则旋转角α的度数为　48°　 ． 【解答】解：如图， ∵DE⊥AC， ∴∠AFD＝90°， ∵∠CAD＝24°， ∴∠ADE＝180°﹣∠CAD﹣∠AFD＝180°﹣24°﹣90°＝66°， ∵旋转， ∴∠B＝∠ADE＝66°，AB＝AD， ∴∠ADB＝∠B＝66°， ∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ABD＝180°﹣66°﹣66°＝48°， 即旋转角α的度数是48°． 故答案为：48°． 27．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转38°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠B的度数是　57°　 ． 【解答】解：根据旋转性质得△COD≌△AOB， ∴CO＝AO， 由旋转角为38°， 可得∠AOC＝∠BOD＝38°， ∴∠OAC＝（180°﹣∠AOC）÷2＝71°， ∴∠BOC＝∠AOD﹣∠AOC﹣∠BOD＝14°， ∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝52°， 在△AOB中，由内角和定理得∠B＝180°﹣∠OAC﹣∠AOB＝180°﹣71°﹣52°＝57°． 答：∠B的度数为57°． 28．如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得到△A′CB′，若AC⊥A′B′，连接AA′，则∠AA′B′度数为 　20°　 ． 【解答】解：由旋转可知：∠ACA′＝40°，CA＝CA'， ∵AC⊥A′B′于点D， ∴直角△A'CD中，∠DA'C＝90°﹣∠DCA'＝90°﹣40°＝50°． ∵CA＝CA'， ∴∠CAA'＝∠CA'A（180°﹣∠ACA′）（180°﹣40°）＝70°， ∴∠AA'B＝70°﹣50°＝20°． 故答案为：20°． 29．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转95°，得到△EBD，若点E恰好落在AD的延长线上，则∠CAD＝　85　 °． 【解答】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转95°， ∴∠ABE＝95°，AB＝BE，∠CAB＝∠E， ∵AB＝BE， ∴∠E＝∠BAE， ∴∠BAE+∠CAB＝∠BAE+∠E＝180°﹣∠ABE ＝180°﹣95° ＝85°， 故答案为：85． 30．如图，在△ABC中，∠B＝30°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置． （1）如图1，当AB'⊥BC时，求∠BAB′的度数； （2）如图2，连接CC'，当CC′∥AB时，∠C'AB＝130°，求∠ACB的度数． 【解答】解：（1）如图1，设AB′⊥BC于点F，则∠AFB＝90°， ∵∠B＝30°， ∴∠BAB′＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BAB′的度数是60°． （2）如图2，∵CC′∥AB，∠C'AB＝130°， ∴∠AC′C＝180°﹣∠C′AB＝180°﹣130°＝50°， 由旋转得AC′＝AC， ∴∠ACC′＝∠AC′C＝50°， ∴∠BAC＝∠ACC′＝50°， ∵∠B＝30°， ∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣50°﹣30°＝100°， ∴∠ACB的度数是100°． 31．如图，将△ABC绕点O按逆时针旋转得到△DEF，其中A与D是对应点，B与E是对应点，请借助于该图形用符号语言写出关于旋转的3条不同的性质． 【解答】解：性质1：△ABC≌△DEF； 性质2：OA＝OD； 性质3：∠AOD＝∠COF． 32．如图，正方形ABCD中，点E是线段CD延长线上一点，连接AE，AB＝m，DE＝n． （1）将线段AE沿着射线AB方向运动，使得点A与点B重合，用代数式表示线段AE扫过的平面部分的面积为m2 ． （2）将三角形ADE绕平面内某一点顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合，请在备用图中画出符合条件的4种情况，并写出旋转中心、旋转角． 【解答】解：（1）线段AE扫过的平面部分的面积为：AD•AB＝m2， 故答案为：m2； （2）①如图，旋转中心：AD边的中点O，顺时针旋转180°； ②如图，旋转中心：正方形对角线交点G，顺时针旋转90°； ③如图，旋转中心：点D，顺时针旋转270°； ④如图，旋转中心：正方形对角线交点G，顺时针旋转180°． 33．光的反射是生活中常见的现象，图①是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． （1）如图②，已知：入射光线AO，反射光线OB．求作：法线OP． （2）如图③，已知：A为入射光线上一点，B为反射光线上一点．求作：入射点O． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【解答】解：（1）如图②，作∠AOB 的角平分线OP， 则OP为法线． （2）如图③，取点A关于平面镜所在直线的对称点C，连接BC交平面镜于点O， 则点O为入射点． 34．小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知MN∥PQ． （1）如图1，小明将含45°角的直角三角板ABC中的点A落在直线PQ上，若∠BAQ＝25°，则∠BDN的度数为　25°　 ； （2）如图2，小明将含30°角的直角三角板DEF中的点D，F分别落在直线MN，PQ上，若FE平分∠DFP，则DE是否平分∠MDF？请说明理由； （3）小明将三角板ABC与三角板DEF按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且FE＞FA，若三角板ABC绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在线段FE上时停止，在旋转的过程中，当三角板的AB边与三角板DEF的某条边平行时，请直接写出满足条件的∠DFA的度数． 【解答】解：（1）∵MN∥PQ，∠BAQ＝25°， ∴∠BDN＝∠BAQ＝25°（两直线平行，同位角相等）， 故答案为：25°； （2）DE平分∠MDF，理由如下： ∵FE平分∠DFP，∠DFE＝60°， ∴∠DFP＝2∠DFE＝120°， ∵MN∥PQ， ∴∠NDF＝∠DFP＝120°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠EDF＝30°， ∴∠MDE＝180°﹣∠EDF﹣∠NDF， ∴∠MDE＝180°﹣30°﹣120°＝30°， ∴∠MDE＝∠EDF， 即DE平分∠MDF． （3）根据题意，分四种情况： ①如图1，当AB∥DF时， ∠DFA＝180°﹣∠A＝90°； ②如图2，当AB∥DE时， 学科网（北京）股份有限公司 $