精品解析：吉林省吉林市朝鲜族中学2026届高三下学期模拟预测数学试题

高三数学 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，可得集合A，根据绝对值不等式的解法，可得集合B，根据交集运算的概念，即可得答案. 【详解】由，得 ，则， 由，得，则， 所以. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 且，故选项C正确. 3. 随机事件、满足，，，下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互斥 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知， 由条件概率公式可知， ，故B错； 若事件与事件互斥，则需，故A错； ，故C正确； ，故D错． 4. 已知函数是奇函数，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数性质求出，然后利用和差公式化简即可得解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 即，解得或， 因为，即，所以，可得， 则， 显然为奇函数，满足题意， 当时，取得最大值. 5. 如图，在河岸 上测量河对面，两点间的距离，测得 ，，， ，，则 （ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用正弦定理及余弦定理计算求解. 【详解】因为 ， ， 在 中，由正弦定理可得，则． 在中，由正弦定理可得，则． 在 中，由余弦定理可得，则． 6. 在中，，若 为的外心，设，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设的中点为，连接，则，结合条件，利用向量的数量积的运算律可得，，进而可得，利用基本不等式可求的最大值． 【详解】设所对的边为， 取的中点为，连接，则， 故，同理，而， 则， 即，也即①， 又， 即，也即②， 由①②解得，则， ，当且仅当，即 时取等号， 所以. 7. 已知函数，若方程有三个根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，根据导数作出函数的图象，数形结合求解参数范围即可. 【详解】当 时，，可以看作函数向上平移个单位， 当时，，则， 因为当， ，当时， ， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，，， 作出函数图象如下图， 令，则 过定点， 当过原点时，即时，图象与 图象有4个交点， 时，，当 图象与图象相切时，设切点为， 此时， 将代入得， 整理得，因为在上单调递增， 又，所以 ， 当 时， ， 图象与图象相切，有两个交点. 所以方程有三个根，的取值范围为． 8. 已知两定点和，双曲线以为焦点且经过动点，若在直线上运动，则双曲线的离心率的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，，故最小等价于最大， 由双曲线定义，在上， 设双曲线方程为，将代入得： ， 由得，故. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 在非等腰中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且角A，B满足，则（ ） A. B. C. 记c上的高为h，则的取值范围为 D. 的内切圆半径、外接圆半径、周长不可能构成等比数列 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意利用三角恒等变换整理可得，即可判断A；利用诱导公式判断B；对于C：整理可得，令，结合对勾函数性质运算求解；对于D：根据题意可得，整理可知方程有解. 【详解】由得，， 化简得：， 因为，则， 又因为为非等腰三角形，则，可知， 可得，即，所以，，故选项A错误， 因为，则，即，故选项B正确； 对于选项C：因为，，， 则， 令，且，则， 因为， 且，则， 可得，则， 所以，故C选项正确； 对于选项D：因为的内切圆半径， 且外接圆半径， 假设的内切圆半径、外接圆半径、周长构成等比数列， 则，整理可得，此方程显然是有解的，故选项D错误. 综上，正确答案为BC. 10. 定义是自然数的所有因数中的最大奇数，记 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：计算出及即可得；对B：法一：计算出到，即可得；法二：由为奇数，则为偶数，即可得；对C由为偶数，结合定义即可得；对D：由题意可得，则、，从而可得，结合累加法计算即可得解. 【详解】对A：，，则，故A正确； 对B：法一：、 、、、 、 、、 、、， 则，故B错误； 法二：由题意可得为奇数，则为 个奇数之和，为偶数， 故，故B错误； 对C：，其中的唯一的奇因数为 ，则，故C正确； 对D：由中 为偶数， 唯一的奇因数为 ，则， 故，， 故 ， 即有，则， ， ，， 则 ， 故，故D正确. 11. 如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形的中点为 ，平面过直线，且垂直于平面与圆柱侧面的交线为曲线，则下列选项正确的是（ ） A. 圆柱在下方部分的体积为 B. 圆柱在下方的部分内放入一个球，则球的半径的最大值为 C. 曲线是椭圆且其离心率为 D. 为下底面圆周上一动点，，垂直于底面，与曲线交于，若的长为，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】A选项：圆柱底面半径，． 根据割补法，原几何体体积等于高为的圆柱体的体积，为，正确； B选项：最大内接球半径为 内接圆半径． 在 中，， 内接球半径， 即内接球半径最大值为，错误； Ｃ选项：椭圆长轴为，，短轴长为圆柱底面直径 ， ，，离心率，正确； Ｄ选项：圆柱底面如左图所示， 如右图所示 记，在 上投影为 ，，有， 中，， ，， 中，， 即，正确. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知复数，，， 是虚数单位，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数加法运算及可构造方程求得的值，根据复数模长运算可求得结果. 【详解】， ，解得， ， . 13. 已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据求出的通项公式，再代入不等式求解，结合对勾函数性质及不等式恒成立条件即可求出实数的取值范围． 【详解】由，平方得， 又等差数列中有， 所以， 所以，由于 ，得， 则，即对任意 恒成立， 设， 根据对勾函数性质，当时该式子取得最小值，此时，而， 所以，故． 14. 已知集合，当且 时，都有，若满足条件的集合至少有100个，则正整数的最小值是__________. 【答案】12 【解析】 【分析】设表示集合中，满足要求的集合的个数，得到，从而求出答案. 【详解】设，，当且 时，都有， 设表示集合中，满足要求的集合的个数， 若中无，则有个集合满足要求， 若中有，要想满足要求，则中无，，故有个集合满足要求， 所以， 当时，，故，即， 当时，，故，即， 当时，，故，即， 故，， ，， ，， ，， ， 故正整数的最小值为12. 四、解答题 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为锐角三角形，已知，且满足条件． （1）求的大小； （2）求面积的最大值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可求 的大小. （2）利用基本不等式，结合三角形的面积公式，可求面积的最大值. 【小问1详解】 由 . 由余弦定理，，且为三角形内角，所以. 【小问2详解】 由， 得， 所以 （当且仅当 ，即为等边三角形时取等号）. 所以. 所以面积的最大值为. 16. 已知椭圆：过点，以的长轴为直径的圆与轴上半轴交于，且． （1）求的方程； （2）若过点的直线与交于两点，满足直线的斜率之和为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆过得，再利用得，即可写出椭圆方程； （2）设直线方程并联立方程组，用韦达定理结合斜率之和的条件求出斜率，再用弦长和距离公式即可求出面积. 【小问1详解】 因为椭圆过点，所以，即， 又因为以长轴为直径的圆与轴上半轴交于，且，即， 所以，故椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，设过点的直线的方程为，设 ， 联立方程组，代入化简得：， 由韦达定理：， 又因为直线的斜率为：，直线的斜率为：， 且 所以， 解得 ，此时直线：， 方程变为， 判别式满足题意，且， 此时弦长， 点到直线的距离为， 所以的面积为. 17. 一盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球.从盒子中一次随机取出两个球，如果取出的球是黑球，则将它放回盒子中；如果取出的球是红球，则不放回盒子中，另补相同数量的黑球放入盒子中.重复进行上述操作次后，盒子中黑球的个数记为. （1）求恰好2次操作后，盒子中小球的颜色全部相同的概率； （2）求随机变量的分布列； （3）证明：. 【答案】（1） （2） 2 3 4 5 （3）证明见解析【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式，结合分步乘法计算即可； （2）确定随机变量的取值，根据古典概型概率计算公式及分步乘法计算对应取值的概率即可； （3）根据题意推出，得到数列为等比数列，进而证明即可. 【小问1详解】 设“恰好2次操作后盒子中球的颜色全部相同”为事件， 根据操作的规定，事件A发生即“恰好2次操作后盒子中5个球的颜色都为黑色”，2次操作，其中1次取出1红1黑，另一次取出2红， 所以； 【小问2详解】 操作2次后，的可能取值为 ， ， ， ， ， 所以的分布列为 2 3 4 5 【小问3详解】记执行上述操作次后，盒子中黑球的个数为， 设， ， 则，， 则， ， ， ， 所以 ， 所以， 又， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 18. 某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为 ，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响． （1）求甲在乒乓球比赛中积1分的概率； （2）记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值； （3）若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用独立事件概率公式求解； （2）用独立事件概率公式表示，转化为一元二次函数的最值问题； （3）使用条件概率公式与全概率公式求解. 【小问1详解】 甲在乒乓球比赛中积1分，则甲与乙、丙、丁三人的3场比赛中，胜1场，负两场，故概率为； 【小问2详解】 甲在游戏中总得分为2，对应事件：甲在乒乓球比赛中获得1积分，抽奖1次中1次； 或甲在乒乓球比赛中获得2积分，抽奖两次中0次，故所求概率为 ； 故当时，的最小值为 【小问3详解】 乒乓球比赛中在事件发生的条件下，其余三人的积分有两种情形：2，1，0或1，1，1 则A发生当且仅当甲战胜乙、丙、丁3人，故， 记事件“甲在乒乓球比赛中积3分，乙、丙、丁各得1分”为， 则，， 事件“甲在乒乓球比赛中积3分，另3人得分为2，1，0分”为， 则， 且甲要获得奖励则对应两种情况：“甲3次抽奖至少中一次”，或者“甲3次抽奖一次都未中，而得两分的人至多抽中一次”，故 由全概率公式， 所以 19. 已知函数 ，其中. （1）， （i）当时，讨论的单调性； （ii）若存在，使得 成立，求的取值范围； （2）当时，证明：对任意的，. 【答案】（1）（i） 在 上单调递增；（ii） （2）证明：当 时，令， . 令， ， 令 ， . 令 ， 在 时恒成立， 在 上单调递减， ， ， 所以 ，使得 . 当 时， ， ， 单调递增； 当 时， ， ， 单调递减， ， ， ， 所以 ，使得 . 当 时， ，， 单调递增， 当 时， ， ， 单调递减， ， ， ， 所以 ，使得 . 当 时，， ，单调递增； 当 时， ， ，单调递减， ， ， ，即对任意的 ，. 【解析】 【分析】（1）（i）由 在 时恒成立，得 的单调性；（ii）问题转化为存在，使得成立，令，利用导数求最值即可. （2）令，通过导数研究函数单调性证明 在 时恒成立即可. 【小问1详解】 （i）当时， ， 则 ， ，， ，所以 ， 所以 在 上单调递增. （ii）存在，使得 成立，即存在，使得成立， 令，， 由（i）可得 ，所以 ， 令 ， ， 所以 在上单调递增， ，所以 ，所以在上单调递增， 存在，使得 成立，即， 综上：. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 随机事件、满足，，，下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互斥 B. C. D. 4. 已知函数是奇函数，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 如图，在河岸 上测量河对面，两点间的距离，测得 ，，， ，，则 （ ） A. B. C. 4 D. 6. 在中，，若为的外心，设，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若方程有三个根，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知两定点和，双曲线以为焦点且经过动点 ，若 在直线上运动，则双曲线的离心率的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 在非等腰中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且角A，B满足，则（ ） A. B. C. 记c上的高为h，则的取值范围为 D. 的内切圆半径、外接圆半径、周长不可能构成等比数列 10. 定义是自然数的所有因数中的最大奇数，记 ，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形的中点为 ，平面 过直线，且垂直于平面与圆柱侧面的交线为曲线 ，则下列选项正确的是（ ） A. 圆柱在 下方部分的体积为 B. 圆柱在 下方的部分内放入一个球，则球的半径的最大值为 C. 曲线 是椭圆且其离心率为 D. 为下底面圆周上一动点，，垂直于底面，与曲线 交于，若的长为，则 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知复数，，， 是虚数单位，若，则___________． 13. 已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是__________． 14. 已知集合，当且 时，都有，若满足条件的集合 至少有100个，则正整数的最小值是__________. 四、解答题 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为锐角三角形，已知，且满足条件． （1）求的大小； （2）求面积的最大值； 16. 已知椭圆：过点，以的长轴为直径的圆与轴上半轴交于，且． （1）求的方程； （2）若过点的直线与交于两点，满足直线的斜率之和为，求的面积． 17. 一盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球.从盒子中一次随机取出两个球，如果取出的球是黑球，则将它放回盒子中；如果取出的球是红球，则不放回盒子中，另补相同数量的黑球放入盒子中.重复进行上述操作次后，盒子中黑球的个数记为. （1）求恰好2次操作后，盒子中小球的颜色全部相同的概率； （2）求随机变量的分布列； （3）证明：. 18. 某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为 ，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响． （1）求甲在乒乓球比赛中积1分的概率； （2）记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值； （3）若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求． 19. 已知函数 ，其中. （1）， （i）当时，讨论的单调性； （ii）若存在，使得 成立，求的取值范围； （2）当时，证明：对任意的，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $