易错05 三角形（7大易错陷阱）（易错专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

易错05 三角形 目录导航 第一部分 易错剖析 剖析易错盲区，规避重复失分 易错典例 避坑攻略 类题巩固 易错01忽略三角形三边关系 易错02混淆三角形高线、中线、角平分线、中垂线的画法与性质 易错03解决高线问题时忽略分类讨论 易错04三角形重心问题线段比例混淆 易错05混淆全等三角形的判定方法 易错06应用全等三角形性质时找错对应边、对应角 易错07等腰三角形问题忽略分类讨论 第二部分 易错闯关 闯关攻克易错，稳练答题能力 易●错●剖●析 易错01 忽略三角形三边关系 易错典例 【典例01】（2025·河北邯郸·二模）有三根长度分别为的木棒，已知为整数，若这三根木棒能围成三角形，则的值为_____． 【错因分析】概念应用不严谨，存在认知偏差，解题时只关注计算结果，忘记验证三边能否构成三角形，导致出现多解、错解，尤其在等腰三角形求边长、已知两边求第三边类题目中最易出错。 避坑攻略 【技巧点拨】 解题时先列出三边关系不等式，求出第三边范围后，将所有可能解代入不等式逐一检验，只有同时满足“两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”的解才有效，无有效解则题目无解。 【知识链接】 三角形三边关系为任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；可用于判断三条线段能否构成三角形，也可在已知两边时确定第三边的取值范围，是三角形存在的必备前提，所有涉及三角形边长计算的题目都需先满足该条件。 类题巩固 1．（2026·河南三门峡·一模）等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 2．（2026·河北石家庄·一模）如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为_____． 3．（2025·四川凉山·模拟预测）已知一个三角形的两边长为 4和 5，若第三边长是方程的一个根，则这个三角形周长为___________ ． 易错02 混淆三角形高线、中线、角平分线、中垂线的画法与性质 易错典例 【典例02】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在中，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧交于点F，作射线交边于点M，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【错因分析】概念混淆，对四种线段的定义、图形特征、几何语言记忆模糊，无法区分线段与直线、平分角与平分边长、垂直关系的应用场景，做题时张冠李戴。 避坑攻略 【技巧点拨】 按定义分类记忆，高线抓“垂直”、中线抓“中点+平分面积”、角平分线抓“平分内角”、中垂线抓“中点+垂直+等距”；做题时先标注线段特征，匹配对应性质，书写几何语言时严格对应概念，不混用条件。 【知识链接】 高线是顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段，作用是计算面积；中线是连接顶点与对边中点的线段，平分三角形面积，三条中线交点为重心；角平分线是内角平分线与对边相交，顶点与交点间的线段，平分内角；中垂线是过线段中点且垂直于线段的直线，线上点到线段两端距离相等。 类题巩固 1．（2024·河北唐山·二模）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．中线，角平分线，高线 B．角平分线，高线，中线 C．角平分线，中线，高线 D．高线，中线，角平分线 2．（2025·山东德州·三模）如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（  ） A． B． C． D． 3．（2026·广东惠州·一模）如图，是的中线． (1)尺规作图：过点作的平行线交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，若面积为36，则面积为 ． 易错03 解决高线问题时忽略分类讨论 易错典例 【典例03】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知：中，，，的面积等于，则的长为______． 【错因分析】思维定式，默认高线都在三角形内部，缺乏分类讨论意识，未考虑钝角、直角三角形的高线位置差异，导致漏解或计算错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 遇到高线相关题目，先按锐角、直角、钝角三角形三种情况分类画图，分别计算高线长度或对应线段长度，最后整合所有符合条件的解，不遗漏任何一种情况。 【知识链接】 三角形高线位置随三角形形状变化，锐角三角形三条高线都在内部，直角三角形两条高线与直角边重合，钝角三角形两条高线在外部，涉及高线长度、位置计算时，需结合三角形类型分析。 类题巩固 1．（2022·江西赣州·模拟预测）已知是的高，直线相交所成的角中有一个角为，则等于________度． 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）在等边中，点在直线上，点在直线上，且，若的边长为，则的面积为_____． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）在中，，若从顶点作高线和角平分线，与的夹角为，则的度数为______． 易错04 三角形重心问题线段比例混淆 易错典例 【典例04】（2025·浙江衢州·二模）如图，的中线交于点，连结，设的面积为的面积为的面积为，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【错因分析】比例记忆模糊，认知偏差，容易把重心到顶点与到对边中点的比例记反，分不清两段线段的长短关系，导致线段长度计算错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 牢记“重心分中线，近顶点长、近中点短，比例2:1”，做题时先标注中线与重心位置，明确两段线段的对应关系，计算后用比例反向检验，确保结果符合2:1的规律。 【知识链接】 三角形重心是三条中线的交点，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，重心将每条中线分成2:1的两段，重心与顶点连线平分三角形面积。 类题巩固 1．（2026·福建泉州·一模）如图，点G是的重心，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D．3 2．（2026·上海松江·一模）如图，点是的重心，经过点，且，那么与面积的比值是________． 3．（2025·浙江杭州·三模）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，若四边形的面积为5，则的面积为（    ）    A．15 B．16 C．18 D．20 易错05 混淆全等三角形的判定方法 易错典例 【典例05】（2026·陕西咸阳·二模）如图，平分，且，点在边上，且，连接，．求证：． 【错因分析】判定条件混淆，概念理解不透彻，分不清SAS与SSA、ASA与AAS的区别，随意组合边角条件，误用不存在的判定方法导致证明错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 按条件类型选择判定，三边相等用SSS，两边及夹角用SAS，两角及夹边用ASA，两角及对边用AAS；证明时规范书写条件顺序，标注夹角、对边，不使用SSA、AAA判定，每一步都对应判定定理。 【知识链接】 全等三角形判定方法有SSS（边边边）、SAS（边角边，两边及其夹角）、ASA（角边角，两角及其夹边）、AAS（角角边，两角及其中一角对边），直角三角形还有HL（斜边直角边）；判定时需严格匹配条件，不存在SSA、AAA判定。 类题巩固 1．（2025·四川眉山·二模）如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2026·福建厦门·一模）如图，在平行四边形中，E，F是对角线上两点，连接，且．求证：． 3．（2023·广西防城港·模拟预测）下面是证明角平分线的性质定理的添加辅助线的方法，请完成证明．角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 已知：如图，平分，点在上，过点作于，作于．求证：． 易错06 应用全等三角形性质时找错对应边、对应角 易错典例 【典例06】（2022·云南·模拟预测）在中，，，点是延长线上一点，过点作，连接，如果使与全等，则的度数是________． 【错因分析】审题不仔细，没有按字母顺序找对应关系，凭图形直观判断对应边、角，导致对应关系错误，性质应用出错。 避坑攻略 【技巧点拨】 严格按照全等符号的字母顺序确定对应顶点，再由对应顶点确定对应边和对应角；书写性质时，边、角的字母顺序与全等三角形字母顺序一致，写完后反向核对对应关系。 【知识链接】 全等三角形对应边相等、对应角相等，对应边上的高线、中线相等，对应角平分线相等，周长、面积均相等；对应关系由全等三角形的字母顺序确定，位置相同的字母为对应顶点。 类题巩固 1．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，将绕点A顺时针旋转，使点C的对应点落在边上．若于点O，，，则的面积是______． 2．（2023·四川自贡·模拟预测）在中，是的中线，为的中点，过点作与的延长线相交于点，连接． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若，请直接写出图中所有的等腰三角形，不需要证明． 3．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，在中，，在上截取，，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 易错07 等腰三角形问题忽略分类讨论 易错典例 【典例07】（2025·江西吉安·二模）如图，在中，，，点P为边上一动点，连接，若与至少有一个为等腰三角形，且满足长为整数，则这样的点P个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【错因分析】思维单一，未考虑等腰三角形边、角的不确定性，默认某条边为腰、某个角为顶角，缺乏分类意识，导致漏解。 避坑攻略 【技巧点拨】 遇到等腰三角形边长、角度、线段问题，先分“已知边为腰/底边”“已知角为顶角/底角”两种情况讨论，计算后结合三边关系、三角形内角和检验，舍去不成立的解，保留所有有效解。 【知识链接】 等腰三角形有两条边相等（腰）、一条底边，两个底角相等；涉及腰、底边、顶角、底角、腰上中线、腰上高线、腰的垂直平分线等问题时，边和角的身份不固定，需分类讨论。 类题巩固 1．（2023·广西百色·模拟预测）数学课上，老师请同学们在一张长为，宽为的矩形纸板上，剪下一个腰长为的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其他两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为（   ） A． B．或或 C．或或 D．或或 2．（2026·河南驻马店·一模）矩形的边长为3，的角平分线交边于点（点不与点重合），连接，若的形状为等腰三角形，则边的长为________． 3．（2026·江西宜春·一模）在矩形中，，，点P是折线上的动点（不与A，B两点重合），当为等腰三角形时，此时的长为________________． 易●错●闯●关 1．（2026·河北石家庄·一模）平面内，将长度分别为1，4，2，的线段，顺次首尾相接构成如图所示的凸四边形，则的值可能是（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 2．（2025·上海·模拟预测）若以长度分别为、、、的四条线段为边作梯形，则这样的梯形（ ） A．能作个 B．能作个 C．能作个 D．不能作 3．（2025·浙江杭州·三模）在中，是边上的高，，则的度数为 ____ ． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，是边上的高，是中线，取的中点，连接．若，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）直角三角形的两条边长分别3和4，这个直角三角形斜边儿上的高为___． 6．（2025·上海浦东新·一模）如图，在中，，D是的重心，若，，则______． 7．（2025·上海·二模）我们把一个三角形的重心与外心之间的距离叫做该三角形的“变形值”．已知等腰三角形的腰长为5，底边长为8，那么它的“变形值”等于______． 8．（2026·辽宁营口·一模）如图，四边形ABCD中，，，，，．是的中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且，连接，点为的中点，连接并延长，交于点，连接，则的长为________． 10．（2026·江西吉安·一模）已知点A，B，C分别在从上往下相互平行的直线，，上，与之间的距离是1，与之间的距离是2．若是等腰直角三角形，则它的面积是________． 11．（2025·26八年级上·浙江绍兴·期中）如果一个等腰三角形其中一腰上的高与另一腰的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角等于________度． 12．（2025·广西来宾·一模）如图，是等腰三角形，，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹，标注字母） (2)若，，求的周长． 13．（2026·湖南娄底·一模）如图，在四边形中，，分别是，的中线，． (1)证明：四边形是平行四边形 (2)请从“①；②；③”这三组条件中任选一组作为已知条件，判断四边形的形状，并说明理由． 14．（2026·湖南永州·一模）如图，在平行四边形中，，点O是的中点，过点O的直线分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 易错05 三角形 目录导航 第一部分 易错剖析 剖析易错盲区，规避重复失分 易错典例 避坑攻略 类题巩固 易错01忽略三角形三边关系 易错02混淆三角形高线、中线、角平分线、中垂线的画法与性质 易错03解决高线问题时忽略分类讨论 易错04三角形重心问题线段比例混淆 易错05混淆全等三角形的判定方法 易错06应用全等三角形性质时找错对应边、对应角 易错07等腰三角形问题忽略分类讨论 第二部分 易错闯关 闯关攻克易错，稳练答题能力 易●错●剖●析 易错01 忽略三角形三边关系 易错典例 【典例01】（2025·河北邯郸·二模）有三根长度分别为的木棒，已知为整数，若这三根木棒能围成三角形，则的值为_____． 【答案】2 【详解】解：由三角形的三边关系可知，，即． ∵， ∴， ，且， ∴， ∴， 为整数， 的值为2， 故答案为：2． 【错因分析】概念应用不严谨，存在认知偏差，解题时只关注计算结果，忘记验证三边能否构成三角形，导致出现多解、错解，尤其在等腰三角形求边长、已知两边求第三边类题目中最易出错。 避坑攻略 【技巧点拨】 解题时先列出三边关系不等式，求出第三边范围后，将所有可能解代入不等式逐一检验，只有同时满足“两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”的解才有效，无有效解则题目无解。 【知识链接】 三角形三边关系为任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；可用于判断三条线段能否构成三角形，也可在已知两边时确定第三边的取值范围，是三角形存在的必备前提，所有涉及三角形边长计算的题目都需先满足该条件。 类题巩固 1．（2026·河南三门峡·一模）等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 【答案】C 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：当为腰长时，三角形三边长为， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形， ∴此情况舍去； 情况2：当为腰长时，三角形三边长为， ∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形. ∴三角形的周长为． 2．（2026·河北石家庄·一模）如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为_____． 【答案】5 【详解】解：①当，在中，， 在中，， ∴此时； ②当，在中，，不符合三边关系， ∴此种情况舍去； 综上，的长为5． 3．（2025·四川凉山·模拟预测）已知一个三角形的两边长为 4和 5，若第三边长是方程的一个根，则这个三角形周长为___________ ． 【答案】 12 【详解】解: ， 因式分解得 ， 解得 或 ， 当 时，，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去， 当 时，满足三角形三边关系，能构成三角形，此时三角形周长为 ． 易错02 混淆三角形高线、中线、角平分线、中垂线的画法与性质 易错典例 【典例02】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在中，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧交于点F，作射线交边于点M，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，，， ∴， 根据题意可得平分， ∴， ∴． 【错因分析】概念混淆，对四种线段的定义、图形特征、几何语言记忆模糊，无法区分线段与直线、平分角与平分边长、垂直关系的应用场景，做题时张冠李戴。 避坑攻略 【技巧点拨】 按定义分类记忆，高线抓“垂直”、中线抓“中点+平分面积”、角平分线抓“平分内角”、中垂线抓“中点+垂直+等距”；做题时先标注线段特征，匹配对应性质，书写几何语言时严格对应概念，不混用条件。 【知识链接】 高线是顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段，作用是计算面积；中线是连接顶点与对边中点的线段，平分三角形面积，三条中线交点为重心；角平分线是内角平分线与对边相交，顶点与交点间的线段，平分内角；中垂线是过线段中点且垂直于线段的直线，线上点到线段两端距离相等。 类题巩固 1．（2024·河北唐山·二模）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．中线，角平分线，高线 B．角平分线，高线，中线 C．角平分线，中线，高线 D．高线，中线，角平分线 【答案】B 【详解】解：由图的折叠方式可知，， 所以是的角平分线； 由图的折叠方式可知，， 因为， 所以， 所以， 所以是的高线； 由图的折叠方式可知，， 所以是的中线， 故选：． 2．（2025·山东德州·三模）如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于选项A，∵是的角平分线，并非中线， ∴不能推出，该选项错误； 对于选项B，是的角平分线，根据角平分线的定义，，该选项正确； 对于选项C，∵是的中线， ∴为的中点，即，该选项正确； 对于选项D，∵是的高， ∴，即，该选项正确． 故选：A． 3．（2026·广东惠州·一模）如图，是的中线． (1)尺规作图：过点作的平行线交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，若面积为36，则面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)18 【详解】（1）解：如图所示，直线为所求的平行线， （2）解：是的中线，， ， 由（1）知， ， ． 易错03 解决高线问题时忽略分类讨论 易错典例 【典例03】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知：中，，，的面积等于，则的长为______． 【答案】2或 【详解】解：如图1所示，过点作，交直线于点. 根据三角形面积公式， 代入，，得： ， 解得. 在中，，，由勾股定理得： ， 分两种情况讨论： ①当垂足在线段上时： ， 在中，由勾股定理得： ； ②当垂足在的延长线上时： ， 在中，由勾股定理得： ． 【错因分析】思维定式，默认高线都在三角形内部，缺乏分类讨论意识，未考虑钝角、直角三角形的高线位置差异，导致漏解或计算错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 遇到高线相关题目，先按锐角、直角、钝角三角形三种情况分类画图，分别计算高线长度或对应线段长度，最后整合所有符合条件的解，不遗漏任何一种情况。 【知识链接】 三角形高线位置随三角形形状变化，锐角三角形三条高线都在内部，直角三角形两条高线与直角边重合，钝角三角形两条高线在外部，涉及高线长度、位置计算时，需结合三角形类型分析。 类题巩固 1．（2022·江西赣州·模拟预测）已知是的高，直线相交所成的角中有一个角为，则等于________度． 【答案】或 【详解】解：如图所示， 当时，； 如图所示， 当时， ∵是的高， ∴， ∴． 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）在等边中，点在直线上，点在直线上，且，若的边长为，则的面积为_____． 【答案】或 【详解】解：点E在直线AB上，AE=12，点E位置有两种情况： ①点E在线段AB的延长线上时， 过E点作于F， ∵是等边三角形，的边长为6，， ∴，， ∴∠EBF=60°， ∴∠BEF=30°， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为； ②如图2，当E在线段AB的延长线时，过E点作EF⊥CD于F， ∵△ABC是等边三角形， △ABC的边长为6，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为； 即的面积为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）在中，，若从顶点作高线和角平分线，与的夹角为，则的度数为______． 【答案】或 【详解】解：当时，如图①， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； 当时，如图②， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 易错04 三角形重心问题线段比例混淆 易错典例 【典例04】（2025·浙江衢州·二模）如图，的中线交于点，连结，设的面积为的面积为的面积为，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的中线交于点， ，点为的重心， ，， ，， ，即， ； 由中线性质可知，， 又， ， ， ， ； 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形中线性质，三角形中位线性质和判定，三角形重心性质，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 【错因分析】比例记忆模糊，认知偏差，容易把重心到顶点与到对边中点的比例记反，分不清两段线段的长短关系，导致线段长度计算错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 牢记“重心分中线，近顶点长、近中点短，比例2:1”，做题时先标注中线与重心位置，明确两段线段的对应关系，计算后用比例反向检验，确保结果符合2:1的规律。 【知识链接】 三角形重心是三条中线的交点，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，重心将每条中线分成2:1的两段，重心与顶点连线平分三角形面积。 类题巩固 1．（2026·福建泉州·一模）如图，点G是的重心，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：延长交于， 点G是的重心，， ，， ， ． 2．（2026·上海松江·一模）如图，点是的重心，经过点，且，那么与面积的比值是________． 【答案】 【详解】解：连接并延长交于点， ∵点是的重心， ∴， ∵经过点，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与面积的比值为； 故答案为：． 3．（2025·浙江杭州·三模）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，若四边形的面积为5，则的面积为（    ）    A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【详解】解：连接交于点，连接，， 点是的重心，点是边的中点， 点三点共线， ， 在的延长线上取一点，使，连接，如图所示：    则， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，设， 四边形的面积为5， ， ， ， ，即 解得：， ， 的面积为：． 故选：C． 易错05 混淆全等三角形的判定方法 易错典例 【典例05】（2026·陕西咸阳·二模）如图，平分，且，点在边上，且，连接，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：平分， ， 在和中， ， ， ． 【错因分析】判定条件混淆，概念理解不透彻，分不清SAS与SSA、ASA与AAS的区别，随意组合边角条件，误用不存在的判定方法导致证明错误。 避坑攻略 【技巧点拨】 按条件类型选择判定，三边相等用SSS，两边及夹角用SAS，两角及夹边用ASA，两角及对边用AAS；证明时规范书写条件顺序，标注夹角、对边，不使用SSA、AAA判定，每一步都对应判定定理。 【知识链接】 全等三角形判定方法有SSS（边边边）、SAS（边角边，两边及其夹角）、ASA（角边角，两角及其夹边）、AAS（角角边，两角及其中一角对边），直角三角形还有HL（斜边直角边）；判定时需严格匹配条件，不存在SSA、AAA判定。 类题巩固 1．（2025·四川眉山·二模）如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】解：延长交于H， ， ， ， 是的中位线， ． 2．（2026·福建厦门·一模）如图，在平行四边形中，E，F是对角线上两点，连接，且．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（2023·广西防城港·模拟预测）下面是证明角平分线的性质定理的添加辅助线的方法，请完成证明．角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 已知：如图，平分，点在上，过点作于，作于．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：平分， ， 于，于， ， 在△与△中， ， ， ． 易错06 应用全等三角形性质时找错对应边、对应角 易错典例 【典例06】（2022·云南·模拟预测）在中，，，点是延长线上一点，过点作，连接，如果使与全等，则的度数是________． 【答案】或 【详解】解：由题意知，， ①当≌时，如图， 可得，， ∴， ， ∴； ②当≌时，如图， 可得，， ∴， ∴； 综上，的度数为或. 【错因分析】审题不仔细，没有按字母顺序找对应关系，凭图形直观判断对应边、角，导致对应关系错误，性质应用出错。 避坑攻略 【技巧点拨】 严格按照全等符号的字母顺序确定对应顶点，再由对应顶点确定对应边和对应角；书写性质时，边、角的字母顺序与全等三角形字母顺序一致，写完后反向核对对应关系。 【知识链接】 全等三角形对应边相等、对应角相等，对应边上的高线、中线相等，对应角平分线相等，周长、面积均相等；对应关系由全等三角形的字母顺序确定，位置相同的字母为对应顶点。 类题巩固 1．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，将绕点A顺时针旋转，使点C的对应点落在边上．若于点O，，，则的面积是______． 【答案】4.5 【详解】解：如图，过点A作于点E， ∵，， ∴， 由旋转得，，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 由旋转得，， 又∵，， ∴， ∴的面积是． 2．（2023·四川自贡·模拟预测）在中，是的中线，为的中点，过点作与的延长线相交于点，连接． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若，请直接写出图中所有的等腰三角形，不需要证明． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【详解】（1）证明：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形 （2）解：∵，E是的中点， ∴， ∴和是等腰三角形， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴是等腰三角形， 综上所述：图中所有的等腰三角形为：、、、． 3．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，在中，，在上截取，，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：， ，，， ，， ， ． 易错07 等腰三角形问题忽略分类讨论 易错典例 【典例07】（2025·江西吉安·二模）如图，在中，，，点P为边上一动点，连接，若与至少有一个为等腰三角形，且满足长为整数，则这样的点P个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：根据题意求出可以取的整数值． 在 中，， ， ， 点为边上一个动点， ∴当时，最大，当时，最小． 过点作于点， 则， 解得：， ， 的长为整数， ∴或 6 或 7 ． ①当时，为等腰三角形． ②当时， 设点为中点，连接，如图（1）， 则，此时点与点重合， ∴与均为等腰三角形． ③当时，如图（2），过点作于点， 则． 设，则，， ， ， 解得：（负值已舍）， ∴，此时与均不是等腰三角形． 综上，符合条件的点的个数为2． 故选：C． 【错因分析】思维单一，未考虑等腰三角形边、角的不确定性，默认某条边为腰、某个角为顶角，缺乏分类意识，导致漏解。 避坑攻略 【技巧点拨】 遇到等腰三角形边长、角度、线段问题，先分“已知边为腰/底边”“已知角为顶角/底角”两种情况讨论，计算后结合三边关系、三角形内角和检验，舍去不成立的解，保留所有有效解。 【知识链接】 等腰三角形有两条边相等（腰）、一条底边，两个底角相等；涉及腰、底边、顶角、底角、腰上中线、腰上高线、腰的垂直平分线等问题时，边和角的身份不固定，需分类讨论。 类题巩固 1．（2023·广西百色·模拟预测）数学课上，老师请同学们在一张长为，宽为的矩形纸板上，剪下一个腰长为的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其他两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为（   ） A． B．或或 C．或或 D．或或 【答案】D 【详解】解：如图四边形是矩形，，； 本题可分三种情况： ①如图（1）：中，； ； ②如图（2）：中，； 在中，； 根据勾股定理有：； ； ③如图（3）：中，； 在中，； 根据勾股定理有； ． 2．（2026·河南驻马店·一模）矩形的边长为3，的角平分线交边于点（点不与点重合），连接，若的形状为等腰三角形，则边的长为________． 【答案】或6 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵的角平分线交边于点， ∴， ∴，； 如图所示，当时，则； 如图所示，当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴，此时点E与点C重合，不符合题意， 综上所述，的长为或6． 3．（2026·江西宜春·一模）在矩形中，，，点P是折线上的动点（不与A，B两点重合），当为等腰三角形时，此时的长为________________． 【答案】或或2 【详解】解：如图，当点P在上，时， ∵四边形是矩形 ∴ ∴； 如图，当点P在上，时， ∵四边形是矩形 ∴，，， ∴ ∴ ∴； 如图，当点P在上，时， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，此时的长为或或2． 易●错●闯●关 1．（2026·河北石家庄·一模）平面内，将长度分别为1，4，2，的线段，顺次首尾相接构成如图所示的凸四边形，则的值可能是（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】B 【详解】解：如图，设这个凸四边形为，连接，设， 在中，，即， ∴，， 在中，， ∴， 观察四个选项可知，只有选项B符合． 2．（2025·上海·模拟预测）若以长度分别为、、、的四条线段为边作梯形，则这样的梯形（ ） A．能作个 B．能作个 C．能作个 D．不能作 【答案】B 【详解】解：可以作两个梯形 以为上底，为下底，和为腰， 以为上底，为下底，和为腰． 故选B． 3．（2025·浙江杭州·三模）在中，是边上的高，，则的度数为 ____ ． 【答案】或 【详解】①当点在上时，如图： ∵是边上的高， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴． ②当点在的延长线上时，如图： ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的外角， ∴． ∴， ∴． 故答案为：或． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，是边上的高，是中线，取的中点，连接．若，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接， 是的中点，且，即， 是的垂直平分线， ， 过点作于点， 是的中点，且， ∴， ∴， 是中点， 是的中位线， ，， 在中，， ， ， ． 故选：． 5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）直角三角形的两条边长分别3和4，这个直角三角形斜边儿上的高为___． 【答案】或 【详解】解：若3，4是直角三角形的两条直角边，则斜边长为：， 斜边上的高为：； 若3为直角三角形的直角边，4为斜边，则另一条直角边长为：， 斜边上的高为：， 综上所述，这个直角三角形斜边上的高为或． 故答案为：或 6．（2025·上海浦东新·一模）如图，在中，，D是的重心，若，，则______． 【答案】/ 【详解】解：延长交于，如图， ，，， 点是的重心， 为斜边上的中线，， ， ， 故答案为：． 7．（2025·上海·二模）我们把一个三角形的重心与外心之间的距离叫做该三角形的“变形值”．已知等腰三角形的腰长为5，底边长为8，那么它的“变形值”等于______． 【答案】 【详解】解：如图，中，，作于点， ∴， ∴， 设三角形的外心为，外接圆半径为， ∵等腰三角形的外心在底边的垂直平分线上， ∴在所在直线上， 设， 在中，，即， 解得， ∴， 重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点距离是到对边中点的距离两倍， ∴重心G在在上，且， ∴“变形值”等于， 故答案为： 8．（2026·辽宁营口·一模）如图，四边形ABCD中，，，，，．是的中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且，连接，点为的中点，连接并延长，交于点，连接，则的长为________． 【答案】 【详解】解：∵，点为的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（2026·江西吉安·一模）已知点A，B，C分别在从上往下相互平行的直线，，上，与之间的距离是1，与之间的距离是2．若是等腰直角三角形，则它的面积是________． 【答案】或或 【详解】解：如图，由题意可得：当，，，过作于，交于， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积是． 当，，，过作于，过作于， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴， 当，，，过作于，过作于， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴， 综上：的面积为或或． 11．（2025·26八年级上·浙江绍兴·期中）如果一个等腰三角形其中一腰上的高与另一腰的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角等于________度． 【答案】或 【详解】解：当高在三角形内部时（如图， ，则， 即顶角是； 当高在三角形外部时（如图， ，则， 即顶角是． 故答案为：或． 12．（2025·广西来宾·一模）如图，是等腰三角形，，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹，标注字母） (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求． （2）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵，， ∴的周长为． 13．（2026·湖南娄底·一模）如图，在四边形中，，分别是，的中线，． (1)证明：四边形是平行四边形 (2)请从“①；②；③”这三组条件中任选一组作为已知条件，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：， ，， ，分别是，的中线， ，， ， ， 四边形是平行四边形； （2）选择条件①，四边形是矩形， 理由如下： ， ，， ，分别是，的中线， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 是等腰三角形， 是的中线， ，即， ∴四边形是矩形； 选择条件②，四边形是菱形， 理由如下： ， ，， ，分别是，的中线， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， 是的中线， ， ∴四边形是菱形； 选择条件③，四边形是菱形， 理由如下： ， ，， ，分别是，的中线， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， 是的中线， ， ， ， ∴四边形是菱形． 14．（2026·湖南永州·一模）如图，在平行四边形中，，点O是的中点，过点O的直线分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，，， ∴在中，， ∵点O是的中点， ∴， 在中，，， ∴， 由（1）知， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 学科网（北京）股份有限公司 $