第九章概率初步重点巩固 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级下册

第九章概率初步重点巩固 一、单选题 1．下列事件中属于必然事件的是（　） A．检查生产流水线上的一个产品，是合格品 B．三条线段组成一个三角形 C．a是实数，则 D．367个人中至少有2个人生日相同 2．成语是中国语言文化的缩影，有着深厚的文化底蕴．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（    ） A．画饼充饥 B．一箭双雕 C．水涨船高 D．水中捞月 3．在下列事件中，不可能事件是（   ） A．掷一枚硬币，正面向上 B．只有红球的袋子中摸出黄球 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 4．“一名篮球运动员在罚球线上投篮一次，投中”这一事件是（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．不能判断 5．在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 6．如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面的推断合理的是（　　） A．当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是 B．当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是 C．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 D．若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定仍是 7．数学课上，老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有1个黑球，2个黄球，3个白球和9个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（   ） A．白球 B．黑球 C．黄球 D．红球 8．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》．其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”用如图所示的算盘表示数时，约定每档中有两粒算珠（上珠中最上面一粒和下珠中最下面一粒）不使用．如果一个数在算盘上能够用个位、十位和百位这三档中的2粒算珠表示，则这个数能够被5整除的概率是（   ） A． B． C． D． 9．现将分别印有“事”“事”“如”“意”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除印的字外形状、大小、质地完全相同．若从盒子中随机摸出一张卡片，则摸出的这张卡片上印有“如”的概率是（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（　　） A．一个袋中装有3个红球、5个白球，任意摸出一个球是红球的概率是 B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有 5张中奖 C．射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是 D．“抛掷一枚质地均匀的硬币一次，结果正面朝上”为随机事件 二、填空题 11．如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为___________． 12．分别写有数字的五张卡片，除数字不同之外其他均相同，现从中任意抽取一张，则抽取到的卡片数字为非负数的概率是___________． 13．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 发芽的频数 发芽的频率 若学校劳动基地对该批次油菜籽粒进行萌发，发芽的植株大约有___________株． 14．在一个不透明的袋中装有个白色小球，个红色小球，小球除颜色外都相同，若从中随机摸出一个球，恰为白球的概率为，则为______． 15．任丘是一座历史悠久、文化底蕴深厚的城市，拥有众多旅游景点，小刚和小萌周末打算从药王庙、任丘植物园及任丘博物馆中随机选择一处进行游玩，事件“他们最终选择任丘植物园游玩”属于________________（填“随机”“必然”或“不可能”）事件． 三、解答题 16．在某校七年级（1）班组织的“五四青年节”活动中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均匀的）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，当转盘停止后，若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去． (1)求小丽获胜的概率是____________ (2)你认为这个游戏公平吗？若不公平，请说明理由． 17．在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 116 290 480 601 摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601 (1)上表中的______；“摸到白球”的概率的估计值是______（精确到0.1）； (2)估算口袋中白球有多少个？ (3)在第（2）题的条件下，现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的白球，搅拌均匀后，若从袋中摸出一个白球的概率为，则取出了多少个黑球? 18．某商场为了吸引顾客，打出这样一个广告：本商场为了感谢广大消费者的支持和厚爱，特举行购物抽奖活动，中奖率，最高奖为50元．具体规则是顾客购物每满100元，就能获得1次转动如下图所示的转盘的机会（转盘被等分成16份）．如果转盘停止后，指针正好对准黄色、红色、绿色、白色区域，那么顾客就可以分别获得50元、20元、10元、5元的购物券（若指针与边界线重合，则重转）．请根据以上信息，解答下列问题： (1)若小亮的妈妈购物满100元，她获得购物券的概率是多少？ (2)若小亮的妈妈购物满150元，她获得50元、5元购物券的概率分别是多少？ (3)若改变红色区域的份数，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针对准红色区域的概率是，请算出它的份数并在转盘的适当位置涂上颜色． 19．按要求完成题目： (1)如图①．在正方形内，有一个内切圆．利用电脑设计程序：在正方形内随机产生一些点，当点数很多时，电脑自动统计正方形内的点数为，圆内的点数为（在正方形边上和圆上的点不统计）．根据用频率估计概率的思想，推得的大小（用含，的式子表示）； (2)如图②所示的是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，计算指针落在蓝色区域的概率； (3)有一个小球在如图③所示的地板上自由滚动，地板上的每个小格子都是边长为1的正方形．求小球最终停留在阴影区域的概率． 20．（1）一个盒子中装有33个分别涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的小球．若红球的个数比黑球的2倍多5，从盒子中任取1个球是白球的概率是，求从盒子中任取1个球是黑球的概率； （2）一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在如下图所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样）．计算小鸟停在深色方格中的概率． 21．某商场进行促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：一个均匀的转盘被等分成份，分别标有1至这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖． (1)若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为 (2)选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由． 22．一个不透明的袋子中装有红、黄、白三种颜色的球共24个，它们除颜色外完全相同，其中红球6个，黄球数量是白球数量的2倍． (1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率； (2)向袋中放入若干个红球，使摸出红球的概率为，求放入红球的个数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第九章概率初步重点巩固》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B C D C A D A D 1．D 【分析】必然事件是指一定发生的事件，根据概念逐一判断各选项即可解答． 【详解】解：A、检查生产流水线上的产品可能不合格，不一定是合格品，因此不是必然事件； B、三条线段只有满足任意两边之和大于第三边才能组成三角形，不一定能组成三角形，因此不是必然事件； C、为实数时，当，有，不满足，因此不是必然事件； D、一年最多有366天，367人中若前366人生日均不重复，第367人的生日一定与其中1人重复，因此367个人中至少有2个人生日相同，是必然事件． 2．B 【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，根据定义对各选项判断即可． 【详解】解：画饼充饥一定不会发生，属于不可能事件，A不符合题意； 一箭双雕可能发生也可能不发生，属于随机事件，B符合题意； 水涨船高一定发生，属于必然事件，C不符合题意； 水中捞月一定不会发生，属于不可能事件，D不符合题意； 3．B 【分析】不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件，根据概念判断各选项即可． 【详解】解：A．掷一枚硬币正面向上，是可能发生也可能不发生的随机事件，不符合要求； B．袋子中只有红球，一定无法摸出黄球，摸出黄球是一定不发生的事件，属于不可能事件，符合要求； C．射击运动员射击一次命中靶心，是可能发生也可能不发生的随机事件，不符合要求； D．经过有交通信号灯的路口遇到红灯，是可能发生也可能不发生的随机事件，不符合要求． 4．C 【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念辨析．需依据三类事件的定义判断该事件类型即可． 【详解】解：∵必然事件是一定会发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件． ∵“一名篮球运动员在罚球线上投篮一次，投中”这一事件的结果不确定，可能投中也可能未投中． ∴该事件是随机事件， 故选C． 5．D 【分析】概率P是固定值，频率f随试验次数增加在P附近波动并趋于稳定. 本题考查频率与概率的关系，熟练掌握二者的关系是解题的关键. 【详解】解：∵ 概率P是常数，不随试验次数改变； 频率f随试验次数增加而逐渐稳定于P附近. ∴ 选项D正确. 故选：D. 6．C 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，计算频率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，频率等于频数除以总数，每次试验频率的值都有可能发生变化，据此可得答案． 【详解】解：A、当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是： ，但“钉尖向上”的概率不一定是，原说法错误，不符合题意； B、当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率不一定是，原说法错误，不符合题意； C、随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是，原说法正确，符合题意； D、若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是，但不一定是，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 7．A 【分析】先求出四种颜色球出现的概率，再根据频率估计出概率，即可求解． 【详解】解：由题意可知，袋子中的球共有： （个）， ∴黑球出现的概率为：， 黄球出现的概率为：， 白球出现的概率为：， 红球出现的概率为：， ∵试验中该颜色的球出现的频率稳定在左右， ∴该种球的颜色最有可能是白球． 8．D 【分析】根据题意列举出所有可能表示的数，再找到能被5整除的数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：由题意得，所有可能的情况有： 两粒算珠在同一档： 百位：200,600；十位：20,60；个位：2,6； 两粒算珠在不同档： 十位、个位组合：， 百位、个位组合：， 百位、十位组合：， ∴一共可以表示个数，其中能被整除的数（个位为或）有：，共个， ∴这个数能够被5整除的概率是． 9．A 【分析】由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上的是“如”的结果有1种，利用概率公式可得答案． 【详解】由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上的是“如”的结果有1种， ∴从盒子中随机抽取一张卡片，摸出的这张卡片上印有“如”的概率为． 10．D 【分析】根据概率的计算公式、概率的意义以及随机事件的定义，逐个判断选项的正误． 【详解】解：A、∵袋中总球数为个，红球共3个， ∴任意摸出一个红球的概率为，不是，A错误； B、∵是中奖的可能性描述，不是说买100张一定有5张中奖，结果是随机的， ∴B错误； C、∵射击的中靶与不中靶不是等可能事件， ∴击中靶的概率不一定是，C错误； D、∵抛掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上也可能反面朝上，结果事先不确定， ∴“抛掷一次结果正面朝上”是随机事件，D正确． 11． 35 【详解】解：由统计图知，随着实验次数的增加，点落在不规则图案上的频率稳定在0.35， ∴点落在不规则图案上的概率为0.35． ∴估计阴影部分面积约为． 12． 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再找出抽取到非负数的结果个数，根据概率公式计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意，共有5张卡片，即共有5种等可能的抽取结果， 其中数字为非负数的是，，，共3种结果， 根据概率公式，可得抽取到卡片数字为非负数的概率为． 13． 【分析】根据用频率估计概率的知识，在大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在概率附近．观察大量重复试验后频率的稳定值，得到发芽概率的估计值，再计算粒油菜籽的发芽植株数． 【详解】解：由表格数据可知，随着试验粒数增加，该油菜籽的发芽频率逐渐稳定在附近， 估计该油菜籽发芽的概率为， 粒该油菜籽发芽植株大约为（株）． 14． 【分析】根据概率的定义，事件发生的概率等于该事件包含的等可能结果数除以所有等可能结果的总数．已知白球个数与摸出白球的概率，可列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：袋中所有球的总个数为， 根据概率公式可得，恰为白球的概率为， 去分母，得， 整理得， 解得， 经检验是原方程的解． 15．随机 【分析】本题考查了事件的分类．事件“他们最终选择任丘植物园游玩”可能发生也可能不发生，因此是随机事件． 【详解】解：从药王庙、任丘植物园及任丘博物馆中随机选择一处游玩，选择任丘植物园是可能发生的，但不是必然事件，故该事件为随机事件． 故答案为：随机． 16．(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可； （2）比较两人获胜概率可知不公平，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，P（偶数）， 即小丽获胜的概率是； （2）解：不公平，理由如下： ∵若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去，且由（1）得小丽获胜的概率是； ∴小芳获胜的概率是， ∵ ∴这个游戏不公平； 17．(1)，0.6； (2)12； (3)2． 【分析】(1) 根据频率的定义，频率等于频数除以总数，计算a的值；随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.6附近，故“摸到白球”的概率估计值为0.6． (2) 用总球数乘以摸到白球的概率，即可估算白球个数． (3) 设取出个黑球，则放入个白球，根据题意列方程求解． 【详解】（1）解：， 随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在0.6附近， "摸到白球"的概率的估计值是0.6． （2）解：口袋中共有20个球，摸到白球的概率估计值为0.6， 口袋中白球的个数约为：（个） （3）解：设取出了个黑球，则放入了个白球， 此时口袋中白球有个，总球数仍为20个， 根据题意：， ， ， 经检验，符合题意， 取出了个黑球． 18．(1)1 (2)， (3)使转盘上共有6份为红色区域即可，见解析． 【分析】本题考查概率的求法与运用，概率公式，掌握如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率是解题的关键． （1）由中奖率，可得获得购物券的概率是； （2）由转盘共分为等份，获得元的购物券的只有种情况，获得元的购物券的只有种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案； （3）由指针落在红色区域的概率为，可得红色区域为块，继而求得答案． 【详解】（1）解：若小亮的妈妈购物满元，则有次转动转盘的机会，所以她获得购物券的概率是． （2）解：若小亮的妈妈购物满元，则有次转动转盘的机会． ∵转盘被等分成份，黄色区域占份，白色区域占份， ∴她获得元、元购物券的概率分别是，． （3）（份），要使指针对准红色区域的概率是，只要使转盘上共有份为红色区域即可． 如图所示： 19．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据圆的面积与正方形的面积的比等于落在相应位置的点数的比列式求解即可； （2）用蓝色区域的圆心角度数除以度即可； （3）分别求出地板面积和阴影区域的面积，然后用阴影区域的面积除以地板面积即可求出小球最终停留在阴影区域的概率． 【详解】（1）解：设圆的半径为，则正方形的边长为． 根据题意，得， 所以． （2）解：如题图②，指针落在蓝色区域的概率为． 答：指针落在蓝色区域的概率为． （3）解：如题图③，地板面积为， 阴影区域的面积为， 则小球最终停留在阴影区域的概率为． 答：小球最终停留在阴影区域的概率为． 20．（1）  （2） 【分析】本题考查了几何概率，概率公式，掌握①如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率，②某事件的概率等于相应事件的面积与总面积之比是解题的关键． （1）先根据概率公式求出白球的个数为，再根据红球个数是黑球个数的倍多个，可设黑球有个，则红球有个，根据总个数为个列方程即可求出黑球的个数，根据概率公式可求从盒子中任取个球是黑球的概率； （2）用深色方格的面积除以总面积即可． 【详解】解：（1）∵从盒子中任取个球是白球的概率是， ∴白球有（个）． 设黑球有个，则红球有个． 根据题意，得， 解得， ∴黑球有个， ∴从盒子中任取个球是黑球的概率为． 答：从盒子中任取个球是黑球的概率是． （2）小鸟停在深色方格中的概率为． 答：小鸟停在深色方格中的概率是． 21．(1) (2)选择摇奖方式一获奖机会更大，理由见解析 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，关键是确定每种事件包含的基本事件数，再利用概率公式计算． （1）直接根据标有“4”的面数与总面数的比值计算概率； （2）分别计算两种摇奖方式的获奖概率，再比较大小． 【详解】（1）解：∵正二十面体骰子总共有个面，其中标有“4”的面有4个， ∴骰子掷出后，“4”朝上的概率为； 故答案为：； （2）解：先计算方式一的获奖概率： 骰子总面数为，标有“6”的面数为， ∴选择方式一获奖的概率为． 再计算方式二的获奖概率： 转盘被等分成份，6的倍数为6、，共2个， ∴选择方式二获奖的概率为． ∵， ∴方式一的获奖机会更大； 答：选择方式一获奖机会更大． 22．(1) (2) 【分析】此题主要考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． （1）设白球个，则黄球个，根据三种颜色的球共个求得黄球的数量，进而利用概率公式计算即可； （2）设放入个红球，根据题意列出比例方程，即可求解． 【详解】（1）解：设白球个，则黄球个，依题意得， 解得：， 则黄球有个， ∴从袋中摸出一个球是黄球的概率p= （2）解：设放入个红球，则， 解得． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $